四川省宜宾市第四中学2023-2024学年高三理科数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

宜宾市四中高2021级高三上学期开学考试

理科数学

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知（i是虚数单位），则（    ）

A.  B. 1 C. 0 D. i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i的性质，即可求得答案.

【详解】由题意,

故选：B

2. 命题“R，”的否定是

A. R， B. R,

C. R,  D. 不存在R，

【答案】B

【解析】

【详解】

由题意得，根据全称命题与存在性存在性命题的关系，

可知命题“ ”的否定是为“”，故选B．

3. 已知函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接求导数即可.

【详解】因为，则.

故选：B

4. 工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（    ）

①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；

②车间约有120名工人上月产量低于65件；

③该车间工人上月产量的平均数低于64件；

④该车间工人上月产量的中位数低于63件．

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率的计算，以及平均数、方差和中位数的计算方法，逐项判定，即可求解.

【详解】①中，根据频率分布直方图，可得该车间工人上月产量的极差大约为50件，所以①不正确；

②中，根据频率分布直方图，可得低于65件的频率为，

所以月产量低于65件的人数为，所以②正确；

③中，根据频率分布直方图，可得平均数为：

，所以③不正确；

④中，根据频率分布直方图，设中位数为，可得，所以④正确.

故选：D.

5. 已知，则“且”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合充分条件、必要条件的定义，利用举例说明即可判断命题.

【详解】若“且”，则“”成立；

若“”，当时，

不满足“且”，

所以“且”是“”成立的充分不必要条件.

故选：A

6. 直线与圆的交点个数是(     )

A 0 B. 1 C. 2 D. 无数个

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，进而可得结果.

【详解】圆的圆心，半径为，

圆心到直线的距离为，

因为，可得，即圆心到直线的距离小于半径，

所以直线与圆相交，即交点个数是.

故选：C.

7. 展开式中的系数为

A. 92 B. 576 C. 192 D. 384

【答案】B

【解析】

【详解】展开式中含的项为，即的系数为576；故选B.

点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路：

（1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；

（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将化成，再利用两次二项式定理进行求解.

8. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种

【答案】B

【解析】

【分析】先将5名志愿者分为4组，然后再将4组分到4个项目，再根据分布乘法原理即可得解.

【详解】先将5名志愿者分为4组，有种分法，

然后再将4组分到4个项目，有种分法，

再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有种.

故选：B.

9. 已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得，而.

【详解】设收集的48个准确数据为，

所以，所以，

所以，又

，

，

故选：B.

10. 已知三棱锥P－ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（    ）

A 4π B. 8π

C. 12π D. 16π

【答案】A

【解析】

【分析】设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，利用体积计算得到d的值，进而求得R2＝1，然后计算可得.

【详解】依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，

则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，

所以VP－ABC＝2VO－ABC＝2×S△ABC×d＝××12×d＝，解得d＝，

又外接圆的半径为，

故R2＝d2＋＝1，

所以球O的表面积等于4πR2＝4π，

故选：A.

【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，涉及棱锥的体积和球的表面积，属中档题，关键是利用体积转化求得球心O到平面ABC的距离为d.

11. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题设有，构造，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为在上恒成立，再构造结合导数求参数范围.

【详解】由，可得，

即，令，则在上恒成立，

所以，由可得，由可得，

所以在上递增，在上递减，且，

在上，上，而，

所以，必须且只需在上恒成立，即恒成立，

令，则，即在上递增，

故，

故a的取值范围为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

12. 已知中心在坐标原点的椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，且，点为线段上靠近的四等分点.若对于线段上的任意一点，都有成立，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由结合极化恒等式得，从而得，结合椭圆定义可得在和中由余弦定理建立关系得离心率.

【详解】

取的中点，连接.

则有.

同理，

因此.所以，

取的中点，连接，则，由三线合一得，

设，故，解得，

则，

在和中，由余弦定理得，，解得，

故选：.

【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

本题关键是在和中由余弦定理建立关系式，也可以在和中同样的方法求解.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若，则__________(精确到0.01).

参考数据：若，则，.

【答案】0.82

【解析】

【分析】根据正态分布的均值和标准差计算概率.

【详解】因为，根据参考数据，.

故答案为：.

14. 函数，若，则________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.

【详解】由题得，

∴，

所以．

故答案为：3.

15. 若是函数的极小值点，则实数的值为______.

【答案】2

【解析】

【分析】求导，根据极值点与导函数的关系求的值，并代入原函数结合单调性检验.

【详解】由题意可得： ，

因为，解得或，

若，则，

令，解得或；令，解得；

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以是极小值点，符合题意；

若，则，

令，解得或；令，解得；

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以是极大值点，不符合题意；

综上所述：实数的值为2.

故答案为：2.

16. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为2，且的焦距与椭圆的焦距相等，则双曲线的渐近线方程是______________.

【答案】

【解析】

【分析】双曲线焦点到其渐近线的距离为,由双曲线焦距与椭圆焦距相同可得,进而求的,即可得到双曲线的渐近线方程.

【详解】因为双曲线C的焦点到其渐近线的距离为2,所以,

因为椭圆的焦距与的焦距相等,所以,则,

所以双曲线的渐近线方程是,

故答案为:

【点睛】本题考查双曲线的性质的应用,考查双曲线的渐近线方程.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分.

