2023-2024学年浙江省杭州二中白马湖学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州二中白马湖学校八年级（上）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省杭州二中白马湖学校八年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列甲骨文中，不是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列命题中是假命题的是(    )A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短3.  已知三角形三边的长分别为、、，则的取值范围在数轴上表示为(    )A.  B.
C.  D. 4.  下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，5.  到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的(    )A. 三条高的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条角平分线的交点6.  直角三角形斜边上的高与中线分别为和，则它的面积为．(    )A.  B.  C.  D. 7.  小红用如图所示的方法测量小河的宽度她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证≌，从而可通过测量的长度得知小河的宽度在这个问题中，可作为证明≌的依据的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，已知钝角三角形，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤：以为圆心，为半径画弧；
步骤：以为圆心，为半径画弧，交弧于点；
步骤：连接，交的延长线于点．
下列叙述正确的是(    )A. 垂直平分线段
B. 平分
C.
D. 9.  如图：，分别是的边、上的点，若，，则(    )A. 当为定值时，为定值
B. 当为定值时，为定值
C. 当为定值时，为定值
D. 当为定值时，为定值10.  在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点为正整数，则点的坐标是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______ ．12.  等腰三角形的两边长分别为、，则它的周长为______ ．13.  若不等式的解集为，则的取值范围是______ ．14.  如图，等边三角形中，、分别为、边上的两动点，且总使，与交于点，于点，则 ______ ．
 15.  如图，，点在上，且，按以下要求画图：以点为圆心，为半径向右画弧交于点，得第一条线段；再以为圆心、为半径向右画弧交于点，得第二条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第三条线段这样一直画下去，最多能画______ 条线段．
16.  在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定一点，使为等腰三角形，写出所有符合条件的点的坐标______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
；
．18.  本小题分
已知关于、的方程组的解为正数，且的值小于的值．
求的取值范围；
化简．19.  本小题分
如图，，是上的一点，且，求证：是直角三角形．
20.  本小题分
已知，，．
若点在第二象限内，且，，求点的坐标，并求的面积；
若点在第四象限内，且的面积为，，求点的坐标．21.  本小题分
某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买本甲种词典和本乙种词典共需元，购买本甲种词典和本乙种词典共需元．
求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
学校计划购买甲种词典和乙种词典共本，总费用不超过元，那么最多可购买甲种词典多少本？22.  本小题分
如图所示，点在内，点，分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．
若，则______，______用含的代数式表示；
若的周长是，求的长．
若，，直接写出的周长的最小值用含的代数式表示
23.  本小题分
在中，点在直线上，点在平面内，点在的延长线上，，，．
【问题解决】
如图，若点在边的延长线上，求证：；
【类比探究】
如图，若点在线段上，请探究线段、与之间存在怎样的数量关系？并证明；
【拓展延伸】
如图，若点在线段的延长线上，请直接写出线段，与之间的数量关系．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．2.【答案】 【解析】解：、对顶角相等，所以选项为真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，所以选项为假命题；
C、两点确定一条直线，所以选项为真命题；
D、垂线段最短，所以选项为真命题．
故选：．
根据对顶角的性质对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；根据直线公理对进行判断；根据垂线段公理对进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3.【答案】 【解析】解：三角形的三边长分别是，，，
的取值范围是，
故选：．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：，然后在数轴上表示出来即可．
此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4.【答案】 【解析】解：、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
C、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．5.【答案】 【解析】解：到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：．
直接利用三角形的内心性质进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6.【答案】 【解析】【分析】
据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
【解答】
解：直角三角形的斜边上的中线为，
斜边为，
直角三角形斜边上的高为，
此直角三角形的面积为，
故选：．7.【答案】 【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
则证明≌的依据的是，
故选：．
直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．8.【答案】 【解析】解：、正确．如图连接、，

