2009至2018年成都十年中考数学试卷
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这是一份2009至2018年成都十年中考数学试卷,共71页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
成都市2009年中考数学试题
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.计算2×(﹣)的结果是( )
A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2
2.在函数中,自变量x的取值范围是( )
A.x< B.x≠﹣ C.x≠ D.x>
3.如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的形状是( )
A.长方体 B.三棱柱 C.圆锥 D.正方体
4.下列说法正确的是( )
A.某市“明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间会降雨
B.随机抛掷一枚均匀的硬币,落地后正面一定朝上
C.在一次抽奖活动中,“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖
D.在平面内,平行四边形的两条对角线一定相交
5.已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )
A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1
6.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′,则点A′在平面直角坐标系中的位置是在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
8.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm,母线长是6cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是( )
A.40° B.80° C.120° D.150°
9.某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量( )
A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg
10.为了解某小区居民的日用电情况,居住在该小区的一名同学随机抽查了15户家庭的日用电量,结果如下表:
日用电量(单位:度)
5
6
7
8
10
户 数
2
5
4
3
l
则关于这15户家庭的日用电量,下列说法错误的是( )
A.众数是6度 B.平均数是6.8度 C.极差是5度 D.中位数是6度
二、填空题(共9小题,每小题4分,满分36分)
11.已知:(n=1,2,3,…),记b1=2(1﹣a1),b2=2(1﹣a1)(1﹣a2),…,bn=2(1﹣a1)(1﹣a2)…(1﹣an),则通过计算推测出bn的表达式bn= .(用含n的代数式表示)
12.如图,A、B、C是⊙O上的三点,以BC为一边,作∠CBD=∠ABC,过BC上一点P,作PE∥AB交BD于点E.若∠AOC=60°,BE=3,则点P到弦AB的距离为 .
13.已知M(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点,其中a是从l,2,3三个数中任取的一个数,b是从1,2,3,4四个数中任取的一个数.定义“点M(a,b)在直线x+y=n上”为事件Qn(2≤n≤7,n为整数),则当Qn的概率最大时,n的所有可能的值为 .
14.如图,正方形OABC的面积是4,点B在反比例函数y=(k>0,x<0)的图象上.若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点,过点R分别作x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积,记剩余部分的面积为S,则当S=m(m为常数,且0<m<4)时,点R的坐标是 .(用含m的代数式表示)
15.化简:= .
16.如图,将矩形ABCD沿BE折叠,若∠CBA′=30°,则∠BEA′= 度.
17.分式方程的解是x= .
18.如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那么BD= .
19.改革开放30年以来,成都的城市化推进一直保持着快速、稳定的发展态势.据统计,到2008年底,成都市中心五城区(不含高新区)常住人口已达到4 410 000人,对这个常住人口数有如下几种表示:①4.41×105人;②4.41×106人;③44.1×105人.其中是科学记数法表示的序号为 .
三、解答题(共9小题,满分84分)
20.(8分)某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,投资开办了一个装饰品商店.该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售,购进价格为20元/件.销售结束后,得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系:P=﹣2x+80(1≤x≤30,且x为整数);又知前20天的销售价格Q1(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系:Q1=x+30(1≤x≤20,且x为整数),后10天的销售价格Q2(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系:Q2=45(21≤x≤30,且x为整数).
(1)试写出该商店前20天的日销售利润R1(元)和后10天的日销售利润R2(元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系式;(2)请问在这30天的试销售中,哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润. 注:销售利润=销售收入﹣购进成本.
21.(10分)已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线l的同侧,分别过这两点作l的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连接AD、AE、DE,且∠AED=90度.
(1)如图①,如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3,求AD的长;
(2)如图②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD,而其余条件不变时,线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明.
22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=a(x+1)2+c(a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y=kx﹣3,与x轴的交点为N,且cos∠BCO=.(1)求此抛物线的函数表达式;(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)过点A作x轴的垂线,交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
23.(10分)如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连接CD,G是CD的中点,连接OG.(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;(2)求证:AE=BF;(3)若OG⋅DE=3(2﹣),求⊙O的面积.
24.(10分)有一枚均匀的正四面体,四个面上分别标有数字:1,2,3,4,小红随机地抛掷一次,把着地一面的数字记为x;另有三张背面完全相同,正面上分别写有数字﹣2,﹣1,1的卡片,小亮将其混合后,正面朝下放置在桌面上,并从中随机地抽取一张,把卡片正面上的数字记为y;然后他们计算出S=x+y的值.
