2019年湖北省荆门市中考数学试卷与答案

2019年湖北省荆门市中考数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．

1．﹣的倒数的平方是（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．﹣

2．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（　　）

A．3.1536×106 B．3.1536×107 

C．31.536×106 D．0.31536×108

3．已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是

（　　）

A．95° B．100° C．105° D．110°

5．抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．不等式组的解集为（　　）

A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0

7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（　　）

A．盈利 B．亏损 

C．不盈不亏 D．与售价a有关

9．如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（　　）

A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0

10．如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是

（　　）

A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，0）

11．下列运算不正确的是（　　）

A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1） 

B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2 

C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3 

D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3

12．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（　　）

A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13．计算+|sin30°﹣π0|+＝　   　．

14．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　   　．

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为　   　．

16．如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为　   　．

17．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：

①abc＞0，

②3a+c＜0，

③a（m﹣1）+2b＞0，

④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．

其中正确结论的序号为　   　．

三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（8分）先化简，再求值：（）2•﹣÷，其中a＝，b＝．

19．（9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）求证：BD⊥BC．

20．（10分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．

（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；

（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；

（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

21．（10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

（1）求证：＝2R；

（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．

22．（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．

23．（10分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．

（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．

24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；

（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）

2019年湖北省荆门市中考数学试卷答案

1． B．2． B．3． A．4． C．5． C．6． C．7． D．8． B．9． A．10． A．11． B．12． A．

13． 1﹣．14． 1．15． 16． +﹣．17．②③；

18．解：原式＝

＝

＝，

当a＝，b＝时，

原式＝．

19．解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：

设BE＝x，CE＝h

在Rt△CEB中：x2+h2＝9①

在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②

联立①②解得：x＝，h＝

∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；

（2）作DF⊥AB，垂足为F

∴∠DFA＝∠CEB＝90°

∵平行四边形ABCD

∴AD＝BC，AD∥BC

∴∠DAF＝∠CBE

又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC

∴△ADF≌△BCE（AAS）

∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝

在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16

∴BD＝4

∵BC＝3，DC＝5

∴CD2＝DB2+BC2

∴BD⊥BC．

20．解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：＝30%，

∴x＝14，

∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；

（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200×＝420（人），

答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；

（3）设补查了y人，

根据题意得，12+6+y＜8+14，

∴y＜4，

∴最多补查了3人．

21．解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，

则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，

∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，

∴＝2R；

（2）∵＝2R，

同理可得：＝2R，

∴2R＝＝2，

∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，

如图2，过C作CE⊥AB于E，

∴BE＝BC•cosB＝cos60°＝，AE＝AC•cos45°＝，

∴AB＝AE+BE＝，

∵AB＝AR•sinC，

∴sinC＝＝．

22．解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，

连接GF并延长交OE于点H，

∵GF∥AC，

∴△MAC∽△MFG，

∴，

即：，

∴，

∴OE＝32，

答：楼的高度OE为32米．

23．解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知

，解得

∴n＝2x+10

同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44

∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝

（2）∵y＝mn﹣80

∴y＝

整理得，y＝

（3）当1≤x≤10时，

∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5

∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大

∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270

当10＜x＜15时

∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5

∴x在x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2

当15≤x≤30时

∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30

∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小

∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300

综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元

24．解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）

∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1

∵抛物线经过点C（0，3）

∴4a﹣1＝3

解得：a＝1

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3

（2）   解得：，

∴A（1，0），B（4，3）

∴AB＝

设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）

∴OA＝OE＝1

∴∠AEO＝45°

∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S

∴点Q、M、N到直线AB的距离相等

如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方

∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S

要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大

过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D

∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°

∴△CDQ是等腰直角三角形

∴DQ＝CQ

设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）

∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+

∴t＝时，CQ最大值为

∴DQ最大值为

∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝

（3）存在点P满足∠APB＝90°．

∵∠APB＝90°，AB＝3

∴AP2+BP2＝AB2

设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）

∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16

∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2

整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0

p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0

p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0

（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0

∵p＜4

∴p﹣4≠0

∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0

展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0

（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0

（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0

（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0

∵p＞1

∴p﹣1≠0

∴p2+p+1﹣4p＝0

解得：p1＝，p2＝（舍去）

∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．