山东省淄博市2023届高三数学下学期一模试题（Word版附解析）

这是一份山东省淄博市2023届高三数学下学期一模试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了 已知，，，016等内容，欢迎下载使用。
淄博市2022-2023学年度高三模拟考试数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合A,B中元素的范围，然后求即可.【详解】,,,.故选：C.2. 设复数，则（    ）A 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】求出复数的代数形式，进而可求模.【详解】，.故选：D.3. 函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，得到函数的图象，只需将的图象（    ）A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】先根据条件求出周期，即可得到，再利用平移的规则即可得到答案、.【详解】函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，则，，，只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象.故选：C.4. 如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为，则其体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由图可知：该几何体是有一个圆柱和两个半球拼接而成，根据表面积公式求出圆柱的高，利用体积计算公式即可求解.【详解】由题意可知：设该几何体中间部分圆柱的高为，圆柱的半径为，则该几何体的表面积为，因为，所以，所以该几何体的体积，故选：A.5. 某公园有如图所示至共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（    ） A. 168 B. 336 C. 338 D. 84【答案】B【解析】【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有种，第二步：排女生，若男生选，则女生有共7种选择， 由于女生可以互换，故女生的排法有种，根据分步计数原理，共有种，故选：B6. 已知中，，，，过点作垂直于点，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据求得，再用余弦定理求得，利用等面积法求得，勾股定理求得，从而，最后分解为已知向量即可.详解】即，又因为，所以.在中，根据余弦定理可得：，即，根据三角形面积公式，解得，，，.故选：A7. 直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由直线与坐标轴的交点，得到，，则，由，得点坐标，点A又在椭圆上，由定义求得，可求椭圆的离心率.【详解】对直线，令，解得，令，解得， 故，， 则 ，设，则 ，而，则 ，解得 ， 则，点A又在椭圆上，左焦点，右焦点，由，则，椭圆的离心率.故选：C8. 已知，，.其中为自然对数的底数，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知条件构造函数，，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】由，令，令，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以，又，所以，在成立，所以，即，所以，即，令，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，所以，即令，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，所以，即，所以，在成立，令，则上式变为，所以，即，综上，.故选：B.【点睛】解决此题的关键是构造函数，，，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（    ）A. 图中的值为0.016B. 估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C. 该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D. 该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80【答案】BCD【解析】【分析】根据频率分布直方图性质可得，判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.【详解】由频率分布直方图性质可得：，解得，故A错误；得分介于60至90之间的频率为，故B正确；得分不小于90的人数估计为，故C正确；得分介于50至80之间的频率为，故D正确.故选：BCD.10. 已知函数，则（    ）A. 当时，在有最小值1B. 当时，图象关于点中心对称C. 当时，对任意恒成立D. 至少有一个零点的充要条件是【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式判断选项；利用函数的对称性即可判断选项；利用导数判断函数的单调性即可判断选项；举例说明即可判断选项.【详解】对于，当时，，当时，则当且仅当，即时去等号，所以函数在有最小值1，故选项正确；对于，当时，则，因为，所以此时函数图象不关于点中心对称，故选项错误；对于，当时，则，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则当时，对任意恒成立，故选项正确；对于，因为时，函数，，函数在上有一个零点，所以选项错误，故选：.11. 已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（    ）A. 若，则为双曲线，且渐近线方程为B. 若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆C. 若点的坐标为，线段与轴垂直，则D. 若直线，的斜率分别为，，则【答案】BD【解析】【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.【详解】对于，若，则为双曲线，其双曲线的渐近线方程为：，故选项错误；对于，因为点在曲线上，所以，所以，则曲线为椭圆，又因为，所以为焦点在轴上的椭圆，故选项正确；对于，因为点的坐标为，所以过点与轴垂直的直线方程为，代入曲线方程可得：，若，则有，若，则有，故选项错误；对于，由题意可知：，，设点，则，，所以，又因为点在曲线上，所以，所以，故选项正确，故选：.12. 如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（    ）A. 存在唯一点，使得B. 存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值C. 若，则三棱锥外接球的表面积为D. 若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分【答案】BCD【解析】【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点位置，判断选项B；为中点时，求三棱锥外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点的轨迹，判断选项D.