(1)用树状图或列表法表示出S的所有可能情况;
(2)分别求出当S=0和S<2时的概率.
25.(6分)解不等式组并在所给的数轴上表示出其解集.
26.(12分)解答下列各题:
(1)计算:+2(π﹣2009)0﹣4sin45°+(﹣1)3;
(2)先化简,再求值:x2(3﹣x)+x(x2﹣2x)+1,其中x=.
27.(8分)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动,他们要测量学校一幢教学楼的高度.如图,他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D,又测得点A的仰角为45度.请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度.(计算过程和结果均不取近似值)
28.(8分)已知一次函数y=x+2与反比例函数y=,其中一次函数y=x+2的图象经过点P(k,5).
(1)试确定反比例函数的表达式;
(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点,求点Q的坐标.
成都市2009年中考数学试题参考答案
一、1. A.2. C.3. B.4. D.5. B.6. C.7. B.8. C.9. A.10. D.
二、11. .12. .13. 4或5.14.(,)或(,).
15..16. 60°.17. x=218. 3.19.②.
三、20.解:(1)根据题意,得
R1=P(Q1﹣20)=(﹣2x+80)[(x+30)﹣20],
=﹣x2+20x+800(1≤x≤20,且x为整数),
R2=P(Q2﹣20)=(﹣2x+80)(45﹣20),
=﹣50x+2000(21≤x≤30,且x为整数);
(2)在1≤x≤20,且x为整数时,
∵R1=﹣(x﹣10)2+900,
∴当x=10时,R1的最大值为900,
在21≤x≤30,且x为整数时,
∵R2=﹣50x+2000,﹣50<0,R2随x的增大而减小,
∴当x=21时,R2的最大值为950,
∵950>900,
∴当x=21即在第21天时,日销售利润最大,最大值为950元.
21.解:(1)∵AB⊥l于B,DC⊥l于C,
∴∠ABE=∠ECD=90°.
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°,且∠AED=90°,
∴∠CED=90°﹣∠BEA.
又∵∠BAE=90°﹣∠BEA,
∴∠BAE=∠CED.
∴Rt△ABE∽Rt△ECD.
∴.
∵BE:EC=1:3 BC=16,
∴BE=4,EC=12.
又∵AB=6,
∴CD==8.
在Rt△AED中,由勾股定理得
AD==2.
(2)(i)猜想:AB+CD=BC.
证明:在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°﹣∠AEB,
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°,且∠AED=90°,
∴∠CED=90°﹣∠AEB.
∴∠BAE=∠CED.
∵DC⊥BC于点C,
∴∠ECD=90°.
由已知,有AE=ED,
在Rt△ABE和Rt△ECD中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△ECD(AAS).
∴AB=EC,BE=CD.
∴BC=BE+EC=CD+AB,即AB+CD=BC.
(ii)当A,D分别在直线l两侧时,线段AB,BC,CD有如下等量关系:
AB﹣CD=BC(AB>CD)或CD﹣AB=BC(AB<CD).
22.解:(1)∵直线MC的函数表达式y=kx﹣3.
∴点C(0,﹣3)
∴cos∠BCO==,
∴可设OC=3t(t>0),BC=t
则由勾股定理,得OB=t
而OC=3t=3,
∴t=1
∴OB=1,
∴点B(1,0)
∵点B(1,0)C(0,﹣3)在抛物线上
∴,
解得,
∴抛物线的函数表达式为y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3.
(2)假设在抛物线上存在异于点C的点P,使以N,P,C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形,
①若PN为另一条直角边
∵点M(﹣1,﹣4)在直线MC上,
∴﹣4=﹣k﹣3,即k=1
∴直线MC的函数表达式为y=x﹣3
易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N(3,0)
∵OC=ON
∴∠CNO=45°
∴在y轴上取点D(0,3),
连接ND交抛物线于点P
∵ON=OD
∴∠DNO=45°
设直线ND的函数表达式为y=mx+n
由
得
∴直线ND的函数表达式为y=﹣x+3
设点P(x,﹣x+3),代入抛物线的函数表达式,
得﹣x+3=x2+2x﹣3,
即x2+3x﹣6=0
解得x1=,x2=
∴y1=,y2=
∴满足条件的点为P1(,),p2(,).
