山东省潍坊诸城市、安丘市、高密市2022-2023学年高一数学下学期期中检测试题（Word版附解析）

2023年5月份期中检测试题

高一数学

本试卷共4页  满分150分

注意事项：

1． 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．

2． 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．

3． 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4． 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，，若，则（    ）

A. 2 B. －2 C. 1 D. －1

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量共线的坐标表示可求答案.

【详解】因为，，，

所以，即.

故选：A.

2. 若是第四象限角，则是（    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】由是第四象限角得到的范围，再计算的范围，即可得到所在的象限.

【详解】因为是第四象限角，所以,

所以，所以，

所以是第三象限角.

故选：C

3. 如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出圆的面积，再乘以即可.

【详解】因为航海罗盘将圆周32等分，圆盘的半径为4，

所以每一份的扇形面积为.

故选：C.

4. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ）

A. 和 B. 和

C. 和 D. 和

【答案】B

【解析】

【分析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找到共线向量的一组即可，可根据共线向量的基本定理进行判断.

【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，，所以和共线.

故选: B.

5. 已知，则的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】知切求弦，利用商的关系，即可得解.

【详解】，

故选：A

6. 如图，已知，，的模均为4，且，则（    ）

A. 24 B. －24 C. 8 D. －8

【答案】A

【解析】

【分析】由，应用向量数量积的运算律及定义求值即可.

【详解】由，，

所以

.

故选：A

7. 如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为，OP绕O逆时针旋转后与单位圆交于点Q，角的终边在OQ上，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得，，，用诱导公式即可得出和，又由用诱导公式和二倍角公式得，，即可判断选项是否正确.

【详解】由三角函数定义可知，

又为第一象限角，所以；

又，所以,.

故A，B错误；

因为，所以，

所以.

.

故C错误，D正确；

故选：D

8. 已知函数，则（    ）

A. 是周期函数 B. 在区间单调递减

C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称

【答案】B

【解析】

【分析】利用绝对值的定义及正弦函数的图象及性质，作出函数图象,结合函数的图象即可求解.

【详解】由题意可知，，作出函数的图象，如图所示，

由图像可知，当时，是周期函数，当时，是常数函数，故是不周期函数，故A错误；

在区间单调递减，故B正确；

的图象不关于直线对称，故C错误；

的图象不关于点对称，故D错误.

故选: B.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法中正确的是（    ）

A. 是与非零向量共线的单位向量 B. 若与共线，则或

C. 若，则 D. 若，，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据数乘向量的意义可判断A；根据两向量共线的定义可判断B；根据零向量的定义可判断C；根据零向量与其他向量的关系可判断D.

【详解】对于A：根据数乘向量的意义得，且的方向与的方向相同，所以选项A正确；

对于B：若与共线，则与的方向相同或相反，或者或为零向量，但与的模不一定相等，所以不一定得到或，所以选项B错误；

对于C：根据零向量的定义知选项C正确；

对于D：当 时，得不到与平行，故选项D错误；

故选：AC.

10. 设平面向量，，，，在方向上的投影向量为，则（    ）

A. 的最大值为4 B. 最大值为2

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】设与的夹角为，则由数量积的公式可得，，当为锐角时，，即可判断A，C ，D，由向量的求模公式可得即可判断B.

【详解】设与的夹角为，

对于选项A，，因为，所以，即的最大值为4，故选项A正确.

对于选项B，，

所以最大值为，故选项B错误.

对于选项C，因为在方向上的投影向量为，所以与的夹角为或，，

所以，即，故选项C正确.

对于选项D，当为锐角时，，，， 故选项D错误.

故选：AC

11. 如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设O到地面的高OT为，点P为转轮边缘上任意一点，点P在x轴上的垂足为M，转轮半径为，记以OP为终边的角为，点P离地面的高度为，则（    ）

A. 点P坐标为 B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由三角函数定义可求点P坐标及的长度，从而可判断选项A、D,

由向量的加法可知，再求出其模，从而判断选项B，由平面向量数量积的定义可判断选项C.

【详解】设点，由三角函数定义，，

从而可得点P坐标为，所以选项A正确；

因为，所以，

只有当的终边落在轴上时，，所以选项B错误；

因为，所以选项C正确;

当的终边在第一、二象限或轴正半轴上时，；

当的终边在第三、四象限或轴负半轴上时，因为，

此时；

当的终边轴上时，，此时，

所以，不管的终边在何处，都有，所以选项D正确.

故选：ACD

12. 已知函数（其中A，，，B均为常数，，，）的部分图像如图所示，则（    ）

A.

B.

C. 图像的对称中心为

D. 函数为偶函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】先由图像求出，得到的解析式，即可判断选项A正确；求出，化简得，由当时，有最大值可判断选项B正确；求出图像的对称中心，取适当的值，，即可判断选项C错误；求出，化简得，由，即可判断选项D正确.