【详解】对于A选项：正方形中，有，正方体中有平面，平面，，又，平面，平面，只要平面，就有，在线段上，有无数个点，A选项错误；对于B选项：平面，直线与平面所成的角为，，取到最小值时，最大，此时点与点重合，B选项正确；对于C选项：若，则为中点，为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，C选项正确；对于D选项：以D为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则有，，有，化简得，是正方形内部(含边界)的一个动点，所以的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.故选：BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在二项式的展开式中，常数项是______.【答案】【解析】【分析】由题意首先结合通项公式写出通项，然后结合展开式的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则展开式的常数项为：.故答案为：14. 若，，则______.【答案】【解析】【分析】先通过以及确定的范围，进而可得，再利用两角差的余弦公式展开计算即可.【详解】,，又，若，则，与矛盾，，，.故答案为：.15. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与圆交于，两点，若为正三角形，则实数______.【答案】【解析】【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得答案.【详解】由题意可知在圆上，如图：设MN中点为H，连接PH，因为为正三角形，则PH过点O,且 ，则直线MN的斜率为：，故即为，因为为正三角形，则O点为的中心，由中心及重心性质知，，故 ，解得 ，结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知 ，即.故答案为：，16. 已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，构造函数，，由得出单调递增，求出的最大值，即可求得答案．【详解】解：作出的函数图象如图所示：∵存在实数，满足， ，，由图可知，，，设，其中，，显然在单调递增，， ，， 在单调递增，在的最大值为，的最大值为，故答案为：．四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列中，，.（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列的前项和【答案】（1）是等差数列，理由见解析    （2）【解析】【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解；(2)结合（1）的结论得出，然后利用错位相减法即可求解.【小问1详解】因为，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）知：数列的通项公式为：，则， ①，②，①②得：，则.18. 在中，角，，的对边分别是，，，满足（1）求角；（2）若角的平分线交于点，且，求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；(2)利用正弦定理得到，，然后利用基本不等式即可求解.【小问1详解】由可得：，由余弦定理知，，又因此.【小问2详解】在中，由，得，在中，由，可得，所以；在中，由，得，解得，，所以，因为，，所以，当且仅当时取等号，因此的最小值为.19. 某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出1246111319销售量1.93.2404.45.25.35.4其中，（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程；（2）若用模型拟合得到的回归方程为，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请根据的数值选择更好的回归模型拟合与的关系，进而计算出年度广告费为何值时，利润的预报值最大？参考公式：，；【答案】（1）    （2）选用回归方程更好，时，利润的预报值最大【解析】【分析】(1)根据数据，利用公式即可求出线性回归方程；（2）越大拟合效果越好，选用回归方程更好，从而计算出结果.【小问1详解】由题意可得：所以，，关于的线性回归方程：.【小问2详解】因为，越大拟合效果越好，选用回归方程更好，，即当时，时，利润的预报值.20. 已知多面体中，，且，，（1）证明:；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析;    （2）【解析】【分析】（1）通过证明，得平面，从而证明；（2）由条件证得，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系求解.【小问1详解】连接,，在中，，，，，可得，即，同时，可得，同理可得，因为，，且平面，平面，，所以平面；又因为平面，所以.【小问2详解】在中，易得，且，所以，同时，，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，如图所示，建立空间直角坐标系.其中，，，，，，设向量为平面的法向量，满足，不妨取，，直线与平面所成角的正弦值为：.21. 已知抛物线：上一点到其焦点的距离为3，，为抛物线上异于原点的两点.延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点.（1）若，求四边形面积最小值；（2）证明:点在定直线上.【答案】（1）32    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得抛物线方程，设，，直线的方程，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式求得，再结合基本不等式即可得解；（2）设，，，根据，，三点共线和，，三点共线，求得，再结合（1）即可得出结论.【小问1详解】由抛物线定义可知，，解得，即抛物线方程为，由题意，设，，直线的方程，由，消去得，恒成立，由韦达定理可知：，，故，因为，所以直线的方程为，于，则当且仅当，即时等号成立，所以四边形面积的最小值为32；【小问2详解】设，，，因为，，，都在上，所以，，因为，，三点共线，所以有，即，整理得：，同理，因为，，三点共线，可得，即，解得：，由（1）可知，，代入上式可得：，得，即点在定直线上.【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式及抛物线与直线位置关系的应用，考查了抛物线中四边形的面积的最值问题，及抛物线中的定直线问题，考查了逻辑推理和数据分析能力，有一定的难度.22. 已知函数和有相同的最小值.（1）求的值；（2）设，方程有两个不相等的实根，，求证:【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】(1)由二次函数的性质可得，利用导数可得，再根据两函数的最小值相同，求解即可；(2) 令，利用导数确定即在上单调递增，由零点存在定理可得，使，由题意可设，，利用导数可得是减函数，即可得 ，再由在上的单调性即可得证.【小问1详解】解：，所以；函数的定义域为，，令，解得，解得，所以在上单调递减，在上单调递增.所以因为函数和有相同的最小值，所以即；【小问2详解】证明：，，令，则，所以即在上单调递增，因为，所以，使，于是在上单调递减，在上单调递增.又，当趋于0时，趋于0，则当时，方程有两个不相等的实根根，，不妨设.设，则，，由即，得，并代入上式，得所以是减函数，，即，又由题意，得，而，且在上单调递增，所以，即，又，故.【点睛】方法点睛：有关函数的单调性的问题，借助于导数进行确定；关于不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题进行解答.