②若PC是另外一条直角边
∵点A是抛物线与x轴的另一交点,
∴点A的坐标为(﹣3,0)
连接AC,∵OA=OC,
∴∠OCA=45°,又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°,
∴点A就是所求的点p3(﹣3,0)
综上所述,在抛物线上存在满足条件的点,有3个,
分别为:P1(,),p2(,),p3(﹣3,0).
(3)若抛物线沿其对称轴向上平移,
设向上平移b(b>0)个单位可设函数表达式为y=x2+2x﹣3+b
由,
得x2+x+b=0.
∴要使抛物线与线段NQ总有交点,
必须△=1﹣4b≥0,即b≤,
∴0<b≤
∴若抛物线向上平移,最多可平移个单位长度.
②若抛物线沿其对称轴向下平移,设向下平移b(b>0)个单位
可设函数表达式为y=x2+2x﹣3﹣b
∵当x=﹣3时,y=﹣b,当x=3时,y=12﹣b
易求得Q(﹣3,﹣6),又N(3,0)
∴要使抛物线与线段NQ总有交点,必须
﹣b≥﹣6或12﹣b≥0,即b≤6或b≤12
∴0<b≤12
∴若抛物线沿其对称轴向下平移,最多可平移12个单位长度
综上可知,若抛物线沿其对称轴向下平移,使抛物线与线段NQ总有公共点,
则向上最多可平移个单位长度,向下最多可平移12个单位长度.
23.(1)解:猜想OG⊥CD.
证明:如图,连接OC、OD,
∵OC=OD,G是CD的中点,
∴由等腰三角形的性质,有OG⊥CD.
(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
而∠CAE=∠CBF(同弧所对的圆周角相等),
在Rt△ACE和Rt△BCF中,
∵∠ACE=∠BCF=90°,AC=BC,∠CAE=∠CBF,
∴Rt△ACE≌Rt△BCF(ASA).
∴AE=BF.
(3)解:如图,过点O作BD的垂线,垂足为H,则H为BD的中点.
∴OH=AD,即AD=2OH,
又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD,∴OH=OG.
在Rt△BDE和Rt△ADB中,
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD,
∴Rt△BDE∽Rt△ADB,
∴,即BD2=AD•DE.
∴.
又BD=FD,∴BF=2BD,
∴①,
设AC=x,则BC=x,AB=,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠FAD=∠BAD.
在Rt△ABD和Rt△AFD中,
∵∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD,∠FAD=∠BAD,
∴Rt△ABD≌Rt△AFD(ASA).
∴AF=AB=,BD=FD.
∴CF=AF﹣AC=.
在Rt△BCF中,由勾股定理,得
②,
由①、②,得,
∴x2=12,解得或(舍去),
∴,
∴⊙O的半径长为.
∴S⊙O=π•()2=6π.
24.解:(1)画树状图
(2)由图(或表)可知,所有可能出现的结果有12种,其中S=0的有2种,S<2的有5种,2分
∴P(S=0)==,2分
P(S<2)=. 2分
25.解:解不等式3x﹣1<2(x+1),得x<3
解不等式≥1,得x≥﹣1
∴不等式组的解集为﹣1≤x<3.
在数轴上表示解集如图:
26.解:(1)原式=2+2×1﹣4×﹣1
=2+2﹣2﹣1
=1;
(2)原式=3x2﹣x3+x3﹣2x2+1
=x2+1.
当x=时,
原式=()2+1=4.
27.解:由已知,可得:∠ACB=30°,∠ADB=45°,
∴在Rt△ABD中,BD=AB.
又在Rt△ABC中,
∵tan30°=,
∴,即BC=AB.
∵BC=CD+BD,
∴AB=CD+AB,
即(﹣1)AB=60,
∴AB=米.
答:教学楼的高度为30(+1)米.
28.解:(1)一次函数y=x+2的图象经过点P(k,5),
∴5=k+2,
∴k=3,
∴反比例函数的表达式为y=.
(2)由消去,得x2+2x﹣3=0,
即(x+3)(x﹣1)=0,
∴x=﹣3或x=1,
可得y=﹣1或y=3,
于是或;
∵点Q在第三象限,
∴点Q的坐标为(﹣3,﹣1).
