2023年江苏省镇江市中考数学真题（含解析）

镇江市2023年中考数学试卷

（满分：120分 考试时间：120分钟）

一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）

1．－100的相反数是______．

2．使分式有意义的x的取值范围是______．

3．因式分解：x²＋2x＝______．

4．如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角∠ABC是140°，第二次的拐角∠BCD是______°．

5．一组数据：2，3，3，4，a，它们的平均数是3，则a的值为______．

6．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，则m的值为______．

7．点A（2，y1），B（3，y2）在反比例函数的图像上，则______．（填“＞”“＝”或“＜”）．

8．如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，量得CD的长为6cm，则AB的长为______cm．

9．二次函数y＝－2x2＋9的最大值为______．

10．如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A，B为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝______．（结果保留π）

11．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于______步．（注：“步”为长度单位）

12．已知一次函数y＝kx＋2的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx＋2的图像与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为______．

二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）

13．圆锥的侧面展开图是（    ）

A．三角形 B．菱形 C．扇形 D．五边形

14．下列运算中，结果正确的是（    ）

A．2m2＋m2＝3m4 B．m2·m4＝m3 C．m4÷m2＝m2 D．（m2）4＝m6

15．据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（    ）

A．1.087×104 B．10.87×104 C．10.87×103 D．1.087×103

16．如图，桌面上有三张卡片，一张正面朝上．任意将其中一张卡片正反面对调一次，则这三张卡片中出现两张正面朝上的概率是（    ）

A．1 B． C． D．

17．小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）之间的函数关系．已知小明购物用时30min，从商场返回家的速度是从家去商场速度的1.2倍，则a的值为（    ）

A．46 B．48 C．50 D．52

18．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x＋2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（    ）

A．128 B．64 C．32 D．16

三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）（1）计算：；   （2）化简：．

20．（10分）（1）解方程：；   （2）解不等式组：

21．（6分）如图，B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD．

（1）求证：△ABE≌△BCD．

（2）连接DE，求证：四边形BCDE是平行四边形．

22．（6分）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用列表或画树状图的方法，求两次都摸到红球的概率．

23．（6分）香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．

某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市1－5月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．

已知1－5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占40%．

（1）求出a，b的值．

（2）售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为______mg/100mL，中位数为______mg/100mL．

（3）根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）

24．（6分）如图，正比例函数y＝－3x与反比例函数的图像交于A，B（1，m）两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．

（1）m＝______，k＝______，点C的坐标为______．

（2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．

25．（6分）如图，将矩形ABCD（AD＞AB）沿对角线BD翻折，C的对应点为点，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB于点G．

（1）求证：BE＝BG．

（2）当r＝1，AB＝2时，求BC的长．

26．（8分）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．

如图1是俯视图，OA，OB分别表示门框和门所在位置，M，N分别是OA，OB上的定点，OM＝27cm，ON＝36cm，MF，NF的长度固定，∠MFN的大小可变．

     图1                 图2           图3

（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度数．

（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（3）在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值为______．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

27．（11分）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（m，n），点C与点B关于原点对称，直线AB，AC分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，EF＝2．

（1）分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围．

（2）求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n）

（3）将线段EF绕点（0，1）顺时针旋转90°，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图像有公共点时，求m的取值范围．

28．（11分）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：

    图1                    图2           图3

（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN＝DE；

（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；

（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置；

（4）延长PQ，ST交于点F．

小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：

①点Q，A，T在一条直线上；

②四边形FPGS是矩形；

③△FQT≌△HMN；

④四边形FPGS与△ABC的面积相等．

【任务1】请你对结论①进行证明．

【任务2】如图2，在四边形ABCD中，，P，Q分别是AB，CD的中点，连接PQ．

求证：．

【任务3】如图3，有一张四边形纸片ABCD，，AD＝2，BC＝8，CD＝9，，小丽分别取AB，CD的中点P，Q，在边BC上作MN＝PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．