，，
点、点在线段的垂直平分线上，
垂直平分线段．
B、错误．不能证明，所以不一定平分；
C、错误．应该是；
D、错误．，在中，，但不一定等于倍的，故AB不一定等于．
故选：．
，根据步骤，可以得到，，证得点、点在线段的垂直平分线上，继而作出判断；
，要想证明平分，就要说明，据此作出判断；
，根据是边上的高，结合三角形的面积公式作出判断；
，根据线段之间的和差关系，以及直角三角形中边的关系进行判断即可．
本题侧重考查线段垂直平分线判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题关键．9.【答案】 【解析】【试题解析】
解：由得，
由得，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可知，
，，
即，，代换得．
故选B．
问题即是判断与、、有无确定关系，通过等边对等角及外角与内角的关系探索求解．
本题充分运用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，列等式代换，得出结论．10.【答案】 【解析】解：每个点一个循环，它的纵坐标规律为：，，，，，，
，
点的纵坐标为，
点的横坐标规律为：，，，，，，，，
点的横坐标为，
点的坐标，
故选：．
每个点一个循环，它们的纵坐标规律为：，，，，，，点的横坐标规律为：，，，，，，，，即可求解．
本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．12.【答案】 【解析】解：当腰为，则底边为，而，所以这种情况舍去；
当腰为，则底边为，则三角形周长为．
故答案为．
分类讨论：当腰为，则底边为；当腰为，则底边为，然后根据三角形三边的关系进行判断，再计算三角形周长．
本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．13.【答案】 【解析】解：解不等式，
当，即时，
原不等式可化为：，即，与已知相矛盾；
当，即时，
，即，符合题意，
故的取值范围是．
本题是关于的不等式，应先只把看成未知数，求得的解集，再根据数轴上的解集，来求得的值．
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．14.【答案】 【解析】解：，
，
等边三角形，
≌，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据题意推出≌，可知，因此，所以，即可推出结论．
本题主要考查全等三角形的判定和性质、含度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于根据题意推出≌和．15.【答案】 【解析】解：，，，
，，，
，
，，的度数，，，
．
．
为整数，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得，，，的度数．然后分析，依此得到规律，再根据三角形外角小于即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解决本题的关键是找出规律．16.【答案】，，， 【解析】解：，
，
，，，．
故答案为：，，，．
分别以、为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可．
本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．17.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并得：，
解得：，
；
，
由得：，
由得：，

则不等式组解集为． 【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式，掌握求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了是本题的关键．18.【答案】解：，
得：，
，
得：，
，
关于、的方程组的解为正数，且的值小于的值，
，
解得：；

解：，
． 【解析】得出，求出，求出，根据关于、的方程组的解为正数，且的值小于的值，得出，求出不等式组的解集即可；
根据中的取值范围得出，求出即可．
本题考查了绝对值、解方程组、解不等式组的应用，关键是得出关于的不等式组，题目比较好，但有一定难度．19.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
是直角三角形． 【解析】根据，得，利用“”可证明≌，根据全等三角形的性质得，从而得出，则是直角三角形．
本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：点在第二象限内，
，，
，，
，，
点的坐标为，
，，
的面积；
的面积为，点在第四象限内，
，
，
，
，
点的坐标为． 【解析】因为点在第二象限内，所以，，因为，，所以，，即点的坐标为，再根据点，的坐标，即可得出的面积；
因为的面积为，点在第四象限内，所以，得，由，得，即可得出点的坐标．
本题考查直角坐标系内点的坐标的确定，解题的关键是正确处理线段长度与坐标之间的关系．21.【答案】解：设每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元．
设学校购买甲种词典本，则购买乙种词典本，
依题意，得：，
解得：．
答：学校最多可购买甲种词典本． 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元，根据“购买本甲种词典和本乙种词典共需元，购买本甲种词典和本乙种词典共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设学校购买甲种词典本，则购买乙种词典本，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．22.【答案】   【解析】解：如图，连接、、．
是点关于的对称点，
，，，
，，
，
同理可得：，，，
，；
，
，
故答案为：，；

、分别是点关于、的对称点，
，，
的周长，
的周长等于，
；
，，
，，
的周长，且的周长的最小值为的长，
的周长的最小值是．
如图，连接、、，根据轴对称的性质可得和都是等腰三角形，且，进而可根据等腰三角形的性质得，同理可得，，于是可推得，，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；
根据轴对称的性质可推出的周长，进而可得结果；
易得是等腰直角三角形，且，从而可根据勾股定理求出，而由轴对称的性质可知即为的周长的最小值，于是可得结果．
本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．23.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
解：线段、与之间是，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
解：线段、与之间是，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
． 【解析】先证，再由证得≌，得出，，即可得出结论；
先证，再由证得≌，得出，，即可得出结论；
先证，再由证得≌，得出，，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．