广东省广州大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学数学练习（含答案）

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2023-2024学年广东省广州大学附中九年级上学期开学数学练习
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．，， D．30，40，50
3．（3分）如图，在▱ABCD 中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若DE：DF＝2：3，◻ABCD的周长为10，则AB的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
4．（3分）下列各图象中，y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．1，﹣4
6．（3分）如图，四边形ABCD是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连结BE，ED，DG，GB．记S四边形EFGH＝S1，S四边形EDGB＝S2，若，则平行四边形纸片长与宽的比值为（　　）

A．3 B．4 C． D．
7．（3分）下列运算中，错误的有（　　）
①＝，②＝±4，③＝2，④＝+＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）函数y＝2x+2的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．当x＞0时，y＞2 B．当x＜0时，y＜0
C．当x＞0时，y＞0 D．当x＞﹣1时，y＞2
9．（3分）一组数据的方差计算公式为：，下列关于这组数据的说法错误的是（　　）
A．平均数是7 B．中位数是6.5
C．众数是6 D．方差是1
10．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）当x　 　时，二次根式有意义．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点B（0，2），现将直线AB绕点A（1，﹣1）按逆时针方向旋转45°交x轴于点C，则点C的坐标是 　 　．

13．（3分）某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利　 　万元．
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则﹣2x1+x2的值为 　 　．
15．（3分）直线y＝﹣2x+2交y轴于点A，交x轴于点B，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点P在x轴上，使S△PCD＝S△ACB，则点P坐标为 　 　．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E是AD上一点，且AE＝1，F是边AB上的动点，以EF为边作矩形EFGH，使EH＝EF，矩形E'F'G'H'是矩形EFGH关于对角线BD的轴对称图形．
（1）当点G'落在BD上时，tan∠GFB＝　 　；
（2）在F从A到B的运动过程中当矩形E'F'G'H'与矩形ABCD的边只有两个交点时，AF的取值范围是 　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算：（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°；
（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（4分）二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0）．请用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标．
19．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线交AD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AB＝AE．

20．（6分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）．
（1）求AC的长；
（2）求证：AC⊥BC．

21．（8分）2月20日，北京冬奥会圆满落幕．在这届举世瞩目的冬奥会中，谷爱凌“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”，……运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的精神鼓舞着无数人．为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某校随机抽取20名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分10分，并绘制如图统计图：
（1）这20名学生成绩的中位数是 　 　，众数是 　 　；
（2）求这20名学生成绩的平均数；
（3）若成绩在9分及以上为优秀，请你估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？

22．（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+m与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，将直线l2向下平移8个单位长度得到直线l3，l3与y轴交于点D，与l1交于点E，连接AD．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADE的面积；
（3）在平面直角坐标系中存在点P，使得以A、E、D、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连接AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连接PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝14cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当四边形APQD是矩形时，直接写出t的值为 　 　；
（2）当PQ＝BC时，求t的值；
（3）在点P，Q运动过程中，若四边形BPDQ能够成为菱形，求AD的长．


2023-2024学年广东省广州大学附中九年级上学期开学数学练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：B．
2．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．，， D．30，40，50
【答案】D
【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，但0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，不符合题意；
C、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，不符合题意；
D、302+402＝502，是勾股数，符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，在▱ABCD 中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若DE：DF＝2：3，◻ABCD的周长为10，则AB的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∵▱ABCD的周长是10，
∴AB+BC＝5，
∵S平行四边形ABCD＝AB•DE＝BC•DF，
∵DE：DF＝2：3，
∴AB：BC＝3：2，
∴AB＝5×＝3，
故选：C．
4．（3分）下列各图象中，y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：选项A，根据图象，当x＝0时，y有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求．
选项B、C、D，根据图象，每一个x的值，都有唯一的y值与之对应，因此是函数，不符合题目要求．
故选：A．
5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．1，﹣4
【答案】A
【解答】解：将y＝x2﹣2x﹣3配方，得y＝（x﹣1）2﹣4，
由二次项系数1＞0可知抛物线开口向上，对称轴为x＝1．
由二次函数图象的性质可得，当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当1≤x≤3时，y随x的增大而增大．
故当x＝1时，存在最小值且最小值为﹣4，当x＝3时，存在最大值且最大值为0．
故选：A．
6．（3分）如图，四边形ABCD是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连结BE，ED，DG，GB．记S四边形EFGH＝S1，S四边形EDGB＝S2，若，则平行四边形纸片长与宽的比值为（　　）