成都市2010年中考数学试题
A卷(共100分)
一、选择题:(每小题3分,共30分)
1.下列各数中,最大的数是
(A) (B) (C) (D)
2.表示
(A) (B) (C) (D)
3.上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前来参观.据统计,2010年5月某日参观世博园的人数约为256 000,这一人数用科学记数法表示为
(A) (B) (C) (D)
4.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的形状是
(A)圆柱 (B)圆锥 (C)圆台 (D)长方体
5.把抛物线向右平移1个单位,所得抛物线的函数表达式为
(A) (B) (C) (D)
6.如图,已知,,则的度数为
(A) (B)
(C) (D)
7.为了解某班学生每天使用零花钱的情况,小红随机调查了15名同学,结果如下表:
每天使用零花钱(单位:元)
1
2
3
5
6
人 数
2
5
4
3
1
则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是
(A)3,3 (B)2,3 (C)2,2 (D)3,5
8.已知两圆的半径分别是4和6,圆心距为7,则这两圆的位置关系是
(A)相交 (B)外切 (C)外离 (D)内含
9.若一次函数的函数值随的增大而减小,且图象与轴的负半轴相交,那么对和的符号判断正确的是
(A) (B) (C) (D)
10.已知四边形,有以下四个条件:①;②;③;④.从这四个条件中任选两个,能使四边形成为平行四边形的选法种数共有
(A)6种 (B)5种 (C)4种 (D)3种
二、填空题:(每小题3分,共15分)
11.在平面直角坐标系中,点位于第___________象限.
12.若为实数,且,则的值为___________.
13.如图,在中,为的直径,,
则的度数是_____________度.
14.甲计划用若干天完成某项工作,在甲独立工作两天后,乙加入此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前两天完成任务.设甲计划完成此项工作的天数是,则的值是_____________.
15.若一个圆锥的侧面积是,侧面展开图是半圆,则该圆锥的底面圆半径是___________.
三、(第1小题7分,第2小题8分,共15分)
16.解答下列各题:
(1)计算:.
(2)若关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围及的非负整数值.
四、(第17题8分,第18题10分,共18分)
17.已知:如图,与相切于点,,的直径为.
(1)求的长;(2)求的值.
18.如图,已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点.
(1)试确定这两个函数的表达式;
(2)求出这两个函数图象的另一个交点的坐标,并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围.
五、(第19题10分,第20题12分,共22分)
19.某公司组织部分员工到一博览会的五个展馆参观,公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示.
请根据统计图回答下列问题:
(1)将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整;
(2)若馆门票仅剩下一张,而员工小明和小华都想要,他们决定采用抽扑克牌的方法来确定,规则是:“将同一副牌中正面分别标有数字1,2,3,4的四张牌洗匀后,背面朝上放置在桌面上,每人随机抽一次且一次只抽一张;一人抽后记下数字,将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上,再由另一人抽.若小明抽得的数字比小华抽得的数字大,门票给小明,否则给小华.” 请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率,并说明这个规则对双方是否公平.
20.已知:在菱形中,是对角线上的一动点.
(1)如图甲,为线段上一点,连接并延长交于点,当是的中点时,求证:;
(2)如图乙,连结并延长,与交于点,与的延长线交于点.若,求和的长.
B卷(共50分)
一、填空题:(每小题4分,共20分)
21.设,是一元二次方程的两个实数根,则的值为__________________.
22.如图,在中,,,,动点从点开始沿边向以
的速度移动(不与点重合),动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点
重合).如果、分别从、同时出发,那么经过_____________秒,四边形的面积最小.
23.有背面完全相同,正面上分别标有两个连续自然数(其中)的卡片20张.小李将其混合后,正面朝下放置在桌面上,并从中随机地抽取一张,则该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为)不小于14的概率为_________________.
24.已知是正整数,是反比例函数图象上的一列点,其中.记.若(是非零常数),则的值是________________________(用含和的代数式表示).
25.如图,内接于,,是上与点关于圆心成中心对称的点,是边上一点,连结.已知,,是线段上一动点,连结并延长交四边形的一边于点,且满足,则的值为_______________.
二、(共8分)
26.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为180万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆.
(1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.
三、(共10分)27.已知:如图,内接于,为直径,弦于,是的中点,连结并延长交的延长线于点,连结,分别交、于点、.