镇江市2023年中考数学参考答案

1．100  解析：本题考查了相反数的概念．只有符号不同的两个数互为相反数，∴100的相反数是－100．

2．x≠5  解析：本题考查了分式有意义的条件．根据题意，得x－5≠0，解得x≠5．

3．x（x＋2）  解析：本题考查了用提公因式法进行因式分解．x2＋2x＝x（x＋2）．

4．140  解析：本题考查了平行线的性质．∵一条公路经两次转弯后，方向未变，∴转弯前后两条道路平行，∴∠BCD＝∠ABC＝140°（两直线平行，内错角相等）．

5．3  解析：本题考查了算术平均数的计算．∵数据2，3，3，4，a的平均数是3，∴，解得a＝3．

6．5  解析：本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把x＝1代入方程x2＋mx－6＝0，得1＋m－6＝0，解得m＝5．

7．＞  解析：本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质．在反比例函数中，k＝5＞0，∴该函数图像在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小．又∵0＜2＜3，∴y1＞y2．

8．18  解析：本题考查了对顶角的性质、相似三角形的实际应用．由对顶角相等得∠COD＝∠AOB，又∵，∴，∴，∴．

9．9  解析：本题考查了二次函数的最值．根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值．∵二次函数的表达式为y＝－2x2＋9，∴当x＝0时，二次函数取得最大值，为9．

10．  解析：本题考查了角平分线的作法与弧长的计算公式．解答本题的关键是能根据作图痕迹正确判断出OP是角平分线，并熟记弧长计算公式．由题意知，OP是∠AOB的平分线，∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，∴的长．

11．6  解析：本题考查了三角形的内切圆与内切圆直径的计算公式．根据勾股定理得，斜边的长为（步）．由题中方法可得，该直角三角形内切圆的直径（步）．

12．2  解析：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用．∵y＝kx＋2的图像经过第一、二、四象限，∴k＜0．由于y＝kx＋2过定点（0，2），当圆经过（0，2）时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，∴r的临界点是2，∴r的最小值是2．

13．C  解析：本题考查了圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是扇形．

14．C  解析：本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算．2m2＋m2＝3m2，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误．

15．A  解析：本题考查了科学记数法．用科学记数法表示较大的数的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1，∴10870＝1.087×104．

16．B  解析：本题考查了概率的计算．任意将其中一张卡片正反面对调一次，共有3种情况：对调正面朝上的一张，三张正面都朝下，有1种情况；对调反面朝上的一张，有两张正面朝上，有2种情况．∴P（两张正面朝上）．

17．D  解析：本题考查了一次函数的图像、一元一次方程的实际应用．根据“从家去商场和从商场返回家路程不变”列方程求解即可．设小明从家去商场的速度为xm/min，则他从商场返回家的速度为1.2xm/min．根据题意，得（42－30）x＝（a－42）×1.2x，解得a＝52．

18．A  解析：本题考查了幂的混合运算．找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．调整后，甲袋中有（29－2x＋2y）个球，乙袋中有（29－2y）个球，丙袋中有（5＋2x）个球．∵一共有29＋29＋5＝63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴调整后每只袋中有63÷3＝21（个）球，∴5＋2x＝21，29－2y＝21，∴，，∴．

19．解析：本题考查了实数的混合运算、分式的混合运算．（1）先将算术平方根、特殊角的三角函数、零指数幂化简，然后计算可得答案；（2）先通分算出括号内的结果，再将除数中的分子进行因式分解，同时将除法运算转化为乘法运算，最后约分即可得到结果．

解：（1）原式．

（2）原式．

20．解析：本题考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法．（1）先将方程两边同时乘（x＋3）转化为整式方程，然后再根据整式方程的解法求解，最后注意要检验；（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出这两个解集的公共部分即可得原不等式组的解集．

解：（1）方程两边同时乘（x＋3），

得2x＋1＝1＋x＋3，解得x＝3．

检验：当x＝3时，x＋3≠0，

∴x＝3是原分式方程的解．

（2）解2x－2＜x，得x＜2；

解3（x＋1）≥6，得x≥1．

∴原不等式组的解集是1≤x＜2．

21．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定．（1）由B是AC的中点得AB＝BC，结合AE＝BD，BE＝CD，根据全等三角形的判定定理“SSS”即可证明△ABE≌△BCD；（2）由（1）中△ABE≌△BCD得∠ABE＝∠BCD，进一步得，再结合BE＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．

