成都市2019级高中毕业班高三第一次诊断性检测理科数学试卷

成都市2019级高中毕业班第一次诊断性检测

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，，则　　

A． B． C． D．，

2．已知复数为虚数单位），则　　

A． B． C． D．

3．函数的最小正周期是　　

A． B． C． D．

4．若实数，满足约束条件，则的最大值为　　

A． B．3 C． D．4

5．在中，已知，．现将绕边旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是　　

A． B． C． D．

6．双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率是　　

A． B． C．3 D．

7．已知实数，满足，则　　

A． B． C． D．

8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是　　

A． B． C． D．

9．已知，则的值为　　

A． B． C． D．

10．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是　　

A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 

C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8

11．如图，已知三棱锥的截面平行于对棱，，且，，其中，．有下列命题：

①对于任意的，，都有截面是平行四边形；

②当时，对任意的，都存在，使得截面是正方形；

③当时，截面的周长与无关；

④当，且时，截面的面积的最大值为1．

其中假命题的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

12．已知函数，则关于的方程的解的个数的所有可能值为　　

A．3或4或6 B．1或3 C．4或6 D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13．二项式的展开式中含项的系数为 　　．

14．已知向量，满足，，则向量与的夹角为 　　．

15．已知斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，，为轴上一点且满足，则点的纵坐标的取值范围是 　　．

16．在中，已知角，角的平分线与边相交于点，．则的最小值为 　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知等差数列满足，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．（12分）某项目的建设过程中，发现其补贴额（单位：百万元）与该项目的经济回报（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如表：

（Ⅰ）请根据上表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；

（Ⅱ）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核．考核结果为4人优秀，3人合格，现从这7名工程师中随机抽取3人，用表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量的分布列与期望．

参考公式：，．

19．（12分）如图甲，在直角三角形中，已知，，，，分别是，的中点．将沿折起，使点到达点的位置，且，连接，，得到如图乙所示的四棱锥，为线段上一点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）过，，三点的平面与线段相交于点，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值．

①；

②直线与所成角的大小为；

③三棱锥的体积是三棱锥体积的．

20．（12分）已知抛物线，过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点．

（Ⅰ）设点在轴上，分别记直线，的斜率为，．若，求点的坐标；

（Ⅱ）过抛物线的焦点作直线的平行线与抛物线相交于，两点，求的值．

21．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数在区间，上的最值；

（Ⅱ）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）设的最小值为．若正实数，，满足，求的最小值．

成都市2019级高中毕业班第一次诊断性检测

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，，则　　

A． B． C． D．，

【考点】交集及其运算

【解析】，，，

，，

，

故选：．

2．已知复数为虚数单位），则　　

A． B． C． D．

【考点】复数的模

【解析】为虚数单位），

，

故选：．

3．函数的最小正周期是　　

A． B． C． D．

【考点】两角和与差的三角函数

【解析】因为，

所以其最小正周期．

故选：．

4．若实数，满足约束条件，则的最大值为　　

A． B．3 C． D．4

【考点】简单线性规划

【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

由，得，由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最大，有最大值为4．

故选：．

5．在中，已知，．现将绕边旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是　　

A． B． C． D．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【解析】把绕边旋转一周所得几何体为两个同底圆锥的组合体．

在中，，

圆锥的底面半径．

所得到的旋转体的表面积是．

故选：．

6．双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率是　　

A． B． C．3 D．

【考点】双曲线的性质

【解析】双曲线的一条渐近线方程是，

即为，即，则，

则双曲线的离心率为．

故选：．

7．已知实数，满足，则　　

A． B． C． D．

【考点】对数值大小的比较

【解析】，

，

故选：．

8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是　　

A． B． C． D．

【考点】二项分布与次独立重复试验的模型

【解析】某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，则不命中的概率为0.6，

罚球4次命中2次，说明第4次命中，前3次命中1次，

在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是：

．

故选：．

9．已知，则的值为　　

A． B． C． D．

【考点】两角和与差的三角函数

【解析】由，得，

所以，

所以，

所以，

所以．

故选：．

10．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是　　

A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 

C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8

【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】对于，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故错误；

