2024滨州邹平一中高二上学期开学考试数学试题含解析

这是一份2024滨州邹平一中高二上学期开学考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省邹平市第一中学2023-2024学年度高二上学期9月开学考数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（    ）A．3 B． C． D．2．如果实数，满足，则的范围是（    ）A． B． C． D．3．已知抛物线x2=16y的焦点为F，双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（    ）A．5 B．7 C．9 D．114．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．5．已知抛物线，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线与交于，两点，则下面陈述不正确的为（    ）A． B．C． D．记原点为，则6．如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述错误的是（    ）A．曲线W围成的封闭图形面积为B．若圆与曲线W有4个交点，则或C．与的公切线方程为D．曲线上的点到直线的距离的最小值为7．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的角平分线的垂线，垂足为，若则的长为（    ）A．5 B．6 C．7 D．88．已知双曲线的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（    ）A． B． C． D．二、多选题9．在下列四个命题中，正确的是（    ）A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大10．已知方程，则（    ）A．若此方程表示椭圆，则B．若此方程表示双曲线，则或C．若此方程表示焦点在y轴的双曲线，则D．若此方程表示圆，则圆的半径为111．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ）A．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条B．设点，则的最大值为C．点到直线的最小距离为D．点到直线与点到轴距离之和的最小值为12．已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（    ）A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为B．若三棱锥的体积是定值C．若，有且仅有一个点P，使得平面D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是三、填空题13．已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______．14．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为______．15．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是______．16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与双曲线的左支交于，两点，且，线段的中垂线恰好经过点，则双曲线的离心率是______．四、解答题17．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，．（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值．18．已知直线，椭圆．（1）证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；（2）已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围．19．已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为1，求弦的长；（3）若过点的直线与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦的中点，求直线的方程．20．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值．21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线C过点．（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点M的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得成立，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．22．在中，，点是椭圆在轴上方的顶点，的方程是，当在直线上运动时．（1）求外接圆的圆心的轨迹的方程；（2）过定点作互相垂直的直线、，分别交轨迹于、和、，求四边形面积的最小值．山东省邹平市第一中学2023-2024学年度高二上学期9月开学考数学   参考答案：1．D    2．B    3．C4．D【详解】化简曲线得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以．当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时．由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以．故选：D．5．D【详解】解：由题意知，令直线，，，与抛物线联立方程，消去x得，所以，，所以，则，故A正确；由，所以，当时，经检验亦成立，故B正确；，故C正确；如图，作OE垂直AB于E，则，当时，经检验亦成立，故D错误，故选：D．6．D【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆构成，所以其面积为，故A正确；当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G；当或时，没有交点；当时，交点个数为8个，故B正确；设与的公切线方程为，由直线和圆相切的条件可得，解得，（舍去），则其公切线方程为，即，故C正确；同理可得，的公切线方程为，则两平行线距离为，故D错误．