证明：（1）∵B是AC的中点，∴AB＝BC．

在△ABE和△BCD中，

∴△ABE≌△BCD（SSS）．

（2）∵△ABE≌△BCD，∴∠ABE＝∠BCD，∴．

又∵BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形．

22．解析：本题考查了用列表或画树状图的方法求概率．通过画树状图列举所有等可能的结果．再找出两次都摸到红球的结果，最后根据概率公式求解即可．

解：画树状图如图所示．

共有6种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有2种，∴P（两次都摸到红球）．

23．解析：本题考查了条形统计图、中位数和众数的定义．（1）由“偏酸”的香醋占总数的40%可求出两种包装“偏酸”风味香醋的总瓶数，用其减“玻璃瓶装”的瓶数即可求出a的值，用总瓶数150减条形统计图中其余所有频数即可得出b的值；（2）“玻璃瓶装”中频数最大的风味对应的浓度即为众数，把售出的三种风味对应的浓度数据由小到大排列，结合条形统计图中“玻璃瓶装”的频数求得的中间两个数据的平均数即为中位数；（3）根据题中表格和条形统计图，结合统计的意义回答即可．

解：（1）“偏酸”风味的瓶数为150×40%＝60，∴a＝60－42＝18，

∴b＝150－42－18－38－17－15＝20．

（2）∵售出的玻璃瓶装香醋中“偏甜”风味的瓶数为20，“适中”风味的瓶数为38，“偏酸”风味的瓶数为42，

∴“偏酸”风味的香醋最多，∴众数为110.9mg/100mL；

∵共有20＋38＋42＝100（个）数据，∴中位数为按从小到大排列后第50个数据和第51个数据的平均数，

∴中位数为．

故答案为110.9，89.8．

（3）答案合理即可．

24．解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．（1）点B是两函数图像的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①△AOC∽△BOP；②△AOC∽△POB．分别求出两种情况下OP的长，从而得出点P的坐标．

解：（1）将B（1，m）代入y＝－3x，得m＝－3×1＝－3，∴B（1，－3）．

将B（1，－3）代入，得，∴k＝－3．

如图，过点A作AD⊥x轴于点D，则∠ADC＝90°．

∵点A，B关于原点O对称，∴A（－1，3），∴OD＝1，AD＝3．

又∵∠ACO＝45°，∴CD＝AD＝3，∴OC＝OD＋CD＝1＋3＝4，∴C（－4，0）．

故答案为－3，－3，（－4，0）．

（2）由（1）可知，B（1，－3），A（－1，3）．

当点P在x轴的负半轴上时，

∠BOP＞90°，∴∠BOP＞∠AOC．

又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，

∴△BOP与△AOC不可能相似．

当点P在x轴的正半轴上时，∠AOC＝∠BOP．

①若△AOC∽△BOP，则，

∵OA＝OB，∴OP＝OC＝4，∴P（4，0）；

②若△AOC∽△POB，则，

又∵，

∴，∴．

综上所述，点P的坐标为（4，0）或．

25．解析：本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形、圆的切线、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，如何作辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键．

（1）连接AE，由切线的性质得∠AEB＝90°，则∠AEG＋∠BEG＝90°，由矩形的性质得∠BAD＝∠BAF＝90°，再由直角三角形两锐角互余得∠F＋∠AGF＝90°，根据对顶角相等和同圆的半径相等得∠BGE＝∠AGF，∠F＝∠AEG，然后由等角的余角相等得∠BGE＝∠BEG，最后由等角对等边得出结论；（2）由锐角三角函数得，，得∠ABE＝30°，由翻折得，由得∠CBD＝30°，再由矩形对边相等得AB＝CD，最后在Rt△BCD中解直角三角形即可得出结论．

（1）证明：如图，连接AE．∵⊙A与BC'相切于点E，∴∠AEB＝90°，

∴∠AEG＋∠BEG＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BAF＝90°，

∴∠F＋∠AGF＝90°．∵AE＝AF，∴∠F＝∠AEG．

又∵∠BGE＝∠AGF，∴∠BGE＝∠BEG，∴BE＝BG．

（2）解：在Rt△ABE中，AE＝1，AB＝2，

∴．∴∠ABE＝30°．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°．

由翻折可知，．

∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2．

在Rt△BCD中，，

∴．

26．解析：本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数的有关知识．（1）在Rt△OMN中，利用锐角三角函数求得结果；（2）以点O为圆心、ON的长为半径画弧，与以点F为圆心、FN的长为半径的弧交于点N1，N2，连接ON1，ON2，得出门OB的位置；（3）当∠ONM最大时，sin∠ONM的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，∠ONM最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，∠ONM最大，故sin∠ONM的最大值为．