(1)求证:是的外心;
(2)若,求的长;
(3)求证:.
四、(共12分)28.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线.
(1)求直线及抛物线的函数表达式;
(2)如果P是线段上一点,设、的面积分别为、,且,求点P的坐标;
(3)设的半径为l,圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切?
成都市2010年中考数学答案
一、 选择题:(每小题3分,共30分)
⒈D ⒉C ⒊A ⒋B ⒌D ⒍B ⒎B ⒏A ⒐D ⒑C
二、 填空题:(每小题3分,共15分)
⒒ 四; ⒓ 1; ⒔ 100; ⒕ 6; ⒖ 3
三、 (第1小题7分,第2小题8分,共15分)
16..(1)解:原式==3
(2)解:∵关于的一元二次方程有两个实数根,
∴△=
解得
∴的非负整数值为0,1,2。
四、 (第17题8分,第18题10分,共18分)
17..解:(1)由已知,OC=2,BC=4。
在Rt△OBC中,由勾股定理,得
(2)在Rt△OAC中,∵OA=OB=,OC=2,
∴sinA=
18.解:(1)∵已知反比例函数经过点,
∴,即
∴
∴A(1,2)
∵一次函数的图象经过点A(1,2),
∴
∴
∴反比例函数的表达式为,
一次函数的表达式为。
(2)由消去,得。
即,∴或。
∴或。
∴或
∵点B在第三象限,∴点B的坐标为。
由图象可知,当反比例函数的值大于一次函数的值时,的取值范围是或。
五、 (第19题10分,第20题12分,共22分)
19..解:(1)
B馆门票为50张,C占15%。
开始
1
2
3
4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
小明
小华
(2)画树状图
或列表格法。
小华抽到
的数字
小明抽到
的数字
1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
共有16种可能的结果,且每种结果的可能性相同,其中小明可能获得门票的结果有6种,分别是(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)。
∴小明获得门票的概率,
小华获得门票的概率。
∵
∴这个规则对双方不公平。
20. (1)证明:∵ABCD为菱形,∴AD∥BC。 ∴∠OBP=∠ODQ
∵O是是的中点, ∴OB=OD
在△BOP和△DOQ中,
∵∠OBP=∠ODQ,OB=OD,∠BOP=∠DOQ∴△BOP≌△DOQ(ASA)
∴OP=OQ。
(2)解:如图,过A作AT⊥BC,与CB的延长线交于T.
∵ABCD是菱形,∠DCB=60°
∴AB=AD=4,∠ABT=60°
∴AT=ABsin60°=
TB=ABcos60°=2
∵BS=10,∴TS=TB+BS=12,
∴AS=。
∵AD∥BS,∴△AOD∽△SOB。
∴,
则,∴
∵AS=,∴。
同理可得△ARD∽△SRC。
∴,
则,∴,
∴。
∴OR=OS-RS=。
一、 填空题:(每小题4分,共20分)
21. 7; 22. 3; 23. ; 24. 25. 1和
26.. 解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为。根据题意,得
解得,(不合题意,舍去)。
答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。
(2)设全市每年新增汽车数量为万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为万辆,2011年底全市的汽车拥有量为万辆。根据题意得
解得
答:该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
⌒
⌒
⌒
二、 (共10分)
27. (1)证明:∵C是AD的中点,∴AC=CD, ∴∠CAD=∠ABC⌒
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。 ∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ⌒
⌒
∴在△PCQ中,PC=PQ,
⌒
⌒
∵CE⊥直径AB,∴AC=AE ∴AE=CD ∴∠CAD=∠ACE。
∴在△APC中,有PA=PC, ∴PA=PC=PQ ∴P是△ACQ的外心。
(2)解:∵CE⊥直径AB于F,
∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=,CF=8,
得。
∴由勾股定理,得
∵AB是⊙O的直径,
∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC=, 得。
易知Rt△ACB∽Rt△QCA,∴∴。
(3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90° ∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G;
∴Rt△AFP∽Rt△GFB, ∴,即
易知Rt△ACF∽Rt△CBF,
∴(或由摄影定理得)∴
由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC∴。
三、 (共12分)
28. (1)解:(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,
∴,。
将 代入,得。解得。
∴直线AC的函数表达式为。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D。
∵,
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E, ∵PE∥CO, ∴△APE∽△ACO,
∴, ∴ ∴,解得
∴点P的坐标为
(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
① 当⊙Q与y轴相切时,有,即。
当时,得,∴
当时,得,∴
② 当⊙Q与x轴相切时,有,即
当时,得,即,解得,∴
当时,得,即,解得,∴,。
综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为,,,,。
(Ⅱ)设点Q的坐标为。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有。
由,得,即,
∵△=
∴此方程无解。
由,得,即,
解得
∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。
