黑龙江省大庆市肇州县第二中学2023-2024学年高二上学期9月期末数学试题（含答案）

数学学科试卷

一、选择题：（本大题共8小题，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“”的否定是（    ）

A．B．C．D．

3．已知p：，q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．下列选项中表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

6．奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数为奇函数，则函数的图象（    ）

A．关于点对称B．关于点对称

C．关于点对称D．关于点对称

8．已知函数的最小值为，则常数的值是（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9．已知，下列不等式中正确的是（    ）

A．B．C．D．

10．已知函数，则（    ）

A．B．

C．的最小值为1D．的图象与轴有1个交点

11．给出下列命题，其中正确命题为（    ）

A．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为

B．随机变量，若，，则

C．随机变量服从正态分布，，则

D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

12．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ）

A．为奇函数 B．

C．， D．若的值域为，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数的定义域为 则的定义域为_________________

14．若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为__________.

15．已知，设函数的最大值为，最小值为，那么_______．

16．若对任意的、，不等式恒成立，则实数的取值范围为_______

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的步骤或文字说明或证明过程）

17．设函数，

(1)证明是偶函数；(2)画出这个函数的图像；

(3)指出函数的单调区间，并说明在各个单调区间上是增函数还是减函数

18．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日3时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，下图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．

（1）请将上面列联表填写完整．

（2）依据的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？

（3）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

参考公式：，其中．

19．足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球．为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：

(1)根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱．

（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱）：

(2)求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）．

参考公式和数据：， ，，．

20．在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.

经计算样本的平均值，标准差.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为，并根据以下不等式进行评判.

①；②；③.

评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.

(1)试判断该份试卷被评为哪种等级；

(2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和均值.

21．根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其质量，规定：抽检的件产品中，若至少出现件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．

(1)假设设备正常状态，记表示一天内抽取的件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；

(2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用元，修理费用元，乙部件的检测费用元，修理费用元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由.

参考数据：，，．

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若恒成立，求的取值范围

参考答案：

1．D

【分析】先求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.

【详解】因为集合，，

所以.

故选：D.

2．B

【分析】利用含有一个量词的命题的否定求解.

【详解】解：因为命题“”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即，

故选：B

3．C

【分析】先解不等式，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.

【详解】由可得：，即，

即，所以，

故p是q的充要条件.

故选：C.

4．C

【分析】先求出集合，再利用可得实数的取值范围.

【详解】由，得，所以，

因为，所以，故．

故选：C．

5．D

【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.

【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为R，

所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；

对于B，因为定义域为R，而的定义域为，

所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；

对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数；

对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，

所以是同一函数.

故选：D

6．A

【分析】根据奇函数性质，将不等式化为，再根据单调性以及定义域列式可求出结果.

【详解】因为函数在定义域上为奇函数，

所以，

又函数在定义域上是减函数，

所以，解得.

故选：A

7．A

【分析】根据为奇函数，得到关于对称，进而得到答案.

【详解】函数为奇函数，图像关于对称，

则函数关于对称，

所以函数的图象关于对称．

故选：A.

8．D

【分析】讨论x的范围，去掉绝对值，写出分段函数的形式，利用函数单调性即可求得值；

【详解】（1）∵，∴，

∴，

可得时单减，时单增，

∴x＝2时，；

解得，∴=2，

故选：D.

【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，考查最值的求法，注意运用函数的单调性求解最值，属于中档题．

9．BC

【分析】利用作差法证明，或用特值法求解.

【详解】当时，，故A错误；

∵，∴，故B正确；

∵，∴，故C正确；

当时，，故D错误.

故选：BC.

10．ACD

【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.

【详解】令，得，则，得，

故，，，A正确，B错误.

，所以在上单调递增，

，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.

故选：ACD

11．ABD

【解析】利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断A选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断B选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，

则回归直线方程为，即，A选项正确；

对于B选项，随机变量，

若，，则，解得，B选项正确；

对于C选项，由于随机变量服从正态分布，

，则，C选项错误；

对于D选项，对于独立性检验，随机变量的观测值值越大，则两变量有关系的程度越大，即越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，

故越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D选项正确.

故选：ABD.

