2016年江西省中考数学试卷

2016年江西省中考数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

1．下列四个数中，最大的一个数是（　　）

A．2     B．     C．0      D．﹣2

2．将不等式3x﹣2＜1的解集表示在数轴上，正确的是（　　）

A．  B．  C．  D．

3．下列运算正确的是（　　）

A．a2+a2=a4B．（﹣b2）3=﹣b6C．2x•2x2=2x3D．（m﹣n）2=m2﹣n2

4．有两个完全相同的正方体，按下面如图方式摆放，其主视图是（　　）

   A．   B．   C．   D．

5．设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（　　）

A．2    B．1    C．﹣2    D．﹣1

6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（　　）

A．只有②B．只有③C．②③D．①②③

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

7．计算：﹣3+2=　　　　　　．

8．分解因式：ax2﹣ay2=　　　　　　．

9．如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为　　　　　　．

10．如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为　　　　　　．

11．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=（x＞0）及y2=（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2=　　　　　　．

12．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　　　　　　．

三、解答题（共5小题，每小题3分，满分27分）

13．（1）解方程组：．

（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．

14．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=6．

15．（6分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=．

（1）求点B的坐标；（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．

16．（6分）为了了解家长关注孩子成长方面的状况，学校开展了针对学生家长的“您最关心孩子哪方面成长”的主题调查，调查设置了“健康安全”、“日常学习”、“习惯养成”、“情感品质”四个项目，并随机抽取甲、乙两班共100位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如图不完整的条形统计图．

（1）补全条形统计图．

（2）若全校共有3600位学生家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长？

（3）综合以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和指导？

17．（6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．

（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；

（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．

四、（共4小题，每小题8根，共32分）

18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．

（1）求证：DC=DP；（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

19．（8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．

（1）请直接写出第5节套管的长度；

（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．

20．（8分）甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏，游戏规则如下：

①将牌面数字作为“点数”，如红桃6的“点数”就是6（牌面点数与牌的花色无关）；

②两人摸牌结束时，将所摸牌的“点数”相加，若“点数”之和小于或等于10，此时“点数”之和就是“最终点数”；若“点数”之和大于10，则“最终点数”是0；

③游戏结束前双方均不知道对方“点数”；

④判定游戏结果的依据是：“最终点数”大的一方获胜，“最终点数”相等时不分胜负．

现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4，5，6，7．

（1）若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为　　　　　　；

（2）若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后双方不再摸牌．请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现甲、乙的“最终点数”，并求乙获胜的概率．

21．（8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．

（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）

（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）

（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）

五、（共10分）22．（10分）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．

【探究证明】

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；

（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．

【归纳猜想】

（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为　　　　　　，　　　　　　；

（4）图n中，“叠弦三角形”　　　　　　等边三角形（填“是”或“不是”）

（5）图n中，“叠弦角”的度数为　　　　　　（用含n的式子表示）

六、（共12分）23．（12分）设抛物线的解析式为y=ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1．

（1）求a的值；

（2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）；

（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题：

①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？

②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．

2016年江西省中考数学试卷参考答案

1． A．2．D．3． B．4． C．5． D．6． C．

7．﹣1．8． a（x+y）（x﹣y）．9． 17°．10． 50°．11． 4．12． 5或4或5．

13．解：（1），

①﹣②得：y=1，

把y=1代入①可得：x=3，

所以方程组的解为；

（2）∵将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．

∴∠AED=∠CED=90°，

∴∠AED=∠ACB=90°，

∴DE∥BC．

14．解：原式=÷

=÷

=•

=，

当x=6时，原式==﹣．

15．解：（1）∵点A（2，0），AB=

∴BO===3

∴点B的坐标为（0，3）；

（2）∵△ABC的面积为4

∴×BC×AO=4

∴×BC×2=4，即BC=4

∵BO=3

∴CO=4﹣3=1

∴C（0，﹣1）

设l2的解析式为y=kx+b，则

，解得

∴l2的解析式为y=x﹣1

16．解：（1）乙组关心“情感品质”的家长有：100﹣（18+20+23+17+5+7+4）=6（人），

补全条形统计图如图：

（2）×3600=360（人）．

答：估计约有360位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长；

（3）无确切答案，结合自身情况或条形统计图，言之有理即可，如：从条形统计图中，家长对“情感品质”关心不够，可适当关注与指导．

17．解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．

（2）线段AB的垂直平分线如图所示，

点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．

18．（1）证明：连接BC、OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠OCD=90°，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，

∴∠OAC+∠B=90°，

∵CD为切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠OCA+∠ACD=90°，

∴∠B=∠ACD，

∵PE⊥AB，

∴∠APE=∠DPC=∠B，

∴∠DPC=∠ACD，

∴AP=DC；

（2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；

∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠AOC=120°，

连接OF，AF，

∵F是的中点，

∴∠AOF=∠COF=60°，

∴△AOF与△COF均为等边三角形，

∴AF=AO=OC=CF，

∴四边形OACF为菱形．

19．解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．

（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），

设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，

根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311，

即：320﹣9x=311，

解得：x=1．

答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．

20．解：（1）∵现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，

∴甲摸牌数字是4与5则获胜，

∴甲获胜的概率为：=；

故答案为：；

（2）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；

列表得：

∴乙获胜的概率为：．

21．解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，

由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，

∴∠BOC=9°

∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，

即所作圆的半径约为3.13cm；

（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，

∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，

∴折断的部分为BE，

∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，

∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，

∴∠BAD=9°，

∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，

即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．

22．解：（1）如图1，

∵四ABCD是正方形，

 由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，

∴∠DAP=∠D'AO，

∴△APD≌△AOD'（ASA）

∴AP=AO，

∵∠OAP=60°，

∴△AOP是等边三角形，

（2）如图2，

作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．

∵五ABCDE是正五边形，

 由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°

∴∠EAP=∠E'AO

∴△APE≌△AOE'（ASA）

∴∠OAE'=∠PAE．

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，??AE=AB                            

∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），

∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．

 在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN

∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．

∴∠PAM=∠OAN，

∴∠PAE=∠OAB

∴∠OAE'=∠OAB  （等量代换）．

 （3）由（1）有，△APD≌△AOD'，

∴∠DAP=∠D′AO，

在△AD′O和△ABO中，

，

∴△AD′O≌△ABO，

∴∠D′AO=∠BAO，

由旋转得，∠DAD′=60°，

∵∠DAB=90°，

∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，

∴∠D′AD=∠D′AB=15°，

同理可得，∠E′AO=24°，

故答案为：15°，24°．

 （4）如图3，

∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，

∴∠F=F′=120°，

由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，

∴△APF≌△AE′F′，

∴∠PAF=∠E′AF′，

由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO

∴∠PAO=∠FAO=60°，

∴△PAO是等边三角形．

故答案为：是

（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣

故答案：60°﹣．

23．解：（1）∵点A1（1，2）在抛物线的解析式为y=ax2上，

∴a=2；

（2）AnBn=2x2=2×[（）n﹣1]2=，

BnBn+1=；

（3）由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，则：=，

2n﹣3=n，n=3，

∴当n=3时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，

②依题意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，

有两种情况：i）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时，

=，=，=，

所以，k=m（舍去），

ii）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时，

=，=，=，

∴k+m=6，

∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），

∴取或；

当时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，

相似比为：==64，

当时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，

相似比为：==8，

所以：存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，其相似比为64：1或8：1．