2023-2024学年重庆市南川一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市南川一中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若函数的图象经过点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若的三边长为，，，则下列不是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.  下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是(    )

A. 一组对边相等 B. 两条对角线互相平分
C. 一组对边平行 D. 两条对角线互相垂直

5.  在期末考试中，初二某班级有组、组、组、组共四个组，每个组学生的数学成绩的平均分相等，方差分别为、、、，则该班这四个组的学生期末数学成绩波动最小的是(    )

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

6.  小颖家、图书馆、体育馆依次在一条直线上周六小颖从家出发步行来到图书馆，在图书馆学习了一段时间后，又从图书馆乘车去体育馆锻炼，下面能反映小颖离家的路程与出发时间的函数关系的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知，是一次函数图象上的点，若，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知直角三角形的两边长分别为，，则该直角三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.  如图，矩形的对角线，相交于点，于点，且，若，则矩形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把沿直线翻折后得到，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算的结果是______．

12.  数据，，，，的中位数是______．

13.  已知函数经过，，则 ______ ．

14.  已知三组数据，，，，；，，，，；，，，，的方差为分别为，，；则，，的大小关系是______ 用“”连接

15.  如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地毯，若防撞地毯每平方米售价为元，楼梯宽为米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要______ 元

16.  已知关于的分式方程有整数解，且一次函数图象经过第一、二、三象限，则整数的值为______ ．

17.  在矩形中，，，点在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点，若点为的中点，则的长度为______ ．

 

18.  对于一个各位数字都不为零的四位正整数，若千位数字比十位数字大，百位数字是个位数字的倍，那么称这个数为“三生有幸数”，例如：，，，是个“三生有幸数”；又如，，不是一个“三生有幸数”则最小的“三生有幸数”是______ 若将的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数的“反序数”，记作，例如：，其“反序数”若一个“三生有幸数”的十位数字为，个位数字为，设，若除以余数是，则所有满足题意的四位正整数的最大值与最小值的差是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
如图平行四边形中，平分，交于点．
请用尺规作的角平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法；
根据的作图，证明：请在答题卡上完成相应编号的填空．
证明：四边形是平行四边形，
，，
______ 两直线平行，内错角相等，
又平分，平分，
______ ， ______ ，
，
______ 填推理的依据．

21.  本小题分
如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象．
求、、三点的坐标；
求的面积．

22.  本小题分
海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛现从两队中各随机抽取名队员的比赛成绩百分制作样本进行整理和分析用表示成绩得分，并分成四组：，，，，得到如图统计图，还知道两队的平均数都是，红队的众数是，蓝队成绩在组中的数据：，，，，，；红队成绩在组中的数据是：，，．
根据以上信息，解答下列问题：
求的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数；
你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由一条理由即可；
若该陆战队的蓝队、红队共人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是多少？

23.  本小题分
如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作
，交的延长线于点，连接．
求证：≌；
四边形是平行四边形；
若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

24.  本小题分
如图，在正方形中，，动点从点出发，沿折线运动，当点到达点时停止运动连结，，若点运动的路程为，的面积为，当点与点重合时，的值为．

求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
在图的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质；
根据图象，直接写出当时，的取值范围．

25.  本小题分
某商业集团新进了台空调机，台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中台给甲连锁店，台给乙连锁店两个连锁店销售这两种电器每台的利润元如下表：

设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这台电器的总利润为元．
求关于的函数关系式，并求出的取值范围；
为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利润达到最大？最大利润为多少？

26.  本小题分
如图，在平行四边形中，，点为边上一点，连结交对角线于点．
如图，若，，求的长度；
如图，若，点，为边的两点，连接，，，且满足求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．

2.【答案】 

【解析】解：函数的图象经过点，
，
解得：，
的值是．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、，，
，
不是直角三角形，
故A符合题意；
B、，，
，
是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
是直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、一组对边相等，不能判断，故错误；
B、两条对角线互相平分，能判断，故正确；
C、一组对边平行，不能判断，故错误；
D、两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．
故选：．
平行四边形的五种判定方法分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判别方法是说明一个四边形为平行四边形的理论依据，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

