2024届高考数学一轮复习第6章第4节直线、平面垂直的判定与性质课件

这是一份2024届高考数学一轮复习第6章第4节直线、平面垂直的判定与性质课件，共40页。PPT课件主要包含了任意一条，直二面角，两个半平面，垂直于棱，方法二连接CF等内容，欢迎下载使用。
考试要求：1．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题．
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的_____，平面α叫做直线l的_____．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
“任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直．
(2)判定定理与性质定理
线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须是相交的．
2．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直．
面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
3．线面角与二面角(1)直线与平面所成的角(线面角)①平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．②特例：若一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°.若一条直线和平面_____，或在平面内，它们所成的角是0°.③直线与平面所成的角θ的取值范围是：0°≤θ≤90°.
(2)二面角①二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范围：0°≤θ≤180°.
4．常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　　)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　)(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.(　　)
2．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列说法正确的是(　　)A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA　解析：因为l⊥β，l⊂α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)．
3．(多选题)如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是(　　)
A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE
ABD　解析：由AB是底面圆的直径，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．因为圆柱的轴截面是四边形ABCD, BC⊥底面AEB，所以BC⊥AE.又EB∩BC＝B，BC，BE⊂平面BCE，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，故A正确．同理可得，BE⊥DE，故B正确．若DE⊥平面CEB，则DE⊥BC．因为BC∥AD，所以DE⊥AD．在△ADE中AD⊥AE，所以DE⊥AD不成立，所以DE⊥平面CEB不成立，故C错误．由A的证明可知AE⊥平面BCE.因为AE⊂平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE，故D正确．故选ABD．
4．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．必要不充分　解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件．
5．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
4　解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．故图中共有4个直角三角形．
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1　垂直关系的基本问题——基础性
考点2　 空间角及其应用——应用性
考点3　线面、面面垂直的判定与性质——综合性
1．已知平面α和直线a，b，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件B　解析：根据空间中直线与平面之间的位置关系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a.反之不成立，可能b与α相交或平行．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．
2．(多选题)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　)A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β
ABD　解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β.故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确．
在判断垂直关系问题时，需明确各类垂直关系及其内在联系，可借助几何图形来判断，也可列举反例进行判断，同时要注意判断满足定理的条件．
例1　(2022·全国甲卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　)A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
D　解析：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝1，
求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有定义法和垂面法．注意利用等腰三角形和等边三角形的性质．
证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)
考向2　面面垂直的判定与性质例3　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；
证明：(方法一)取PA的中点H，连接EH，DH.
例3　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(2)平面EFG⊥平面EMN.
证明：因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
1．证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理．2．已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD．