广西玉林市玉州区2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷

广西玉林市玉州区2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷

一、单选题（每小题5分，满分40分）

1．已知为R上的可导函数，且均有′（x），则有（　　）

A．

B．

C．

D．

2．函数的递增区间是（　　）

A．和 B．

C． D．

3．从6人中选出4人分别到碧峰峡、蒙顶山、喇叭河、龙苍沟四个景区游览，要求每个景区有一人游览，每人只游览一个景区，且这6人中甲，乙两人不去龙苍沟游览，则不同的选择方案共有（　　）

A．168种 B．216种 C．240种 D．360种

4． 的展开式中，常数项为（　　）  

A．-60 B．-15 C．15 D．60

5．随机变量的分布列如表所示，则（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．某社区准备从甲、乙、丙、丁、戊5位同学中选取3名同学参加疫情防控志愿者服务，若每人被选中的可能性相等，则其中甲、乙2名同学同时被选取的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．函数的部分图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

8．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 次，至少出现一次6点朝上的概率是（　　）

A． B． C． D．

二、多选题（每小题5分，满分20分）

9．以下函数求导正确的有（　　）

A． B．

C． D．

10．下列命题正确的是（　　）

A．若事件A与B相互独立，且，，则

B．设随机变量X服从正态分布，则

C．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强

D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好

11．已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，则（　　）

A． B． C． D．

12．如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（　　）

A． B．

C． D．

三、填空题（每小题5分，满分20分）

13．的二项展开式中x项的系数为　     　.

14．已知函数，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为　            　.

15．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　     　.  

16．已知是函数的极值点，则a=　     　.

四、解答题（满分70分）

17．（10分）全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．

（1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；

（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；

（3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）．

18．（12分）如果一个三角形的三个内角的度数成等差数列，这个三角形三个内角的大小能确定吗？你能得到什么结论？

19．（12分）如图所示，是平行四边形所在平面外一点，是的中点、若是上异于，的点，连接交于点，连接交于点，连接，求证：.

20．（12分）已知向量的坐标分别是，求：

（1）的夹角的余弦值；

（2） 及 ．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，讨论函数在区间上的单调性；

（2）当时，证明：．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】导数的乘法与除法法则；函数的单调性与导数正负的关系

【解析】【解答】令 ，则 ，
又因为 ，
所以， ，
函数为R上的单调递减函数，
即 ，
所以 ，
故选 D. 【分析】本题主要考察了函数的小题构造，由 ， 可以构造函数 ， 进而可以判断出函数单调性，利用单调性得出结论.

2．【答案】D

【知识点】导数的加法与减法法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式

【解析】【解答】求导 ，令 ， 则 ， 解得 ，故选D.
【分析】 对f(x) 求导 ，令导数大于0 即可得到答案 ，注意函数的定义域.

3．【答案】C

【知识点】简单计数与排列组合

【解析】【解答】可以分类讨论，第一类，从6人中选出的4人没有甲也没有乙，则不同的选择方案有种 。第二类，选出的有且仅有甲乙其中一个，则不同的选择方案有 种，第三类，选出的4人有甲也有乙，则不同的选择方案为， 故答案为C
【分析】 本题考查排列组合的基本原理，可以简单的分类讨论 选择的4人中有没有甲或者乙 进行排序.

4．【答案】D

【知识点】二项式定理的应用

【解析】【解答】 的展开式的通项为 ，

令 ，得到

所以 展开式中常数项为 ，

故答案为：D.

【分析】写出二项式展开通项，整理后令 的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项.

5．【答案】B

【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差

【解析】【解答】由概率和为1可得，
则 ，
所以， ，
故选B.
【分析】 先根据概率和求出a ，再利用期望公式求出期望，代入方差公式即可求出.

6．【答案】A

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】解：甲、乙2名同学同时被选取的概率为，

故答案为：A.

【分析】 甲、乙2名同学同时被选取，只需要在剩下三位同学里面再选一个，即可完成选取任务，再结合组合数即可求解出答案.

7．【答案】A

【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】因为 ，
所以 f(x)为奇函数， 图像关于原点对称，排除B，D 再代入特殊值可排除C 则答案为A.
【分析】利用函数图象的奇偶性可以快速排除B和D，再根据剩余选项的差异再x>0 函数值应该为正号排除C.

8．【答案】D

【知识点】相互独立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】因为将一颗质地均匀的骰子抛掷一次出现6点朝上的概率为 ，

因此，先后抛掷三次，出现0次6点朝上的概率为 ，

所以至少出现一次6点朝上的概率是 .

故答案为：D.

【分析】先根据题意，确定一颗骰子抛掷一次出现6点朝上的概率，计算出现0次6点朝上的概率，根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.

9．【答案】A,D

【知识点】基本初等函数导函数公式

【解析】【解答】A、 正确；
B、为常数，导数为0，错误；
C、 ， 错误；
D、 正确.
故选D.
【分析】主要考查基本初等函数的求导法则.