解：（1）在Rt△OMN中，，

∴∠ONM≈37°．∴∠MNB≈180°－37°＝143°．

（2）门的位置OB如图1中OB1或OB2所示．（画出其中一条即可）

     图1

（3）如图2，连接NM，过点O作OH⊥NM，交NM的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，∠ONM在不断变化，

∴当∠ONM最大时，sin∠ONM的值最大．

由图2可知，当OH与OM重合时，OH取得最大值，此时∠ONM最大，

∴sin∠ONM的最大值为．

        图2

27．解析：本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像上点的坐标特征、旋转的性质．利用数形结合思想是解答本题的关键．（1）由对称的性质求出点C的坐标，设直线AB，AC的函数表达式，利用待定系数法即可求出与y轴的交点E，F的坐标；（2）点E，F都在y轴上，且点F在点E的上方，线段EF的长可用上边点的纵坐标减下边点的纵坐标表示，结合EF＝2化简即可得m，n之间的数量关系；（3）由旋转得，点的纵坐标为1，由点在点B所在的函数图像上，求出点的横坐标，由线段与点B所在的函数图像有公共点，求出点横坐标与纵坐标的取值范围从而得出m的取值范围．

解：（1）由直线AB与y轴交于点E，得m≠3．

∵点C与点B关于原点对称，∴点C的坐标为（－m，－n）．

由直线AC与y轴交于点F，得－m≠3，即m≠－3．综上所述，m≠±3．

设直线AB对应的一次函数表达式为y＝kx＋b，

将A（3，0），B（m，n）代入，得解得，

∴．同理可得，．

（2）由（1）得，．

又∵EF＝2，点F在点E的上方，∴，

整理得．

（3）∵n与m的关系式为，

∴点B（m，n）在函数的图像上．

由旋转得，．

当点在点B所在的函数图像上时，，解得．

∵线段与点B所在的函数图像有公共点，

∴或．

由旋转得，或．

∵，

∴或．

28．解析：本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、三点共线问题的证明、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、梯形的面积计算．（1）由旋转的性质得对应角相等，即∠ABC＝∠QAD，∠ACB＝∠TAE，由三角形内角和定理得∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，从而得∠QAD＋∠BAC＋∠TAE＝180°，即Q，A，T三点共线；（2）梯形中位线的证明问题常转化为三角形的中位线问题解决，连接AQ并延长，交BC的延长线于点E，证明△ADQ≌△ECQ，可得AQ＝EQ，AD＝CE，由三角形中位线定理得；（3）过点D作DR⊥BC于点R，由，得，从而得，由【发现】得，∴GE＝6，PE＝3，由【任务2】的结论得PQ＝5，由勾股定理得EQ＝4．过点Q作QH⊥BC，垂足为H．由及得，从而得，证明△PEQ∽△QHM，得，从而得．

【任务1】证法1：由旋转得，∠QAD＝∠ABC，∠TAE＝∠ACB．

在△ABC中，∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，

∴∠QAD＋∠BAC＋∠TAE＝180°，

∴点Q，A，T在一条直线上．

证法2：由旋转得，∠QAD＝∠ABC，∠TAE＝∠ACB．

∴，．

∴点Q，A，T在一条直线上．

【任务2】证明：如图1，连接AQ并延长，交BC的延长线于点E．

∵，∴∠DAQ＝∠E．∵Q是CD的中点，∴DQ＝CQ．

在△ADQ和△ECQ中，

∴△ADQ≌△ECQ（AAS）．∴AQ＝EQ，AD＝CE．

又∵P是AB的中点，

∴AP＝BP，∴PQ是△ABE的中位线，

∴，∴．

       图1

【任务3】解：用【发现】的方法画出示意图如图2所示．

          图2

由【任务2】可得，．

过点D作DR⊥BC，垂足为R．

在Rt△DCR中，，

∴．

∴，

∴GE＝6，PE＝3．

在Rt△PEQ中，由勾股定理得．

过点Q作QH⊥BC，垂足为H．

∵Q是CD的中点，∴．

在Rt△QHC中，，

∴．

又由勾股定理得．

由，得∠PQE＝∠QMH．

又∵∠PEQ＝∠QHM＝90°，∴△PEQ∽△QHM．

∴，即，∴．

∴．