河南省许昌市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题

XCS2022—2023学年第一学期期末教学质量检测

高二理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线过，，且，则直线的斜率为（    ）

A. B. C. D.

2.抛物线上一点到焦点的距离为，则到轴的距离为（    ）

A. B. C. D.

3.已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ）

A.，， B.，， C.，， D.，，

4.函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A.为函数的零点 B.是函数的最小值

C.函数在上单调递减 D.为函数的极大值点

5.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（    ）

A. B.

C. D.

6.已知下列命题

①已知向量，，，则；

②已知向量，，则；

③已知向量，共线，则与共线；

④已知，是平面内的两条相交直线.若，，则.

其中正确的命题的个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7.已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则（    ）

A.8 B.6 C.4 D.2

8.已知数列满足，，则“”是数列为“等差数列”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

9.若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（    ）

A. B. C. D.

10.在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（    ）

A. B.3 C.3或 D.2

11.如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了个正方形，设这个正方形的面积之和为，则（    ）

A. B. C. D.

12.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.抛物线上的点到直线的距离的最小值是________.

14.已知平面的法向量为，点，，且，，则点到平面的距离为________.

15.在数列中，，，则该数列前2023项的和________.

16.函数在区间上有最小值，则的取值范围是________.

三、解答题（第17题10分，第18-22题12分，共70分）

17.（10分）

已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，，所在的直线方程为.

（1）求点的坐标；

（2）求直线的方程.

18.（12分）

已知为等差数列，前项和为，是首项为3且公比大于0的等比数列，，，.

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19.（12分）

如图，圆锥的高为3，是底面圆的直径，，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

20.（12分）

已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点，为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.

21.（12分）

双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与轴垂直的直线交双曲线于，两点，的面积为12，抛物线：以双曲线的右顶点为焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.

22.（12分）

已知函数，.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）当时，函数在上的最小值为3，求实数的值.

许昌市2022-2023学年第一学期质量检测

高二理科数学参考答案

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1.B  2.A  3.D  4.C  5.C  6.D

7.B  8.A  9.D  10.B  11.C  12.B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.  14.  15.2023  16.

三、解答题：（共70分）

17.（10分）

解：（1）由条件设，因为所在的直线和垂直，

∴，∴.…………………………3分

∴，.…………………………………………5分

（2）设，，因为，∴，

∴.

∴，，因为在，∴.………………8分

∴，∴，

∴的方程为.…………………………………………10分

18.（12分）

解：（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则.

则由可得，，解得或（舍去），

所以.…………………………………………3分

则，.由可得，由可得，，又，所以.

所以，，所以，

所以.…………………………6分

（2）由（1）知，，，所以.

所以，，

.………………………………8分

两式作差得

，

所以，.……………………………………12分

19.（12分）

解：（1）连接，由已知，，且，

∴四边形为菱形，∴，

在圆锥中，∵平面，平面，

∴.………………………………3分

∵，平面，平面，

∴平面.

又∵平面，

∴平面平面.……………………………………5分

（2）取中点，易知平面，，

以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

∵，∴，

∴，∴，.…………………………8分

因为，所以，令，则，，∴，

易知平面即平面，∴平面的一个法向量为，

设平面与平面的夹角为，

则，

∴平面与平面的夹角的余弦值为.………………………………12分

20.（12分）

解：（1）因为为椭圆的右焦点，所以，………………①

由对称性得，点，在椭圆上，代入得，…………②

联立①②解得，，，

所以椭圆的标准方程为：.………………………………5分

（2）由条件知直线与直线不重合，故直线的斜率不为0，

设直线的方程为，………………………………6分

联立可得，…………………………7分

设，，，

则，，，……………………8分

由（1）可得，，

由，，共线得：，…………③………………9分

由，，共线得：，…………④……………………10分

由③÷④消去并整理得，，

即，所以，

综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动.……………………12分

21.（12分）

解：（1）设，则，令，代入的方程，

得.………………………………2分

所以，

所以，……………………………………4分

故，即.

所以抛物线的方程为.…………………………6分

（2）由（1）知，则.

直线的方程为，代入抛物线的方程有.

当时，，…………………………8分

所以直线的方程为，

即.

所以此时直线过一点.

当时，直线的方程为，此时仍过点，

即直线过定点.……………………………………12分

22.（12分）

解：（1）∵，

，

∴，………………………………3分

又，

故在处的切线方程是.

即.………………………………6分

（2）由（1）得，.

①若，在上恒成立，

此时在上是增函数.

所以，解得（舍去）.……………………9分

②若时，

在上是减函数，在上是增函数.

所以，解得.

综上，.……………………………………12分