7．C【详解】如图，延长交的延长线于点B，因为，，所以，．又，所以，，由椭圆的定义得，，所以，∴．故选：C8．B【详解】双曲线的渐近线方程为，过与此渐近线垂直的直线方程为：，联立求得，，①代入渐近线中，得到，，②，∵，∴，∴，整理得：，结合，整理可得，即离心率．故选：B．9．AB【详解】当时，其斜率，所以A正确；根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以B正确；若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，，且，故C不正确；直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB．10．BD【详解】对于A：当方程表示椭圆时，，解得且，故A错误．对于B：当方程表示双曲线时，，解得或，故B正确．对于C：当方程表示焦点在y轴的双曲线时，，解得，故C错误．对于D：当方程表示圆时，，解得，此时方程为，故D正确．故选：BD11．BCD【详解】对于A选项，设过点A的直线为m，若直线m方程为，此时直线m与抛物线只有一个公共点，若直线m的方程为，此时直线m与抛物线只有一个公共点，若直线m的斜率存在且不为零，设直线m的方程为，联立可得，若直线m与抛物线相切，则，解得，此时，直线m的方程为，综上所述，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；对于B选项，如下图所示：易知点，，当且仅当点P为射线BF与抛物线的交点时，等号成立，故的最大值为，B对；对于C选项，设点，其中，则点P到直线的距离为，当且仅当时，等号成立，故点P到直线的最小距离为，C对；对于D选项，如下图所示：抛物线的准线为，过点P作，垂足为点A，设PA交y轴于点B，过点P作直线的垂线，垂足为点D，连接PF，则，当DF与直线垂直时，取最小值，且最小值为点F到直线的距离，因此，，故点P到直线与点P到y轴距离之和的最小值为1，D对．故选：BCD．12．BD【详解】A：由，即P为中点，连接，，，若E，O分别是，中点，连接，，则，又且，即为平行四边形，所以，所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，而，，，故，故A错误；B：由知：P在（含端点）上移动，如下图示，面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，故B正确；C：若E，F分别是，中点，由知：P在EF（含端点）上移动，由面，面，则面面，由，面面，面，所以面，面，则，同理可证：，由，、面，故面，而面面，要使面，则P必在面内，显然面，故C错误；D：由知：在（含端点）上移动，如图以为原点，，，分别为x，y，z轴建系，则，，，则，设，，则，所以，令，当，即时，，此时直线和所成角是；当，即时，则，当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故D正确．故选：BD13．【详解】因为，，所以，，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，而当时，，解得，所以实数的取值范围为．14．或【详解】依题意设l的方程为．令，得；令，得．因此．解得或．故所求方程为或．故答案为：或15．【详解】解：由圆的方程得：圆心，半径，所以，圆心到直线的距离，因为直线与圆相交于，两点，若，所以，变形得：，即，解得：，所以，的取值范围是．16．/【详解】设，则，，因为线段的中垂线恰好经过点，所以，所以，所以，，，因为，所以，因为，所以，所以，所以，，化简得，所以，所以离心率，故答案为：17．【详解】设，，由题可知：，，两两之间的夹角均为，且，（1）由所以即证．（2）由，又所以，又则又异面直线夹角范围为所以异面直线，夹角的余弦值为．18．【详解】（1）整理可得，由解得，所以直线l过定点．又，所以点在椭圆内部，所以直线l与椭圆C恒有两个交点．（2）设点P坐标为，则所以令，，其对称轴为，且开口向上所以，当时，当时，所以，所以，即所以的取值范围为19．【详解】（1）依题意，椭圆C的半焦距，而，则，所以椭圆C的方程为：．（2）设，，依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，解得，，因此，，所以弦的长是．（3）显然，点在椭圆C内，设，，因E、G在椭圆C上，则，两式相减得：，而Q是弦的中点，即且，则有，于是得直线的斜率为，直线的方程：，即，所以直线的方程是．20．【详解】（1）∵，是AB的中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面ABE，∴平面ABCD，平面ABCD，∴．（2）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形，∴．∴，，两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，，，，，设是平面ACE的一个法向量，则，令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则，∴点B到平面EAC的距离为（3）因为轴垂直平面，所以设平面的法向量为，，设，，则，∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，，由，解得，∴．21．【详解】（1）依题意，，解得：，，所以双曲线C的标准方程是．（2）假定存在直线AB，使得成立，显然不垂直于y轴，否则，设直线：，由消去x并整理得：，因直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设，，于是得，则有，即或，因此，，解得，所以存在直线AB，使得成立，此时，直线AB的方程为：或．22．【详解】（1）由椭圆，得点，∵直线的方程是，，在直线上运动，可设，，则的垂直平分线方程为，①的垂直平分线方程为．②∵点是外接圆的圆心，∴点的坐标满足方程①和②．由①和②联立消去，得．故圆心的轨迹的方程为．（2）由题意可知，直线和的斜率存在且不为零，设的方程为，的方程为．由，得．∵直线与轨迹交于，两点，∴．设，，则，．∴．同理，可得．∴四边形面积．当且仅当，即时，等号成立．故四边形面积的最小值为72．