2019年甘肃省天水市中考数学试题与答案

2019年甘肃省天水市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3

2．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（　　）

A．73×10﹣6 B．0.73×10﹣4 C．7.3×10﹣4 D．7.3×10﹣5

3．如图所示，圆锥的主视图是（　　）

A． B． C． D．

4．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝50°，那么∠BFA的大小为（　　）

A．145° B．140° C．135° D．130°

5．下列运算正确的是（　　）

A．（ab）2＝a2b2 B．a2+a2＝a4 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a6

6．已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣3

7．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（1，） C．（，1） D．（，）

9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

10．已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11．函数y＝中，自变量x的取值范围是　   　．

12．分式方程﹣＝0的解是　   　．

13．一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是　   　．

14．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为　   　．（用百分数表示）

15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M　   　N．（填“＞”、“＝”或“＜”）

16．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为　   　．

17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为　   　．

18．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有　   　个〇．

三、解答题（本大题共3小题，共28分）

19．（10分）（1）计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2019﹣π）0+|﹣4|

（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．

20．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽查了　   　名学生．

（2）请你补全条形统计图．

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为　   　度．

（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？

21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；

（3）求△AOB的面积．

四、解答题（本大题共50分解）

22．（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：＝1.414，＝1.732）

（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

23．（10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与

OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．

25．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．

试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

26．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．

（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；

（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；

（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

2019年甘肃省天水市中考数学试卷答案

1． C．2． D．3． A．4． B．5． A．6． B．7． C．8． B．9． C．10． D．

11． x≥2．12． x＝2  13． 5．14． 40%．15．＜ 16． 2π﹣2．17． ．18． 6058．

19．解：（1）原式＝﹣8+4﹣2×+1+4﹣＝﹣8+4﹣1+1+4﹣＝﹣；

（2）原式＝•＝﹣•＝，

解不等式组得﹣1≤x＜3，

则不等式组的整数解为﹣1、0、1、2，

∵x≠±1，x≠0，

∴x＝2，

则原式＝＝﹣2．

20．解：（1）8÷16%＝50，

所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；

（2）喜欢戏曲的人数为50﹣8﹣10﹣12﹣16＝4（人），

条形统计图为：

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×＝115.2°；

故答案为50；115.2；

（4）1200×＝288，

所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．

21．解：（1）∵点A 在反比例函数y＝上，

∴＝4，解得m＝1，

∴点A的坐标为（1，4），

又∵点B也在反比例函数y＝上，

∴＝n，解得n＝2，

∴点B的坐标为（2，2），

又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，

∴，解得，

∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6．

（2）根据图象得：kx+b﹣＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；

（3）∵直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，

∴点N的坐标为（3，0），

S△AOB＝S△AON﹣S△BON＝×3×4﹣×3×2＝3．

22．解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，

∴tanα＝，

∴α＝30°；

（2）该文化墙PM不需要拆除，

理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，

∵新坡面的坡度为1：，

∴tan∠CAD＝，

解得，AD＝6米，

∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，

∴BD＝6米，

∴AB＝AD﹣BD＝（﹣6）米，

又∵PB＝8米，

∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（﹣6）＝14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，

∴该文化墙PM不需要拆除．

23．解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，

将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，

所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；

（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y

＝（x﹣10）（﹣x+40）

＝﹣x2+50x﹣400

＝﹣（x﹣25）2+225，

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＜25时，W随x的增大而增大，

∵10≤x≤16，

∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，

答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．

24．解：（1）连接OC，

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，

∴AD＝CD，

∴PA＝PC，

在△OAP和△OCP中，

∵，

∴△OAP≌△OCP（SSS），

∴∠OCP＝∠OAP

∵PA是⊙O的切线，

∴∠OAP＝90°．

∴∠OCP＝90°，

即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切线．

（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠COB＝60°，

∵AB＝10，

∴OC＝5，

由（1）知∠OCF＝90°，

∴CF＝OCtan∠COB＝5．

25．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．

证明：∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．

如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，

求证：AD2+BC2＝AB2+CD2

证明：∵AC⊥BD，

∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．

（3）连接CG、BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，

∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，

∴GE＝．

26．解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），

∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），

∵点C（0，4）在抛物线上，

∴4＝﹣27a，

∴a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣9）＝﹣x2+x+4，

∵CD垂直于y轴，C（0，4），

令﹣x2+x+4＝4，

解得，x＝0或x＝6，

∴点D的坐标为（6，4）；

（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，

∵点F是抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点，

∴F（3，），

∴FH＝﹣4＝，

∵GH∥A1O1，

∴△FGH∽△FA1O1，

∴，

∴，

解得，GH＝1，

∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，

∴S重叠部分＝﹣S△FGH

＝A1O1•O1F﹣GH•FH

＝

＝；

（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，

∵C2O2∥DE，

∴△OO2M∽△OED，

∴，

∴，

∴O2M＝t，

∴S＝＝OO2×O2M＝t×t＝t2；

②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，

将点D（6，4）代入y＝kx，

得，k＝，

∴yOD＝x，

将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，

得，，

解得，k＝，b＝﹣t+4，

∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4，

联立yOD＝x与y＝x﹣t+4，

得，x＝x﹣t+4，

解得，x＝﹣6+2t，

∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t），

故点M到O2C2的距离为6﹣t，

∵C2N∥OC，

∴△DC2N∽△DCO，

∴，

∴，

∴C2N＝（6﹣t），

∴S＝＝﹣

＝OA•OC﹣C2N（6﹣t）

＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t）

＝﹣t2+4t﹣6；

∴S与t的函数关系式为：S＝．