广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题(无答案)

2023-2023学年第一学期初三学情调查数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（    ）

A.平行四边形、菱形 B.矩形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形

2.如图所示，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中的度数是（    ）

A.30° B.60° C.90° D.120°

3.如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，，则的长为（    ）

A.6 B.9 C.12 D.

4.要使分式有意义，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

5.如图，在平面直角坐标系内，正方形的顶点，的坐标分别是，，则点的坐标是（    ）

A. B. C. D.

6.已知菱形的面积为，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（    ）

A.13cm B.24cm C.52cm D.60cm

7.下列命题中，是真命题的是（    ）

A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 

B.两条对角线相等的四边形是矩形

C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

8.如图，平行四边形，从下列四个条件①，②，③，④中选两个作为补充条件.不能确定平行四边形为正方形的是（    ）

A.①② B.②③ C.①③ D.②④

9.如图，、、分别是各边中点，则以下说法错误的是（    ）

A.和的面积相等 B.四边形是平行四边形

C.若，则四边形是菱形 D.若，则四边形是矩形

10.如图，在矩形中，为坐标原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，，若将沿所在直线对折后，点落在点处，则点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.因式分解：______.

12.若一个正方形的对角线的长为6cm，则这个正方形的面积是______.

13.已知菱形的周长为20cm，两个邻角的比为，则较短的对角线长为______cm.

14.如图，在菱形中，对角线，相交于点，为中点，则与相等的线段有______.

15.如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是______.

16.如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④.其中结论正确的序号是______.

三、解答题（一）（每小题6分，共18分）

17.解不等式组：并把它的解集表示在数轴上.

18.先化简，再求值：，其中，

19.如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且.

求证：.

四、解答题（二）（每小题8分，共24分）

20.如图，在平行四边形中，是边上一点，且，连接.

（1）尺规作图：作的平分线交于，交于（不需要写作图过程，保留作图痕迹）；

（2）若，，求的长

21.如图，在平行四边形中，两条对角线相交于点，经过且垂直于，分别与边、交于点、.

（1）求证：四边形为菱形；

（2）若，，且，求平行四边形的面积；

22.如图所示，在矩形中，，分别是边、上的点，，连接，，与对角线相交于点，且，.

（1）求证：；

（2）若，求的长.

五、解答题（三）（每小题14分，共28分）

23.如图所示，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，.

（1）求证；

（2）当为中点时，四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由；

（3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由.

24.已知正方形的边长为4.

图1                              图2

（1）如图1，点在直线上运动，连接，将线段绕点按顺时针旋转90°得到，连接.

①若点与重合，则______.

②若，求的长.

（2）如图2，点在边上（不与，重合）运动，且，连接、.将线段绕点逆时针旋转90°得到，将线段绕点顺时针旋转90°得到，设，，求关于的函数表达式.