17. 我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善，也加重了北方地区冬季的雾霾天气．推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省2018年1~7月份煤改气、煤改电的用户数量．

（1）在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．

参考数据：，，．

【答案】（1）答案见解析   

（2），2.02万户

【解析】

【分析】（1）首先根据题意画出散点图，再求相关系数即可.

（2）首先求出回归直线得到，再代入求解即可.

【小问1详解】

作出散点图如图所示．

由条形图数据和参考数据得，

，，，

，

所以．

y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，

从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

【小问2详解】

由，又由（1）得，

，

所以y关于t的回归方程为．

将代入回归方程得．

所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．

18. 已知函数f(x)=.

（1）若f(x)在上是增函数，求实数a的取值范围;

（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在上的最小值和最大值．

【答案】(1) a≤0(2) f(x)max＝－6，f(x)min＝－18.

【解析】

【分析】

【详解】解：（1）对f(x)求导，得．由，得．记，当时，是增函数，

∴

∴a<0．又a=0也符合题意，故．

（2）由题意，得，即,∴

∴,．令,得．

当x变化时，、f(x)的变化情况如下表：

当与时，f(x)是增函数；

当时，f(x)是减函数．

于是，当时，；

而f(1)=-6，f(4)=-12，

∴．

19. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱上靠近的三等分点，底面，且.

（1）在侧棱上是否存在点，使得点四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）取靠近的三等分点，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取靠近的三等分点，连接，可证得即可得出结果.

（2）法1：过作的垂线，垂足为，连接，求证得是二面角的平面角，计算即可求得结果;

法2：以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量，利用数量积公式计算即可得出结果.

【小问1详解】

取靠近的三等分点，连接.

因为，所以.

又，所以，所以共面.

【小问2详解】

法1：

过作的垂线，垂足为，连接，

因为平面平面，所以.

因为平面，

所以平面.

因为平面，

所以，结合，

得是二面角的平面角.

在Rt中，是靠近的三等分点，，

故，

，

故二面角的余弦值为.

法2：

以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，

因为，四边形为正方形，

所以，

从而.

设平面一个法向量为，则

即取，则.

平面的一个法向量为.

设二面角的平面角为，

则，

故二面角的余弦值为.

20. 已知抛物线的焦点为F，，点是在第一象限内上的一个动点，当DP与轴垂直时，，过点作与相切的直线交轴于点，过点作直线的垂线交抛物线于A，B两点．

（1）求C的方程；

（2）如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．

①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值；

②求的最小值．

【答案】（1）   

（2）①证明见解析；②.

【解析】

【分析】（1）利用抛物线定义列出方程求解结果；

（2）①设，表示直线PM的斜率，求解；将直线PD的方程与联立，由韦达定理表示，求解得出结果；

②求解并化简，结合基本不等式进行求解.

【小问1详解】

因为当DP与轴垂直时，，

根据抛物线定义得，解得 ，所以．

【小问2详解】

①证明：设，则，

由，得当时，，

所以直线PM的斜率为，所以直线，

即，，所以．

又因为，，所以．

将直线PD的方程与联立并化简，得，

易得，设，则，所以．

把点的坐标代入，得，

所以．所以，为定值．

②由①得，直线．

将与联立并化简，得，

易得，则，，

所以．

在直线AB的方程中，令，得，

设直线AB与轴的交点为，则的坐标．

因为，所以，

则

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为．

21. 已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．

①；

②．

【答案】（1）的单增区间为；单减区间为，   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；

（2）若选①，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明；

若选②，首先根据函数有两个极值点，证得，，再变换为，通过构造函数，利用导数，即可证明.

【小问1详解】

，

当时，，

令，解得；令，解得或，

所以的单增区间为；单减区间为，．

【小问2详解】

证明①：由题意知，是的两根，则，

，

将代入得，，

要证明，

只需证明，

即，

因为，所以，

只需证明，

令，则，只需证明，即，

令，

，

所以在上单调递减，可得，

所以，

综上可知，．

证明②：

设，

因为有两个极值点，所以，

解得，

因为，

所以，

，

由题意可知，

可得代入得，，

令，

，

当，所以在上单调递减，

当，所以在上单调速增，

因为，所以，

由，

可得，所以，

所以，

所以，即．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 已知直线的参数方程为：

（1）若，上一点对应的参数值，求的坐标和的值；

（2）与圆交于，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入得，再利用两点距离公式即可得到答案；

（2）将参数方程代入圆方程中，再利用韦达定理即可得到弦长.

【小问1详解】

把代入参数方程得，则，

.

【小问2详解】

把参数方程代入圆方程有：，

整理得：，，

于是，

所以，代入得.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为k，且实数a，b，c满足.求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用零点分段讨论法即可求解；

（2）由绝对值三角不等式可得的最小值，进而有，又，从而利用柯西不等式即可证明.

【小问1详解】

解：当时，，所以原不等式即为，解得；

当时，，原不等式即为，解得；

当时，，原不等式即为，解得.

综上，原不等式的解集为.

【小问2详解】

解：因为，当且仅当时取等号，

所以，

由柯西不等式可知，