5.【答案】 

【解析】解：每个组学生的数学成绩的平均分相等，方差分别为、、、，
组的方差最小，
该班这四个组的学生期末数学成绩波动最小的是组．
故选：．
根据方差的意义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

6.【答案】 

【解析】解：小颖从家出发步行来到图书馆，这段时间离家的路程一直在增加；在图书馆学习的这段时间，距家的距离不变，故是一段平行于轴的直线；又从图书馆乘车去体育馆锻炼的这段时间，距家的距离一直在增加．
故选：．
小颖从家出发步行来到图书馆，这段时间离家的路程一直在增加；在图书馆学习的这段时间，距家的距离不变，故是一段平行于轴的直线；又从图书馆乘车去体育馆锻炼的这段时间，距家的距离一直在增加．据此可以判断正确选项．
本题考查函数的图象，要求学生能从题意中判断事件过程的函数图象，这是最基本的能力．

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
一次函数的图象经过点．
，
随的增大而增大，
又，是一次函数图象上的点，且，
．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数的图象经过点，由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：当和均为直角边时，斜边，
则这个直角三角形的周长是：；
当为直角边，为斜边时，
则斜边为：．
故这个直角三角形的周长是：．
故选：．
先根据勾股定理求得斜边的长，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．
此题主要考查了勾股定理，正确分类讨论求出直角三角形的周长是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
矩形的面积．
故选：．
根据矩形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形性质等知识点，熟练掌握并运用等边三角形性质和判定并求出是本题解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，作轴，交于点，轴，交于点，

直线与轴、轴分别交于、两点，
，，
，
由折叠的特性得，，，
，，
，，
，
故选：．
作轴，交于点，轴，交于点，由直线与轴、轴分别交于、两点，求出，，和，运用直角三角形求出和，再求出点的坐标．
本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查二次根式的混合运算，难度不大，解答此类题目时往往要先将二次根式化为最简．
本题只需将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式，最后进行二次根式的除法运算即可．
【解答】
解：原式

．
故答案为．

12.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了确定一组数据的中位数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】
解：把这些数从小大排列为，，，，，则中位数是．
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】解：函数经过，，
，
解得：，
；
故答案为：．
利用待定系数法求出，，再代值计算即可．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握图象上的点满足一次函数的解析式是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
故答案为：．
先计算出三组数据的平均数，再根据方差的定义计算出方差，从而得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．

15.【答案】 

【解析】解：已知直角三角形的一条直角边是，斜边是，
根据勾股定理得到：水平的直角边是，
地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是，
所以面积是，
所以价格是元．
故答案为：．
根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱．
本题考查了生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
关于的分式方程有整数解，
，
解得：或或或或，
一次函数图象经过第一、二、三象限，
，
符合条件的的值为，
故答案为：．
解分式方程得，则整数为，，，，时分式方程的解为整数解，再解不等式，从而得到满足条件的整数的值．
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了一元一次不等式组的整数解，求出值是本题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：点是的中点，，
，
由折叠性质可得，，
，
矩形中，
，
由折叠性质可得，
，
，
，
故答案为：．
根据折叠性质，勾股定理求得的长度，然后利用矩形性质及平行线性质求得的长度，继而求得的长度．
本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，勾股定理，等腰三角形的判定，结合已知条件求得与的长度是解题的关键．

18.【答案】   

【解析】解：由题意得，
 当十位数字是时，千位上的数字取得最小值，
 当个位数字是时，百位上的数字取得最小值，
所以最小的“三生有幸数”是．
故答案为：；
由题知，
，
，
则

