安徽省太和一中2021届高三二模数学（理）试题 Word版含答案

太和一中2020-2021学年度高三二模

理科数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

A.  B.  C.  D.

2.设集合，，则

A.  B.  C.  D.

3.已知公差不为0的等差数列中，，是，的等比中项，则的前5项之和

A.30 B.45 C.63 D.84

4.函数的图象在点处的切线方程为

A.  B.  C.  D.

5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为

A.65米 B.74米 C.83米 D.92米

6.“”是“”的

A.充要条件  B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件  D.必要不充分条件

7.已知在四边形中，，，，是的中点，则

A.  B.2 C.3 D.4

8.函数的图象大致为

        A.          B.                  C.                  D.

9.若，，则

A.  B.0 C.  D. 或0

10.若，为正实数，且，则的最小值为

A.  B.  C.2 D.4

11.已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则

A.1 B.2 C.3 D.4

12.设函数是函数的导函数，若对于任意的，恒有，则函数的零点个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若变量，满足约束条件，则的最大值为____________.

14.已知向量，，，则____________.

15.已知数列的前项和为，且，则数列的前项和____________.

16.若函数在定义域内满足：对任意的，，且，有，则称函数为“类单调递增函数”.下列函数是“类单调递增函数”的有____________（填写所有满足题意的函数序号）.

①；②；③；④.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（12分）

已知在中，角，，的对边分别为，，，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求的面积.

18.（12分）

如图，在四棱锥中，，，，，为的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

19.（12分）

2020年全球暴发新冠肺炎疫情，其最大特点是人传人，传播快，病亡率高.通过佩戴口罩可以有效地降低病毒传染率.在某高风险地区，公共场合未戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，现有在公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊5个人，每个人是否被感染相互独立.

（Ⅰ）若他们都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率；

（Ⅱ）若他们中有3人戴口罩，设5人中被感染的人数为，求：

（i）；

（ii）.

附：对于两个随机变量、，有.

20.（12分）

已知椭圆的长轴长为4，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程.

（Ⅱ）设点，为椭圆上的两个动点，若，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.

21.（12分）

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和的普通方程；

（Ⅱ）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值.

太和一中2020-2021学年度高三二模

理科数学·答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.C 2.D 3.B 4.A 5.B

6.C 7.C 8.B 9.A 10.B

11.C 12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.6 14.  15.  16.①④

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.【命题意图】本题考查解三角形，三角恒等变换及正、余弦定理的应用.

【解析】（Ⅰ）由条件和正弦定理得，………………（2分）

得.……………………………………………………………………………（4分）

因为，所以，………………………………………………………………（5分）

所以由正弦定理可得.………………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为，，，

所以由余弦定理得，………………………………………………………………………（7分）

即，解得，……………………………………………………………………（8分）

则.………………………………………………………………………………………………（9分）

又，……………………………………………………………………………（10分）

所以.…………………………………………………（12分）

18.【命题意图】本题考查线面平行的证明，利用空间向量求二面角.

【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，.

因为为的中点，所以.……………………………………………………………………（1分）

因为，所以.…………………………………………………………………………（2分）

又，，所以四边形是矩形，所以.………………………………（3分）

因为，，所以平面.……………………………（4分）

因为，所以.……………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）由已知和（Ⅰ）可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.…（6分）设，则，

所以，，，，

所以，，，……………………………………………（7分）

设平面的一个法向量为.

则即

令，得.……………………………………………………………………………………（9分）

设平面的一个法向量为，

则即

令，得.…………………………………………………………………………………（10分）

所以.

故二面角的余弦值为.……………………………………………………………………（12分）

19.【命题意图】本题考查相互独立事件的概率计算公式，概率的实际应用.

【解析】（Ⅰ）若他们都未戴口罩，则恰有3人被感染的概率是.……（3分）

（Ⅱ）（i）当被感染的两人都未戴口罩时，；………………………………（5分）

当被感染的两人中，只有一人戴口罩时，；………………（6分）

当被感染的两人都戴口罩时，.…………………………………（7分）

所以.…………………………………………（8分）

（i）设戴口罩的3人被感染的人数为，则，……………………………………………（9分）

设未戴口罩的2人被感染的人数为，则，……………………………………………（10分）

所以.………………………………………………………（12分）

20.【命题意图】本题考查椭圆的性质以及应用，直线与椭圆的位置关系，定值问题.

【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由已知可得，解得.………………………………（1分）

因为，

易得在中，，，，

.

所以，解得.…………………………………………………………………（3分）

所以椭圆的方程为.…………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，.

由可得.

结合椭圆的对称性，可设，，则.……………………………………………（5分）

将点代入椭圆的方程，得，

解得，所以.………………………………………………………………………（6分）

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

此时点到直线的距离，即.………………………………………………（7分）

设，，由

可得，

则，

得.

所以，.………………………………………………………………（8分）

所以

.………………………………………………（9分）

又因为，所以，

即，解得.…………………………………………………………（10分）

所以，得.………………………………………………………………………………（11分）

综上所述，点点到直线的距离是，是定值.……………………………………………（12分）

21.【命题意图】本题考查导数及其应用，考查不等式恒成立求参数取值范围.

【解析】（Ⅰ）由已知可得.…………………………………………………………（1分）

当时，，在上单调递增.…………………………………………………（2分）

当时，令，解得.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.…………………………………………………………………（4分）

综上，当时，在上单调递增；当，

在上单调递增，在上单调递减.…………………………………………………（5分）

 （Ⅱ），

则.……………………………………………………………（6分）

若函数有两个极值点，，

则，是方程的两个不等正实根.

所以解得.…………………………………………………………………………（7分）

所以①，②，

所以.…………………………………………………………………………………………（8分）

要使恒成立，只需恒成立.

由①②可得.………………（9分）

令，则，……………………………………（10分）

当时，，为减函数，

所以.……………………………………………………………………………………（11分）

所以要使恒成立，只需满足.

所以实数的取值范围是.………………………………………………………………………（12分）

22.【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系的应用.

【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，

即.………………（2分）

曲线的参数方程为（为参数），

消去参数，可得的普通方程为.………………………………………………（4分）

（Ⅱ）曲线的参数方程可写为（为参数），………………………………………（6分）

代入曲线的普通方程，得，整理得.………………………（7分）

设，所对应的参数分别为，，则………………………………………………（8分）

所以.…………………………………………………………………（10分）

23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想.

【解析】（Ⅰ）…………………………………………（2分）

由，可得或或……………………………………（3分）

解得或或.………………………………………………………………………（4分）

所以不等式的解集为.…………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）易求得，即.……………………………………（6分）

所以，即.………………………………………………………………（7分）

因为点到直线的距离，…………………………（9分）

所以的最小值为.………………………………………………………………（10分）