对于，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故错误；

对于，若平均数为2，且出现6点，则方差，

平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故正确；

对于，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，

平均数为：

方差为，可以出现点数6，故错误．

故选：．

11．如图，已知三棱锥的截面平行于对棱，，且，，其中，．有下列命题：

①对于任意的，，都有截面是平行四边形；

②当时，对任意的，都存在，使得截面是正方形；

③当时，截面的周长与无关；

④当，且时，截面的面积的最大值为1．

其中假命题的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】平面的基本性质及推论

【解析】①因为平面，平面平面，平面，所以，同理，所以，

同理，所以对于任意的，都有截面是平行四边形，所以①正确；

②当时，则，所以截面是矩形，要使截面是正方形，只需，

由，所以可得，由，可得，，所以，所以

，又，所以，所以，又，

所以，所以当时，，此时对任意的，都存在，使得截面是正方形，所以②正确；

③当时，设时，所以，，所以，所以截面的周长为，所以截面的周长与无关；故③正确；

④当，且时，，，由于截面是矩形，所以截面的面积为，当且仅当时等号成立，所以截面的面积的最大值为1，故④成立．

故选：．

12．已知函数，则关于的方程的解的个数的所有可能值为　　

A．3或4或6 B．1或3 C．4或6 D．3

【考点】分段函数的应用

【解析】当时，，则，

当时，，

当时，，所以在上单调递增，在上递减，且当时，，

当时，，则，

当时，，

当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减，且当时，，

所以的大致图象如图所示，

令，则方必有两个不等根，

设两根分别为， 不妨设，且，

当时，则，此时有1个根，有2个根，

当时，则，此时有2个根，有1个根，

当时，则，此时有0个根，有3个根，

综上，对任意的，方程都有3个根，

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13．二项式的展开式中含项的系数为 　　．

【考点】二项式定理

【解析】根据题意，二项式的展开式通项为，

令，解可得，

此时；

即其展开式中含项的系数为，

故答案为：．

14．已知向量，满足，，则向量与的夹角为 　　．

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角

【解析】根据题意，若，，则，

则有，即向量与垂直，即向量与的夹角为，

故答案为：．

15．已知斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，，为轴上一点且满足，则点的纵坐标的取值范围是 　　．

【考点】直线与椭圆的综合

【解析】设直线的方程为，

联立方程，消去整理可得：，

设，，，，则，则，且△，解得，

，

由，所以点是的中垂线与轴的交点，

又的中垂线方程为，令，解得，

因为，则，

所以点的纵坐标的取值范围为，

故答案为：．

16．在中，已知角，角的平分线与边相交于点，．则的最小值为 　　．

【考点】解三角形

【解析】由题意得：，

设，，的面积分别为：，，，

则，

即，

即，

所以，

则，

所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

联立方程组：，

解得：，

故当且仅当时，

取最小值．

故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知等差数列满足，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【考点】等差数列的通项公式；等比数列的前项和

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，

，，

，，

解得，，

故；

（Ⅱ），

数列是以4为首项，为公比的等比数列，

故数列的前项和．

18．（12分）某项目的建设过程中，发现其补贴额（单位：百万元）与该项目的经济回报（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如表：

（Ⅰ）请根据上表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；

（Ⅱ）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核．考核结果为4人优秀，3人合格，现从这7名工程师中随机抽取3人，用表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量的分布列与期望．

参考公式：，．

【考点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差

【解析】，，

，

，

，，

故．

由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

故的分布列为：

故．

19．（12分）如图甲，在直角三角形中，已知，，，，分别是，的中点．将沿折起，使点到达点的位置，且，连接，，得到如图乙所示的四棱锥，为线段上一点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）过，，三点的平面与线段相交于点，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值．

①；

②直线与所成角的大小为；

③三棱锥的体积是三棱锥体积的．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直；直线与平面所成的角

【解答】（Ⅰ）证明：，分别为，的中点，．

，，．

，，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）解：选①，；

，，

，，

为的中点．

选②，直线与所成角的大小为；

，直线与所成角为．

又直线与所成角的大小为，

，，

为的中点．

选③，三棱锥的体积是三棱锥体积的．

，

又，即，

为的中点．

过，，三点的平面与线段相交于点

，平面，平面．

又平面平面，，为的中点．

，，两两互相垂直，以为坐标原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，0，，，0，，，0，，，4，，，4，；．

设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为．

则，

令，得．

则．

直线与平面所成角的正弦值为．

20．（12分）已知抛物线，过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点．

（Ⅰ）设点在轴上，分别记直线，的斜率为，．若，求点的坐标；

（Ⅱ）过抛物线的焦点作直线的平行线与抛物线相交于，两点，求的值．

【考点】直线与抛物线的综合

【解析】（1）由题意，直线的方程为，其中，

设，，，，，

联立，消去得，，

所以△，，，

因为，

所以，

即，

所以，

即，

因为，所以，

所以点的坐标为；

（2）由题意得，直线的方程为，其中，为倾斜角，

则，

所以，，

所以，

设，，，，

联立，消去得，

所以△，

，，

所以，

所以．

21．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数在区间，上的最值；

（Ⅱ）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的最值

【解析】当时，的导数为，

由，，可得，

则在，上为减函数，

所以，．

关于的不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，

令，，

，

令，令，，，

时，；

时，，则，，．

，．

①当时，，在上单调递减，，符合题意．

②当时，在上单调递减，函数在上单调递增．

在上单调递减，

又，，

存在，，即在上单调递增，

，不符合题意．

综上可得：的取值范围是，．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程

【解析】（Ⅰ）曲线的参数方程为，为参数），转换为直角坐标方程为；

直线的极坐标方程为，根据，整理得；

（Ⅱ）点的直角坐标为，转换为参数方程为为参数），

把直线的参数方程代入，

得到，

所以．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）设的最小值为．若正实数，，满足，求的最小值．

【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义

【解析】（Ⅰ）①当时，．

由，解得，此时；

②当时，．

由，解得．此时；

③当时，．

由，解得．此时．

综上，原不等式的解集为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

所以当时，取得最小值2，所以，

所以，

由柯西不等式可得，

所以，

当且仅当，即，，，

所以的最小值为．