重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题

重庆南开中学高2026级高一（上）开学考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。命题：融侨南开老师

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）

1．设全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若集合，，且，则实数m的值是（    ）

A． B．2 C．2或 D．2或或0

3．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ）↑

A．且 B． C．且 D．

4．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（    ）

A．5m B．7m C．10m D．13m

5．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ）

①            ②                 ③                    ④

A．32 B．34 C．37 D．41

6．估计的值应在（    ）

A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间

7．有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

8．方程的实根的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．设U为全集，下列选项中能推出的有（    ）

A． B． C． D．

10．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为，用表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（    ）'

A．对于任意集合A，都有

B．若，则

C．若，则

D．若，则

11．已知，，，则的取值不可能是（    ）

A． B． C． D．

12．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；下列说法正确的是（    ）

A．第4项为 B．

C．若第2022项的值为0，则 D．当时，第k项的值为

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相对应位置上）

13．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为__________．

14．对于任意集合M，N，定义：．已知集合，，则__________．

15．A，B，C，D，E五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次）；胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分．若A队2胜2负，B队得8分，C队得9分，E队胜了D队，则D队得分为__________．

16．已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合A的“容量”，记为．若集合，则__________；

若集合，且，则正整数n的值是__________．

四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，所有作答过程都写在答题卡相对应位置上）

17．解下列各题：

（1）化简：；

（2）因式分解：；

（3）计算：．

18．已知关于x的方程有两个实数根，．

（1）若，求的值；

（2）若，求实数m的值．

19．已知集合，．

（1）若，求m的取值范围；

（2），且，求m的取值范围．

20．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；

（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接，，求的面积．

21．若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．

例如：，，是“勾股和数”；

又如：，，，不是“勾股和数”．

（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；

（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的M．

22．设集合A为n元数集，若A的2个非空子集B，C满足：，，则称B，C为A的一个二阶划分．记B中所有元素之和为，C中所有元素之和为．

（1）若，求A的一个二阶划分，使得；

（2）若，求证：不存在A的二阶划分B，C满足；

（3）若，B，C为A的一个二阶划分，满足：

①若，则；②若，则．记为符合条件的B的个数，求的解析式．

重庆市南开中学高2026级开学考试数学

参考答案

13．7 14． 15．1 16．5；2023

17．（1）；

（2）原式；

（3）．

18．（1）时，，，

可得，，；

（2）由，得，，，

由，得，

解得舍去，或，所以实数m的值为．

19．（1）由题意知：，，，

①当，即时，满足，此时；

②当时，若，则，解得：；

综上所述：m的取值范围为．

（2），，，即，

解得：，，；

①当，即时，，，解得：；

②当，即时，，，解得：；

③当，即时，，不合题意；

综上所述：m的取值范围为．

20．解：（1）反比例函数的图象过点，．

，，解得，，，，

一次函数的图象过A点和B点，

，解得，

一次函数的表达式为，描点作图如下图；

（2）由（1）中的图象可得，不等式的解集为：或；

（3）由题意作图如下图：

由图知中边上的高为6，，．

21．解：（1），，

不是“勾股和数”，，是“勾股和数”；

（2）为“勾股和数”，，

，为整数，为整数，．

为整数，

为3的倍数，为3的倍数，

①，或，，此时或8190；

②，或，，此时或4563．

22．（1）B中所有元素之和为，C中所有元素之和为，且，

，，即可知，

，，．

（2）假设存在符合条件的一个二阶划分B，C满足，

则，从而是3的倍数，

又，．

不是3的倍数，假设不成立．不存在A的二阶划分B，C满足．

（3）任取偶数，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…经过k次以后，商必为奇数，

此时记商为m，即，其中m为奇数．

，则，即，若，k为奇数时，，即；

当k为偶数时，，中的任意一个偶数的位置都是确定的，且与m的位零相关．

可知B是由A中的奇数1，3，5，…的位置确定，

设表示A中所有的奇数的集合，则等于的子集的个数．

当n是奇数时，A中的奇数个数有个，此时的子集个数有个，即；

当n是偶数时，A中的奇数个数有个，此时的子集个数有个，

即，所以．