A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点D作DP⊥BC，交BC的延长线于P，交MG的延长线于Q，

设小平行四边形的宽是x，长是y，DQ＝h，PQ＝h1，
∵周围四张小平行四边形纸片都全等，
∵EH＝GH＝FG＝EF＝y﹣x，
∴四边形EFGH是菱形，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
即平行四边形纸片长与宽的比值为4．
故选：B．
7．（3分）下列运算中，错误的有（　　）
①＝，②＝±4，③＝2，④＝+＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①＝＝，故此选项错误，符合题意；
②＝4，故此选项错误，符合题意；
③＝2，故此选项正确，不合题意；
④＝＝＝，故此选项错误，符合题意．
故选：C．
8．（3分）函数y＝2x+2的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．当x＞0时，y＞2 B．当x＜0时，y＜0
C．当x＞0时，y＞0 D．当x＞﹣1时，y＞2
【答案】A
【解答】解：在y＝2x+2中，令x＝0时，y＝2，
∴当x＞0时，y＞2，
故选：A．
9．（3分）一组数据的方差计算公式为：，下列关于这组数据的说法错误的是（　　）
A．平均数是7 B．中位数是6.5
C．众数是6 D．方差是1
【答案】D
【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、7、9，
所以这组数据的平均数为＝7，故选项A不符合题意；
中位数是＝6.5，故选项B不符合题意；
众数是6，故选项C不符合题意；
方差是[2×（6﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.5，故选项D符合题意．
故选：D．
10．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解答】解：由图2可知，大正方形的面积＝5×5＝25，图3中小正方形的面积＝1×1＝1，
设直角三角形的较长边为a，较短边为b，
则由图2可得a2+b2+4×＝25，
即a2+b2+2ab＝25①，
由图3可得（a﹣b）2＝1，
即a2+b2﹣2ab＝1②，
联立①和②可得a2+b2＝13，
即图2中阴影部分的面积为13，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）当x　≥2或＜0　时，二次根式有意义．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数≥0；
根据分式有意义的条件，x≠0，
可得或，
解得x≥2或x＜0．
所以自变量x的取值范围是x≥2或x＜0．
故答案为x≥2或x＜0．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点B（0，2），现将直线AB绕点A（1，﹣1）按逆时针方向旋转45°交x轴于点C，则点C的坐标是 　（﹣1，0）　．

【答案】（﹣1，0）．
【解答】解：过A作AF⊥y轴于F，过B作BD⊥AB，交直线AC于D，作DE⊥y轴于E，
∵A（1，﹣1），B（0，2），
∴AF＝1，OF＝1，OB＝2，
∴BF＝3，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵∠ABF+∠DBE＝∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠ABF＝∠BDE，
∴△ABF≌△BDE（AAS），
∴AF＝BE＝1，BF＝DE＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝2﹣1＝1，
∴D（﹣3，1），
设直线AC的函数表达式为：y＝kx+b，
把A（1，﹣1），D（﹣3，1）代入得，
解得，
∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣x﹣，
令y＝0，则x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．

13．（3分）某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利　120　万元．
【答案】120．
【解答】解：设平均年增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝144，
整理得：（1+x）2＝1.44，
开方得：1+x＝±1.2，
解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
则平均年增长率为20%，
∴该公司2018年盈利100（1+20%）＝120（万元）．
故答案为：120．
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则﹣2x1+x2的值为 　8　．
【答案】8．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，
∴x12﹣3x1＝5，x1+x2＝3，
∴﹣2x1+x2＝（x12﹣3x1）+（x1+x2）＝5+3＝8．
故答案为：8．
15．（3分）直线y＝﹣2x+2交y轴于点A，交x轴于点B，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点P在x轴上，使S△PCD＝S△ACB，则点P坐标为 　P（1，0）或P（6，0）　．
【答案】（1，0）或（6，0）．
【解答】解：令y＝﹣2x+2＝0，解得：x＝1，
令x＝0，y＝2，
∴点A（0，2），点B（1，0），
∴AB＝＝，
如图，作CE⊥x轴与E点，

∵∠CBE+∠ECB＝90°，∠CBE+∠ABO＝90°，
∴∠ECB＝∠ABO，
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴EB＝AO＝2，EC＝BO＝1，
∴点C的坐标为（3，1），
同理得点D的坐标为（2，3），
设点P的坐标为（x，0）（x＞0），
分两种情况：①当点P与点B重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴S△BCD＝S△ACB＝S正方形ABCD＝××＝，
∴当点P与点B重合时S△PCD＝S△ACB，
∴点P坐标为（1，0）；
②如图，当点P在点P2处时，
S△PCD＝S△DBP﹣S△DBC﹣S△PCB，
∵S△BCD＝S△ACB＝S正方形ABCD＝××＝，
∴PB×3﹣PB×1﹣＝，
解得：x＝6，
∴点P的坐标为（6，0）；
综上，点P的坐标为（1，0）或（6，0）；
故答案为：（1，0）或（6，0）．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E是AD上一点，且AE＝1，F是边AB上的动点，以EF为边作矩形EFGH，使EH＝EF，矩形E'F'G'H'是矩形EFGH关于对角线BD的轴对称图形．
（1）当点G'落在BD上时，tan∠GFB＝　　；
（2）在F从A到B的运动过程中当矩形E'F'G'H'与矩形ABCD的边只有两个交点时，AF的取值范围是 　＜AF＜　．

【答案】（1）．
（2）＜AF＜．
【解答】解：（1）如图，作GK⊥AB于点K，则∠FKG＝∠BKG＝90°，GK∥AD，

∵点G′与点G关于直线BD对称，且点G′在BD上，
∴点G在BD上，
∴＝2，
∴BK＝2GK，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EFG＝90°，FG＝EH，
∴∠KFG＝90°﹣∠AFE＝∠AEF，
∵∠FKG＝∠A＝90°，
∴△KFG∽△AEF，
∴＝＝＝，
∴FA＝2GK，KF＝AE＝，
∴2GK+2GK+＝8，
∴GK＝，
∴tan∠GFB＝＝＝．
故答案为：；
（2）作△A′BD与△ABD关于直线BD对称，设A′B交CD于点L，
∴∠A′＝∠A＝90°，A′D＝AD＝4，A′B＝AB＝8，点E′、F′分别在A′D、A′B上，
∴A′F′＝AF，A′E′＝AE＝1，
∵CD∥AB，
∴∠LDB＝∠ABD，
∵∠ABD＝∠LBD，
∴∠LDB＝∠LBD，
∴LB＝LD，
∵A′B＝AB＝CD＝8，
∴A′L＝8﹣LB＝8﹣LD，
∵LD2＝A′L2+A′D2，
∴LD2＝（8﹣LD）2+42，
∴LD＝5，
∴A′L＝8﹣5＝3．
①当点G′落在边CD上时，如图3，作G′M⊥A′B于点M，
则∠G′ML＝∠G′MF′＝∠A′＝90°，
∵矩形E'F'G'H'与矩形EFGH关于直线BD对称，
∴∠E′F′G′＝∠EFG＝90°，
∴∠MG′F′＝90°﹣∠MF′G′＝∠A′F′E′，
∴△MG′F′∽△A′F′E′，
∴＝＝＝＝，
∴MG′＝A′F′，MF′＝A′E′＝，
∵＝＝tan∠A′LD＝，
∴ML＝MG′＝×A′F′＝A′F′，
∴A′F′++A′F′＝3，
∴A′F′＝．
∴AF＝．
②从点G′落在CD边上之后到点G′落在AB边上之前，矩形E'F'G'H'与矩形ABCD的边只有两个交点，
当点G′落在CD边上，如图3，由①得AF＝；
当点G′落在AB边上，如图4，作G′N⊥A′B于点N，∠G′NB＝∠G′NF′＝∠A′＝90°，
同理可得△NG′F′∽△A′F′E′，
∴＝＝＝＝，
∴NG′＝A′F′，NF′＝A′E′＝，
∵∠NBG′＝∠A′LD，
∴＝＝tan∠NBG′＝tan∠A′LD＝，
∴NB＝NG＝×A′F′＝A′F′，
∴A′F′++A′F′＝8，
∴A′F′＝，
∴AF＝，
∴AF的取值范围是＜AF＜．
故答案为：＜AF＜．