10．【答案】A,C,D

【知识点】回归分析；条件概率与独立事件；正态密度曲线的特点

【解析】【解答】对于A中，若事件A与B相互独立，且，，

可得   ，则   ，所以A符合题意；

对于B中，设随机变量X服从正态分布   ，可得   ，

根据正态分布曲线的对称性，可得   ，所以B不符合题意；

对于C中，在回归分析中，对一组给定的样本数据   而言，根据相关系数的含义，可得当样本相关系数   越接近1时，样本数据的线性相关程度越强，

所以C符合题意；

对于D中，在回归分析中，对一组给定的样本数据   而言，根据残差的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，所以D符合题意.

故答案为：ACD

【分析】由独立事件概率计算，正态分布对称性。相关系数的意义及残差意义逐项判断即可。

11．【答案】A,B,C

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【解答】公差为的等差数列中，其前项和为，且，

则，解得，所以，A选项正确；

，B选项正确；

，C选项正确；

，，D选项错误.

故答案为：ABC

【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项，验证各选项是否正确.

12．【答案】B,C

【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合

【解析】【解答】由题意知，设直线为 ， ， ，联立
化简得，，，，
由抛物线的定义知，，，，，，
A、 ，A错误；
B、 ，B正确；
C、 ，C正确；
D、 ，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
，D错误.

故答案为：BC
【分析】由题知，设直线为 ， ， ，联立方程，然后根据直线与抛物线的关系，焦点弦性质，韦达定理，求导逐个计算选项.

13．【答案】-20

【知识点】二项式定理

【解析】【解答】由展开式通项公式可得： ，
当r=1时， ，
故x项的系数为-20.
故填：-20.
【分析】考查二项式的展开通项公式，令x系数为1，可求出系数.

14．【答案】4x﹣2y﹣3=0

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】由 ，
可得 ，
由 ，
当且仅当x=1时等号成立.
所以x=1满足题意，此时， 又 ，
所以所求切线方程为，即
故填：4x﹣2y﹣3=0.
【分析】 利用原函数求出导函数，判断出基本不等式的最值能不能取到，求出相对应的x值，代入导函数即为斜率，根据点斜式求出直线方程.

15．【答案】

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】 【解答】设3名男同学为： 2名女同学为：

设选出的2名同学中至少有1名女同学的事件为A，

则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的基本事件为：

共十种，

选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件为： 共七种，

利用古典概型求概率的公式，得：

【分析】根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。

16．【答案】1

【知识点】利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】由，
得 ，
故 ，
则 a=1 ，
经检验结果成立.
故填：1.
【分析】极值点处的导数一定为0，进而可以求出a，注意一定要验证是否不单调

17．【答案】（1）解：根据茎叶图，得到样本中男职工健康指数的众数是，

中位数是；

（2）解：根据茎叶图，按男女用分层抽样从这名职工中随机抽取人，

抽样比

男职工抽（人），记为，女职工人，记为，

从这人中随机抽取人，所有的基本事件是、、、、、

、、、、共种，

抽取的人都是男职工的事件为、、，

故所求的概率为P；

（3）解：由题意知： ，解得；

所以样本中所有女职工的健康指数平均数为，

方差为.

【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式

【解析】【分析】（1）根据茎叶图中的数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数；
（2）根据分层抽样的基本原理可以求出男，女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；
（3）根据题意求出x的值，再计算健康指数的平均数和方差.

18．【答案】解：以，，成等差数列为例，

由题意可知，且，

故，，，大小不确定．

故只知道三角形三个内角成等差数列，不能确定三个角的大小，只能得到其中一个角为；

【知识点】等差中项

【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的定义及三角形的内角和定理，利用等差中项就可以确定其中的一个角度为.

19．【答案】证明：如图所示，连接交于点，连接，，则是的中点.

又是的中点，∴.

∵平面，平面，∴平面.

又∵平面平面，平面，∴.

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质

【解析】【分析】连接交于点，连接，，通过证明平面，再根据线面平行的性质得到.

20．【答案】（1）解：

，∴

（2）解：

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量夹角的坐标表示

【解析】【分析】（1）主要考查向量坐标表示中的夹角余弦公式；
（2）熟练掌握数量积的纽带关系，利用模长的公式与数量积的转化即可求出.

21．【答案】（1）解：因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距，，

，因此，，解得，，

所以椭圆C的标准方程是：.

（2）解：由消去y并整理得：，

依题意，，设，

，因，

则

，

于是得，此时，，则原点O到直线l的距离，

所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为.

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）根据，可求出两个焦点的坐标，由椭圆定义可求出a，进一步求得b，则可求出椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理结合，可得，由点到直线的距离公式可得0到直线l的距离为定值，可得总存在一个确定的圆与直线l相切，并求得该圆的方程.

22．【答案】（1）解：∵，函数的定义域，

∴

，

设，

函数是开口向下的抛物线，

又．

①当时，，

又，即，

因此在上单调递减．

②当时，有两个不等实根，

设两个根为，且．

，可知，

解得，

因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

（2）证明：要证明成立，即就是证明成立．

当时，由上可知，函数在上递减，在上递增，

因此函数的最小值为．

设．

因此，当时，在区间上递增，

当时，在区间上递减，

所以的最大值为，

因此对任意，总有，

故．

【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及导函数，对a进行分类讨论，判断导函数的符号，得到函数的单调性；
(2) 由题可知函数f(x)的最小值为f(0)=1，构造函数，设 求出函数的最大值为h(0)=1，即可证明结论.