2017年赤峰市中考数学试卷及答案

2017年赤峰市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共计36分）

1．|（﹣3）﹣5|等于（　　）

A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8

2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． 　　B． 　　C． 　D．

3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（　　）

A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102

4．下列运算正确的是（　　）

A．3x+2y=5（x+y） B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6

5．直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（　　）

A．65° B．50° C．55° D．60°

6．能使式子+成立的x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2

7．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．下面几何体的主视图为（　　）

　　　A． B． C． D．

9．点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（　　）

A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定

10．如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（　　）

A．120° B．100° C．60° D．30°

11．将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（　　）

A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8

12．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（　　）

A．18或10 B．18 C．10 D．26

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）

13．分解因式：xy2+8xy+16x=　   　．

14．如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　   　．

15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是　   　．

16．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为　   　．

三、解答题（共10题，满分102分）

17．（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．

18．已知平行四边形ABCD．

（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．

19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：

（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；

（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）

20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）

21．如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．

22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．

（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；

（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．

23．如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

24．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，

即S△ABC=absin∠C　　　同理S△ABC=bcsin∠A　　　　　S△ABC=acsin∠B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则

a2=b2+c2﹣2bccos∠A　　　　　　　　b2=a2+c2﹣2accos∠B　　　　　　c2=a2+b2﹣2abcos∠C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．

解：S△DEF=EF×DFsin∠F=　   　；

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=　   　．

（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．

25．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；

（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．

（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．

26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷答案

1． D．2． C．3． B．　4． D．　5． C．6． C．7． B．8． C．9． A．10． A．11． B．12． A．

13． x（y+4）2．14． m＜2．15． 16．16．（2，0）．

17．解：原式=×﹣×=﹣=

由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，

∴a=1﹣5+3=﹣1

∴原式=﹣=﹣2

18．解：（1）如图所示，AF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AD∥BC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AF平分∠BAD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠4，

∴CE=CF．

19．解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．

（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，条形图如图所示，

（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为=．

20．解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．

理由：作AD⊥BC于点D，

∵∠C=50°，AC=20cm，

∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，

CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，

∵BC=18cm，

∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，

∴AB==，

∵17=＜，

∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．

21．解：（1）在y=﹣x+1中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，

∴A（，0），B（0，1），

∴tan∠BAO===，

∴∠BAO=30°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAO=90°，

在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，

∴AC=2，

∴C（，2），

∵点C在反比例函数y=的图象上，

∴k=2×=2，

∴反比例函数解析式为y=；

（2）∵P（2，m）在第一象限，

∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，

当△ADP∽△AOB时，则有=，即=，解得m=1，此时P点坐标为（2，1）；

当△PDA∽△AOB时，则有=，即=，解得m=3，此时P点坐标为（2，3）；

把P（2，3）代入y=可得3≠，

∴P（2，3）不在反比例函数图象上，

把P（2，1）代入反比例函数解析式得1=，

∴P（2，1）在反比例函数图象上；

综上可知P点坐标为（2，1）．

22．解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，

依题意得： =，解得x=5．

经检验x=5是原方程的解，且符合题意．

答：梨树苗的单价是5元；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，

依题意得：（5+2）+5a≤6000，

解得a≥850．

答：梨树苗至少购买850棵．

23．解：（1）∵∠B=60°，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠1=∠2=60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OA∥BD，

∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，

∴AM是⊙O的切线；

（2）∵∠3=60°，OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAC=60°，

∵∠OAM=90°，

∴∠CAD=30°，

∵CD=2，

∴AC=2CD=4，

∴AD=2，

∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．

24．解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，

∴EF=3，DF=8，

∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，

故答案为：6，49；

（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，

∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，

两边同时乘以sin60°得， AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，

∴S2=S4+S3﹣S1，

∴S1+S2=S3+S4，

方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，

∴S1=absin∠C=absin60°=ab

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，

∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），

∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，

∴a2+b2=c2+ab，

∴S1+S2=S3+S4．

25．解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，

∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，

∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，

∴点P，O，Q在同一条直线上，

∵∠APO=∠BQO=90°，

∴AP∥BQ，

∴∠PAE=∠FBE，

∵点E是AB中点，

∴AE=BE，

∵∠AEP=∠BEF，

∴△APE≌△BFE，

∴PE=EF，

∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，

∴EP=EQ；

（2）成立，

证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，

∴CE∥OB，CE=OB，

∴∠DOC=∠ECA，

∵点D是Rt△OQB斜边中点，

∴DQ=OB，

∴CE=DQ，

同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，

∴∠ECA=∠BDE，

∵∠PCE=∠EDQ，

∴△EPC≌△QED，

∴EP=EQ；

（3）如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，

∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，

∴GB=GO=GA，

∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，

设∠GOB=x，∠GOA=y，

∴x+x+y+y+60°=360°

∴x+y=150°，

∴∠AOB=150°．

26．解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，

∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，

∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，

∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，

∴D点坐标为（0，3），

∴可设直线BD解析式为y=kx+3，

把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直线BD解析式为y=﹣x+3；

（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），

∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∴当m=时，PM有最大值；

（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），

∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，

∴QG=×2=4，

∴|﹣x2+3x|=4，

当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，

当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，

∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．