三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算：（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°；
（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】（1）；
（2）x1＝5，x2＝﹣1．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣1+×
＝﹣1+2﹣1+1
＝；
（2）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1．
18．（4分）二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0）．请用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（2，﹣1）．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0），
∴0＝9+3b+3，
∴b＝﹣4．
∴y＝x2﹣4x+3
＝（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1）．
19．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线交AD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AB＝AE．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）解：如图所示：BE即为∠ABC 的平分线；

（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EAF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB．
∴AB＝AE．

20．（6分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）．
（1）求AC的长；
（2）求证：AC⊥BC．

【答案】（1）2．
（2）证明见解析部分．
【解答】解：（1）根据勾股定理，得
AC＝＝2．

（2）同理BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
AC2＝20，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
∴AC⊥BC．
21．（8分）2月20日，北京冬奥会圆满落幕．在这届举世瞩目的冬奥会中，谷爱凌“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”，……运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的精神鼓舞着无数人．为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某校随机抽取20名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分10分，并绘制如图统计图：
（1）这20名学生成绩的中位数是 　8　，众数是 　9　；
（2）求这20名学生成绩的平均数；
（3）若成绩在9分及以上为优秀，请你估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？

【答案】（1）8，9；
（2）8.4分；
（3）54名．
【解答】解：（1）七这20名学生成绩出现次数最多的是9，共出现6次，因此这20名学生成绩的众数为9，
这20名学生的成绩，从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为（8+8）÷2＝8，因此这20名学生成绩的中位数是8，
故答案为：8，9；
（2）这20名学生成绩的平均数为×（6×2+7×4+8×5+9×6+10×3）＝8.4（分）；
（3）120×＝54（名），
答：估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有54名．
22．（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵DF∥AC，
∴∠FDE＝∠COE，
∵点E是OD的中点，
∴DE＝OE，
在△FED和△CEO中，
，
∴△FED≌△CEO（ASA），
∴DF＝OC，
∵OA＝OC，
∴DF＝AO，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF是平行四边形，
∵AO＝OD，
∴四边形AODF是菱形；

（2）解：∵∠AOB＝60°，
∴∠DOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形，
∵AB＝CD＝2，
∴AO＝CO＝DC＝2，
∵四边形AODF是菱形，
∴AF＝OD＝2，
∵E为OD中点，
∴∠CEO＝90°，
∴∠FCA＝90°﹣∠DOC＝30°，
∵DF∥AC，
∴∠DFC＝∠FCA＝30°，
∵∠DOC＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形AODF是菱形，
∴∠AFD＝∠AOD＝120°，
∴∠AFC＝120°﹣30°＝90°，
由勾股定理得：CF＝＝＝2．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+m与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，将直线l2向下平移8个单位长度得到直线l3，l3与y轴交于点D，与l1交于点E，连接AD．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADE的面积；
（3）在平面直角坐标系中存在点P，使得以A、E、D、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x+2；
（2）24；
（3）点P的坐标为（﹣4，﹣12）或（﹣8，6）或（4，0）．
【解答】解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l2与x轴交于点C（4，0），过点A（﹣2，3），
∴，
∴，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+2；

（2）连接BE，

∵直线l1：y＝x+m与直线l2交于点A（﹣2，3），
∴﹣3+m＝3，
∴m＝6，
∴直线l1的解析式为y＝x+6，
∵将直线l2向下平移8个单位长度得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y＝﹣x﹣6，
∵l3与y轴交于点D，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴D（0，﹣6），
∵直线l2与y轴交于点B，
∴B（0，2），
∴BD＝8，
由，解得，
∴E（﹣6，﹣3），
∵l2∥l3，
∴S△ADE＝S△BDE＝×BD×6＝×8×6＝24；

