中考数学二轮专题——阿波罗尼斯圆最值问题试题和答案

这是一份中考数学二轮专题——阿波罗尼斯圆最值问题试题和答案，共8页。试卷主要包含了什么是阿波罗尼斯圆？，阿波罗尼斯圆与几何最值，试题等内容，欢迎下载使用。
阿波罗尼斯圆最值问题一、什么是阿波罗尼斯圆？答：在平面内，到两个定点的距离之比等于定值（不为1）的点的集合。数学语言：若A、B为平面内两定点，P在平面内与运动，且满足PA=k·PB（k≠1），则P点的运动轨迹为圆。现在给出证明。初中阶段没有学圆的标准方程，我们先来推导平面直角坐标系内，圆的标准方程。根据圆的定义，到定点的距离等于定长的点的集合。结合两点间的距离公式，我们可以推导出圆的标准方程。【引例1】已知，且，求P的横纵坐标满足的关系式。【分析】由圆的定义知，P为以A为圆心，2为半径的圆周。由平面内两点间距离公式有：，代入得：。【引例2】一般化。已知定点，为平面内一动点，且，求的横纵坐标满足的关系式。【分析】由圆的定义知，P为以A为圆心，为半径的圆周。由平面内两点间距离公式有：，代入得：。此为圆的标准方程，表示以为圆心，半径为的圆。     现在，我们来证明这个问题。【问题】若A、B为平面内两定点，P在平面内与运动，且满足，求证：P点的运动轨迹为圆。【证明】为了便于理解，不妨设，为常数，。由两点间距离公式得：-----①-----②                        又，所以：------③       将①、②代入③得：；        去括号得： ；        移项得：；       所以：，即：     因为为常数，故符合圆的标准方程，即点轨迹为以为圆心，为半径的圆。 二、阿波罗尼斯圆与几何最值01. 我们先来看三个问题。【问题一】如试题图，已知圆O的半径为2，OA=1,BO=4，且AO⊥BO。P在圆O上运动，连接AP、BP。求AP+BP的取值范围。【分析】如解析图-1，，当A、B、P三点共线时，取最小值。【问题二】已知圆O的半径为2，AO=8，BO=6，且AO⊥BO。点P在圆O上运动，连接AP、BP。求的最小值。【问题分析】问题一我们能很好解决，但问题二跟问题一不一样，怎么办呢？思考能否将问题二转化为问题一。通过对比观察问题一和问题二，我们得将问题二的系数化为1，且将其中一条动线段转移至圆内。【问题解决】先将系数转化为1，将问题转化为我们熟悉的型问题。即，即线段的比值为定值，故可以构造相似三角形进行转化。又，故推测是以OA和OP为基础构造相似。如解析图-1，在OA上取，则可证：△OPH∽△OAP，由相似比得：。则有：，当B、P、H三点共线时，取最小值。如解析图-2，绿色三角形勾股定理解。【问题三】如试题图，已知圆O的半径为3，AO=1，BO=2，且AO⊥BO。点P在圆O上运动，连接AP、BP。求的最小值。【问题分析】同样，思考将问题三转化为问题一的问题。但的系数均大于1，需先提取系数，让显现。，故，即问题转化为求最小值问题。【问题解决】如解析图-4，延长OB至H，使得，连接PH。因为，且共角，所以△POB∽△HOP。由相似比得：，故。所以：，当A、P、H三点共线时，取最小值。如解析图-5，对绿色三角形用勾股定理即可求解。 【总结分析】通过问题二和问题三的分析，我们通过构造母子相似将线段的系数化为1，转化为我们熟悉的问题一进行解决。而且，构造相似时所用到的线段比值，都具备了一个共同特点，请观察总结：【问题二】转化线段的系数，我们用了这个比值构造相似；【问题三】转化线段的系数，我们用了这个比值构造相似； 问题二和问题三，就是我们说的阿氏圆最值模型。  02. 阿氏圆与几何最值在【问题二】中，我们构造相似后，发现，即PH和AP的比值为定值；在【问题三】中，我们构造相似后，发现，即PH和BP的比值为定值，再回去看阿氏圆的定义，你能发现什么问题吗？我们构造母子相似寻找的H点，刚好是阿氏圆定义中的另外一个定点。那么困惑我们“为什么要取这个点构造相似三角形”的问题就解决了。现在提供一个阿氏圆取点的便捷方法。03. 阿氏圆取点以【问题二】为例进行阐述。如解析图-6，PA和PH的比值固定，则当P在OA上时依然有，，解得：，即;以【问题三】为例进行验证。如解析图-7，PB和PH的比值固定，则当P在OB这条射线上时，依然有：，解得：，即：。两个问题按阿氏圆定义取的点，都跟上述构造相似时取点位置一致！ 三、试题1. 在Rt△ABO中，OB﹦4，OA﹦6，圆O半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP。如图1，若∠AOB﹦90°，最小值为     ；如图2，若∠AOB﹦60°，最小值为     。              2. ⑴如图3，扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P时弧CD上一点，则2PA+PB的最小值为        。⑵ 如图4，正方形ABCD的边长为4，P是其内切圆上一点，则的最小值为        。⑶ 如图5，点P是边长为的正△ABC的内切圆上一动点，则的最小值为        。   3、（2021秋·立信作业）如图，圆O的半径为，点，点。P为圆O上一动点。另一动点E从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B，求点E运动时间的最小值。  4、（2021秋·青一作业）如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为__________.  5. （2019年长沙模拟四）如图，抛物线与直线交于，两点，直线：交轴于点。点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点。（1）求抛物线的解析式；（2）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；（3）①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以点、、、为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；②在①的前提下，以点为圆心、的长为半径作圆，点为⊙上一动点，求的最小值。                              6.（2019年秋青一期中26题/2017年长沙模拟）如图，直线与抛物线交于、两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点.（1）当四边形是菱形时，求点的坐标；（2）若点为直线上一动点，求△的面积；（3）作点关于直线的对称点，以点为 圆心，为半径作⊙，点是⊙上一 动点，求的最小值.                                                                                  【答  案】1、，；2、（1）13，（2）；（3）；3、；4、15；5、（1）；（2）；（3）①；②最小值为。6、⑴；⑵。⑶。