，
所以，
又是的倍数，且是的倍数，
则是的倍数，
又，得，
同理  ，
则当，时，是的倍数，且取得最大值为：，
当，时，是的倍数，且取得最小值为：，
所以的最大值与最小值的差是：．
故答案为：．
根据“三生有幸数”的定义，可知数位上数字之间的关系，便可求出最小的“三生有幸数”；
先用含有，的代数式表示出和，然后表示出，再根据除以余数是，即是的倍数，用，表示出后，结合，的取值范围，确定，的值，最后确定的最大值与最小值的差．
本题考查了对定义新数的理解，如何用代数式表示一个四位数以及运算和综合推理能力，在确定，值时，思维的转换很重要．

19.【答案】解：原式


；
原式

． 

【解析】先算乘法，再算加减即可；
先算乘除，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式的混合运算与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

20.【答案】    同位角相等，两直线平行 

【解析】解：图形如图所示：

证明：四边形是平行四边形，
，，
两直线平行，内错角相等，
又平分，平分，
，，
，
同位角相等，两直线平行．
故答案为：，，，同位角相等，两直线平行．
根据要求作出图形；
证明，可得结论．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

21.【答案】证明：在中，令，解得：，
则点的坐标为，
同理，点的坐标为，

解得．
点的坐标为；

，
． 

【解析】在两个一次函数解析式中，令，求得的值，即可得到和的坐标，求两个一次函数的解析式组成的方程组求得的坐标；
求出的长，利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．

22.【答案】解：，
则，
蓝队样本的众数为，
红队样本的中位数为；
我认为蓝队比赛成绩好些一条合理即得分，
因为蓝队的中位数大于红队的中位数：
两队抽取的人中此次比赛活动成绩优秀的有人，
占样本的，该陆战队的蓝队、红队共人参加了此次比赛，
所以估计成绩为优秀的军人有人．
故估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是人． 

【解析】用“”分别减去其他三组所占比例可得的值；根据众数的定义可得蓝队样本的众数；根据中位数的定义可得红队样本的中位数；
根据中位数的意义解答即可；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，样本估计总体，正确利用统计图获取信息，作出正确的判断和解决问题是解题关键．

23.【答案】证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
证明：是边上的中线，
，
由得，≌，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是矩形，理由如下：
，，、
，
，
▱是矩形． 

【解析】由，得，，结合证得结论；
可得，结合得出结论；
根据等腰三角形“三线合一”可得，进而得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．

24.【答案】解：分两种情况：
点边上时，即，

四边形是正方形，，
，
，
，
即：，
；
点边上时，即，

，
，
，
，
即：，
，
综上所述：；
当，随增大而减小答案不唯一；
图象如图：

观察图象可得：时，或． 

【解析】分两种情况：上，在上时分别表示出三角形的的长利用三角形的面积公式得出两个函数，解析式是分段函数；根据函数解析式，画出函数的图象即可；据中所画函数的图象观察时得到的取值范围．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数的实际应用．

25.【答案】解：由题意可知，调配给甲连锁店电冰箱台，
调配给乙连锁店空调机台，电冰箱为台，
则，
即．

．
；
由题意得：，
即．
，
．
当时，，函数随的增大而增大，
故当时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机台，电冰箱台，乙连锁店空调台，电冰箱台；
当时，的取值在内的所有方案利润相同；
当时，，函数随的增大而减小，
故当时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机台，电冰箱台，乙连锁店空调台，电冰箱台． 

【解析】首先设调配给甲连锁店电冰箱台，调配给乙连锁店空调机台，电冰箱台，列出不等式组求解即可；
由可得几种不同的分配方案；依题意得出与的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达到最大的分配方案．
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，
根据台空调机，台电冰箱都能卖完，列出不等式关系式即可求解；
由关系式，结合让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，列不等式解答，根据的不同取值范围，代入利润关系式解答．

26.【答案】解：如图，

作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
证明：如图，

延长，，交于，
，
是等边三角形，
，，
延长至，使，连接，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】作，交的延长线于，先证得是等边三角形，然后解斜三角形，进一步求得结果；
延长，，交于，可证明≌，从而得出，，从而得出，从而，从而得出∽，进而得出，进一步得出结论．
本题四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．