【详解】由图可知的最大值为3，最小值为0，

则，

因为，所以，所以，

所以函数解析式，

在函数图像上，，

则，解得，

，取，则，

函数解析式为.

故选项A正确.

因为，

因为当时，有最大值，所以，

故选项B正确.

图像的对称中心满足，解得，

等价于，所以图像的对称中心为

故选项C错误.

，因为，

所以函数为偶函数.

故选项D正确.

故选：ABD

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 记，那么______．

【答案】

【解析】

【分析】取的坐标为，与的终边关于原点对称，故在的终边上，计算得到答案.

【详解】在的终边上取一点，使，则的坐标为.

因为与的终边关于原点对称，

所以点关于原点对称的点在的终边上，所以.

故答案为：

14. 写出一个最小正周期为6的奇函数______．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】此题答案不唯一，只要满足最小正周期6且为奇函数即可.

【详解】的最小正周期为 ,且定义域为，

同时满足题意.

故答案为：

15. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值是______．

【答案】##0.75

【解析】

【分析】由恒成立问题，求出函数最值，利用最值的性质进行求值即可.

【详解】因为对任意的实数x都成立，

所以在时取得最大值，

所以，

则，

则，又因为，

所以当时，取得最小值为.

故答案为：.

16. 已知平面向量，，满足，，，．当时，______．

【答案】

【解析】

【分析】通过作图将向量模表示为线段长度，借助几何图形求线段长度即可.

【详解】如图，作，，，由题意知，，，则，.

设直线与直线交点为，则，且，，即.

因为，且，

所以，

故，即，所以.

作于，于，则与相似，且相似比，所以.

设，则，，

又，所以， 所以.

在中，,

又，

所以，即点与点重合，故，

所以，

故，.

又与相似，且相似比为，于是，，

所以在中，.

从而，故.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．

【答案】；证明见解析.

【解析】

【分析】先写出两角差的余弦公式，在单位圆中设的终边与单位圆相交，写出交点坐标，并计算向量的数量积.再由或得到，从而证明，即可证明结论.

【详解】公式：

证明：如图，

单位圆中，设，，

，

又存在，使得或，

所以，

因为，

所以，

故．

18. 在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A，B，C三点，已知向量以A为始点．

（1）试以B为始点画出向量，使，且，并求向量的坐标；

（2）在（1）的条件下，求．

【答案】（1）作图见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用平面向量的坐标运算即可解决；

（2）利用平面向量的数量积运算结合分类讨论即可解决.

【小问1详解】

向量满足，且，则如图，这两个向量均满足题意，证明如下：

向量，，则，得，

因为，解得，所以；

【小问2详解】

若，，，所以．

若，，．所以．

19. 已知向量，，．

（1）当时，求的值；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求得，结合角的范围求大小；

（2）利用向量数量积、辅助角公式可得，根据正弦型函数性质求值域，即可得范围.

【小问1详解】

因为，所以，得，

又，所以．

【小问2详解】

，

因为，所以，则，

所以，故．

20. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数的解析式；

（2）先将图象上的所有点，向左平移个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，若的图象关于直线对称，求当取得最小值时，函数的单调递增区间．

【答案】（1）填表见解析；   

（2），

【解析】

【分析】（1）由图得，计算得，从而可得，代入点计算得，从而可得函数解析式，根据五点法分别计算数据并补全表格；

（2）根据三角函数伸缩平移变换规律得函数，由对称轴列式计算得值，再利用整体法计算函数的单调递增区间.

【小问1详解】

根据表中已知数据，得，，可得，

当时，，解得，

所以．

数据补全如下表：

【小问2详解】将图象上所有的点向左平移个单位长度，

得到的图象，

再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，

所以

因为的图象关于直线对称，

所以，，解得，，

因为，所以，此时，

由，，

可得，，

所以函数的单调递增区间为，．

21. 如图，在梯形中，．

（1）令，，用，表示，，；

（2）若，且，求，．

【答案】（1）， ，   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；

（2）首先求出，再根据数量积的运算律及得到方程，求出，最后根据及运算律计算可得.

【小问1详解】

因为，

所以，

，

；

【小问2详解】

因为，，所以，

因为，

且，

所以，

解得，

所以，

因为，，

所以

．

22. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为．

（1）若向量的“积函数”满足，求的值；

（2）已知，设，且“积函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时，的关系．

【答案】（1）   

（2）最小值，此时

【解析】

【分析】(1) 由题意知向量的“积函数”为，把和分别代入，得到，化简后令，得，即可求出，从而求出，即的值；

 (2) 设，，则可得到，令，由三角函数的有界性得到，可得，代入消去得，所以，把代入化为二次函数即可求出最小值及此时，的关系.

【小问1详解】

由题意知向量的“积函数”为，

所以，

令，上式化为，

所以，，，

即；

【小问2详解】

设，，

因为，

所以

，

令，

此时存在，满足.当且仅当时，等号成立，其中，

所以，即，所以，，

所以，

所以，

此时，

所以的最小值为，此时．