成都市2011年中考数学试题
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1. 4的平方根是
(A)±16 (B)16 (C)±2 (D)2
2.如图所示的几何体的俯视图是
3. 在函数自变量的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
4. 近年来,随着交通网络的不断完善,我市近郊游持续升温。据统计,在今年“五一”期间,某风景区接待游览的人数约为20.3万人,这一数据用科学记数法表示为
(A)人 (B) 人 (C) 人 (D) 人
5.下列计算正确的是
(A) (B) (C) (D)
6.已知关于的一元二次方程有两个实数根,则下列关于判别式 的判断正确的是
(A) (B) (C) (D)
7.如图,若AB是⊙0的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°, 则∠BCD=
(A)116° (B)32° (C)58° (D)64°
8.已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是
(A) (B) (C) (D)
9. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况,某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计,并绘制成如图所示的条形统计图.根据图中提供的信息,这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是
(A)6小时、6小时 (B) 6小时、4小时 (C) 4小时、4小时 (D)4小时、6小时
10.已知⊙O的面积为9π,若点0到直线的距离为π,则直线与⊙O的位置关系是
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定
二.填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)
11. 分解因式:.________________。
12. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AC、BC的中点,若DE=4, 则AB=________________。
13. 已知是分式方程的根,则实数=___________。
14. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到R t△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是___________。
三、解答题:(本大题共6个小题,共54分)
1 5. (12分,每题6分)
(1)计算:。
(2)解不等式组:,并写出该不等式组的最小整数解。
16.(6分) 如图,在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶.在航行到B处时,发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处;当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时,发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向。求该军舰行驶的路程.(计算过程和结果均不取近似值)
17.(8分)先化简,再求值:,其中。
18.(8分)某市今年的信息技术结业考试,采用学生抽签的方式决定自己的考试内容。规定:每位考生先在三个笔试题(题签分别用代码表示)中抽取一个,再在三个上机题(题签分别用代码表示)中抽取一个进行考试。小亮在看不到题签的情况下,分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签。
(1)用树状图或列表法表示出所有可能的结构;
(2)求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标(例如“”的下表为“1”)均为奇数的概率。
1 9. (1 0分) 如图,已知反比例函数的图象经过点(,8),直线经过该反比例函数图象上的点Q(4,m).(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式;
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A 、B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P,连结0P、OQ,求△OPQ的面积.
20.(1 0分) 如图,已知线段AB∥CD,AD与B C相交于点K,E是线段AD上一动点。(1)若BK=KC,求的值;(2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE= AD时,猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=AD (n>2),而其余条件不变时,线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
21.在平面直角坐标系中,点P(2,)在正比例函数的图象上,则点Q()位于第______象限。
22.某校在“爱护地球 绿化祖图”的创建活动中,组织学生开展植树造林活动.为了解全校学生的植树情况,学校随机抽查了100名学生的植树情况,将调查数据整理如下表:
植树数量(单位:棵)
4
5
6
8
10
人数
30
22
25
15
8
则这l 00名同学平均每人植树 __________棵;若该校共有1 000名学生,请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是__________棵.
23.设,,,…,
设,则S=_________ (用含n的代数式表示,其中n为正整数).
24.在三角形纸片ABC中,已知∠ABC=90°,AB=6,BC=8。过点A作直线平行于BC,折叠三角形纸片ABC,使直角顶点B落在直线上的T处,折痕为MN.当点T在直线上移动时,折痕的端点M、N也随之移动.若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动,则线段AT长度的最大值与最小值之和为_________ (计算结果不取近似值).
25.在平面直角坐标系中,已知反比例函数满足:当时,y随x的增大而减小。若该反比例函数的图象与直线都经过点P,且,则实数k=_________.
