河北省保定部分高中2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
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考试说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟，分卷Ⅰ，卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ选择题部分请将答案用 2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ答案请用 0.5 毫米以上签字笔写在答题卡上.
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（）
A． B． C． D．以上均不可能
2．连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．方程表示的几何图形是（ ）
A．一点和一圆 B．两点 C．一圆 D．两圆
5．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥
称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共 4 个小题，选对 5 分，漏选 2 分，错选 0 分，共 20 分）
9．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示.
11．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（ ）
A．南偏西方向 B．南偏西方向
C．北偏西方向 D．北偏西方向
12．若正方体的棱长为，是中点，
则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．到平面的距离为
C．平面和底面所成角的余弦值为
D．若此正方体每条棱所在直线与平面所成的角
都相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）
13．经过点与原点距离为2的直线方程为.
14．已知两圆，若圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围为.
15．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围.
16．在空间直角坐标系中，已知，，，，，，，均在球的表面上.若点在平面内，且，平面，则；球的半径为.
四、解答题（本大题共 6 各小题，17 题 10 分，其余各题 12 分，共 60 分）
17 .已知点、、，，．
(1)若，且，求；(2)求；(3)若与垂直，求．
18．已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；(2)求直线的方程.
19．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，
底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为45°，E是PB的中点．
(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
（2）求AE与平面PAD成角的正弦值.
20．已知圆心在轴正半轴上的圆与直线相切，与轴交两点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于不同的两点，若设点为的重心，当的面积为时，求直线的方程.
21．如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的
余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
22．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
（3）若点，当在上运动时，求2的最大值和最小值.
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