（3）由（1）（2）可知A（﹣2，3），E（﹣6，﹣3），D（0，﹣6），
设点P的坐标为（a，b），
当AD是边时，

则点A向右平移2个单位向下平移9个单位得到点D，同样点E（P）向右平移2个单位向下平移9个单位得到点P（E），
即﹣6+2＝a，﹣3﹣9＝b或﹣6﹣2＝a，﹣3+9＝b，
解得或，
故点P的坐标为（﹣4，﹣12）或（﹣8，6）；
当AD是对角线时，

由中点坐标公式得：﹣2+0＝a﹣6，3﹣6＝b﹣3，解得，
故点P的坐标为（4，0）；
综上，点P的坐标为（﹣4，﹣12）或（﹣8，6）或（4，0）．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连接AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连接PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，针对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵CD⊥y轴，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
过点P作PQ∥y轴交AD于H，则Q（m，m+1），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，
∴S△PAD＝PQ（xD﹣xA）＝（﹣m2+m+2）×（2+1）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△PAD的面积最大，
∴P（，），
过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG＝3，OG＝2，
∴AG＝3，
∴AG＝DG，
∴∠DAG＝45°，
过点E作EF⊥x轴于F，则EF＝AE，
要PE+AE最小，则PE+EF最小，
∴点P，E，F在同一条线上时，
∴PE+EF最小值＝yP＝，
即PE+AE最小值为；

（2）如图2，
由（1）知，点P，E，F在同一条线上，
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
∴EF＝AF＝﹣（﹣1）＝，
由旋转知，E'F＝EF＝，
∴OE'＝OF+E'F＝2，
∴E'（2，0），∵D（2，3），
∴DE'⊥x轴，
∵△DE′Q为等腰三角形，
∴①当QD＝QE'时，
由旋转知，∠AEF＝∠E'EF＝45°，
∴∠DEE'＝90°，
∵∠ADE'＝45°，
∴DE＝EE'，
∴点P和点E重合，
∵E（，），
∴Q（，），
②当DE'＝QE'时，由（1）知，AE'＝DE'，
∴点Q和点A重合，
∴Q（﹣1，0），
③当DQ＝DE'时，设点Q（n，n+1），
∴＝3，
∴n＝2±，
∴Q（2﹣，3﹣）或（2+，3+），
即满足条件的点Q的坐标为（，）或（﹣1，0）或（2﹣，3﹣）或（2+，3+）．


25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝14cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当四边形APQD是矩形时，直接写出t的值为 　　；
（2）当PQ＝BC时，求t的值；
（3）在点P，Q运动过程中，若四边形BPDQ能够成为菱形，求AD的长．

【答案】（1）；
（2）4或；
（3）4cm．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝90°，
由题意得，CQ＝2tcm，AP＝tcm，
∴DQ＝（14﹣2t）cm，BP＝（12﹣t）cm，
∵四边形APQD为矩形，
∴AP＝DQ，
∴t＝14﹣2t，
∴t＝，
故答案为：；
（2）如图，作QN⊥AB于点N，作BH⊥CD于点H，

则四边形BHQN为矩形，四边形ADHB为矩形，
∴CH＝CD﹣AB＝14﹣12＝2cm，
∴BC2＝BH2+CH2＝BH2+4，
则PN＝AB﹣AP﹣BN＝AB﹣AP﹣QH＝12﹣t﹣（2t﹣2）＝（14﹣3t）cm，
∴PQ2＝PN2+QN2＝（14﹣3t）2+BH2，
∵PQ＝BC，
∴（14﹣3t）2＝4，
∴t＝4或；
（3）∵四边形PBQD是菱形，

∴BP＝DP＝DQ，
即12﹣t＝14﹣2t，
∴t＝2，
∴AP＝2cm，DP＝14﹣2t＝10cm，
∴AD＝＝＝4（cm）．