二、解答题(本小题共三个小题,共30分.答案写在答题卡上)
26.(8分)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃,苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限),另三边用木栏围成,建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD。已知木栏总长为120米,设AB边的长为x米,长方形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).当x为何值时,S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值;
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆,其圆心分别为和,且到AB、BC、AD的距离与到CD、BC、AD的距离都相等,并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面,以方便同学们参观学习.当(l)中S取得最值时,请问这个设计是否可行?若可行,求出圆的半径;若不可行,清说明理由.
27.(1 0分)已知:如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙O,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥ A C,垂足为K。过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.
(1)求证:AE=CK;
(2)如果AB=,AD= (为大于零的常数),求BK的长:
(3)若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长.
28.(12分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知,,△ABC的面积,抛物线
经过A、B、C三点。
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;
(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M,使△MBC中BC边上的高为?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
数学参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
D
D
B
C
A
C
二、 填空题
11、 12、8 13、 14、
三、解答题
15、(1)2 (2),最小整数解为。
16、BC=
17、解:化简得, 当时,原式=
18、(1)树状图
(2)由树状图或表格可知,所有可能的结果共有9种,
其中笔试题和上机题的题签代码下标均为奇数的有4种,
∴题签代码下标均为奇数的概率是P=
19、(1)∵反比例函数的图象经过点(,8),
∴。
∴反比例函数为,
∵点Q(4,m)在反比例函数的图象上,
∴m=1 ∴Q(4,1)
由题意,直线y=-x+b经过点Q(4,1),
∴1=-4+b,即b=5。
∴一次函数为y=-x+5。
(2)由,消去y,得
即
∴
∴
∴
∴点P的坐标为(1,4).
由直线与x轴相交于A点,得A点的坐标为(5,0)
∴
=
=
20、(1)
(2)①猜想:AB=BC+CD,
证明:延长BE、DC交于点M
∵CD∥AB,AE=ED
∴△AEB≌△DEM
∴AB=MD=CD+MC,∠ABE=∠M
∵∠ABE=∠EBK
∴∠EBK=∠M
∴MC=BC
∴AB=BC+CD
②当AE=AD (n>2),线段AB、BC、CD三者之间有如下等量关系:
()
B卷
一、 填空题
21、四 22、5.8 ,5800 23、, 24、 25、
二、 解答题
26、(1),
∵
∴当x=30时,s取得最大值为1800。
(2)不可行
由(1),当S取得最大值时,有
AB=30,BC=60
设⊙的半径为r米,圆心到AB的距离为y米,据题意,得
解得
∵
∴这个设计不可行。
27、(1)证明△AED≌△CKB
(2)BK=
(3)设GF=x,则EF=x,ED=BK=6,
由射影定理得AE=KC=
由相交弦定理得,
∴
∴
∴
∴K为EC的中点
∴,∴
∴
显然,HE=2BK=12
∴HG=6
28、解:(1)∵,设,则
∴
又,∴
∵
∴,即。
而,∴。
∴,
∴△ABC三个顶点的坐标分别是
,,
∵抛物线经过A、B、C三点,
∴设,把代入得
∴此抛物线的函数表达式为
(2)设点E的坐标为,
∵点E在Y轴右侧的抛物线上,∴。
有抛物线的对称性,知点F与点E关于抛物线的对称轴x=2对称,
易得点F的坐标为。
要使矩形EFGH能成为正方形,有,
则
∴ ①
或 ②
由①得,,解得(舍去)
由②得,,解得(舍去)
当时,
此时正方形EFGH的边长为。
当时,
此时正方形EFGH的边长为。
∴当矩形EFGH为正方形时,该正方形的边长为或。
(3)假设存在点M,使△MBC中BC边上的高为。
∴M点应在与直线BC平行,且相距的两条平行直线和上。
由平行线的性质可得:和与y轴的交点到直线BC的距离也为。
如图,设与y轴交于P点,过P作PQ与直线BC垂直,垂足为点Q,
∵,
∴∠OBC=∠OCB=45°
在Rt△PQC中,,∠PCQ=∠OCB=45°
∴由勾股定理,得
∴直线与y轴的交点坐标为P(0,9)
同理可求得:与y轴交点坐标为,
易知直线BC的函数表达式。
∴直线和的函数表达式分别为。
根据题意,列出方程组:①,②
由①得,,解得;
由②得,
∵△=-31
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