12．BCD

【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.

【详解】，，

，，

关于对称，，

，，，

，故C正确；

关于对称，，，为偶函数，

，，，，，为偶函数，故A错误；

，图象关于点中心对称，

存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，

，故D正确；

由得，又，所以，

由得，所以，故B正确；

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：

（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；

（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.

13．

【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.

【详解】由已知，的定义域为，所以对于

需满足,解得

故答案为：.

14．

【分析】根据已知条件得出不等式组，求解即可得出答案.

【详解】要使函数为R上的增函数，

应有，解得.

故答案为：.

15．4016

【详解】试题分析：，设是奇函数，最大值最小值之和为0，是增函数，所以

考点：函数奇偶性单调性与最值

16．

【分析】先将不等式转化为关于的二次不等式恒成立，利用得到关于的不等式恒成立即可求解.

【详解】不等式对任意恒成立等价于

不等式对任意恒成立，

，

，

当时，取得最大值，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

17．(1)证明见解析；

(2)图像见解析；

(3)见解析.

【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；

（2）先画出的部分的图像，再根据偶函数，补全的部分即可；

（3）根据图像即可写出单调区间.

【详解】（1）,

,

所以是偶函数.

（2）函数的图像如图所示：

（3）由图像可知：

函数在和上单调递减，

在和上单调递增.

18．（1）表中数据详见解析；（2）该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联；（3）分布列详见解析，．

【分析】（1）由图中可得，女生中不超过85的人数：超过85分的人数，男生中不超过85分的人数：超过85分的人数，根据男女生人数均为50人，即可补充联表的数据；

（2）根据已知条件，运用独立性检验公式，即可求解；

（3）运用分层抽样的方法，可知抽取的8人中男生占5人，女生占3人，且取值可能为0，1，2，3，分别求出其概率，再结合期望公式，即可求解．

【详解】（1）根据图可得，女生中得分不超过85分的人数，

女生得分超过85分的人数，

男生中得分不超过85分的人数，男生得分超过85分的人数25，即可得表中的数据

（2），

又，

该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联．

（3）由（1）可得，得奖人数中男生：女生，

从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，则男生占5人，女生占3人，

则取值可能为0，1，2，3，

，

，

，

，

随机变量的分布列为

．

19．(1)，y与x线性相关性很强

(2)；244个

【分析】（1）根据公式求解相关系数r，再根据判断即可；

（2）先根据公式求得回归方程，再代入求解即可.

【详解】（1）由题得，

.

所以，

∴y与x线性相关性很强．

（2），，

∴y关于x的线性回归方程是．当时，

，

即该地区2020年足球特色学校有244个．

20．(1)该份试卷应被评为合格试卷

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频数分布表，计算出，的值，由此判断出“该份试卷为合格试卷”；

（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望．

【详解】（1），

，

，

因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.

（2）75分以下的人数为10；大于等于75分小于85分的人数为25；85分及以上的人数为15.

按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，分别抽取人数为2，5，3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，则的取值可能为0，1，2，3.

，，，.

∴的分布列为

.

21．(1)，是合理的；

(2)答案见解析.

【分析】（1） 由题意可得，一天内抽取的件产品中的次品件数，再由二项分布的概率公式求解即可；

（2）分别求出两种情况的费用均值，作差比较得出结果.

【详解】（1）由题可知，单件产品为次品的概率为，所以，

，

所以．

由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的个零件中，至少出现个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的．

（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为，，

则，，

所以，

若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为，，

则，，

所以，

所以，

则当时，，应先检测乙部件；

当时，，先检测甲部件或乙部件均可；

当时，，应先检测甲部件．

22．(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；

(2)

【分析】（1）含参讨论导函数的正负即可；

（2）结合（1）的结论得，则有得出，构造函数判断其最值即可.

【详解】（1）由，

若，则恒成立，即在上单调递增，

若，令得，即在上单调递增，

令得，即在上单调递增，

综上所述当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递增；

（2）由（1）得当时，在上单调递增，

当趋近于时，趋近于，不符合题意，

故，则，

所以，

令，

显然当时，，时，，故在时单调递减，

在上单调递增，即，

所以，即