专题17二次函数与方程、不等式三年（2021-2023）中考数学真题真题

这是一份专题17二次函数与方程、不等式三年（2021-2023）中考数学真题真题，共91页。试卷主要包含了已知，若关于x的方程的解为，已知二次函数，下列说法正确的是，经过两点的抛物线，抛物线的函数表达式为y＝等内容，欢迎下载使用。
专题17二次函数与方程、不等式三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
专题17二次函数与方程、不等式
一．选择题（共30小题）
（2023•衡阳）
1．已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ）
A． B． C． D．
（2023•宁波）
2．已知二次函数，下列说法正确的是(   )
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
（2023•自贡）
3．经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ）
A．10 B．12 C．13 D．15
（2022•内蒙古）
4．如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022•泰安）
5．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6
下列结论不正确的是（    ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为
（2022•铜仁市）
6．如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（    ）

A． B． C． D．
（2022•潍坊）
7．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ）
A． B． C． D．4
（2022•成都）
8．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
（2022•雅安）
9．抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
（2022•台湾）
10．已知坐标平面上有二次函数的图形，函数图形与轴相交于、两点，其中．今将此函数图形往上平移，平移后函数图形与轴相交于、两点，其中，判断下列叙述何者正确？（   ）
A．， B．，
C．， D．，
（2021•铜仁市）
11．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ）
A．5 B． C．5或1 D．或
（2021•黄石）
12．二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…

0
1
2
…

…

2
2

…
且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（    ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
（2021•赤峰）
13．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
以下结论正确的是（    ）
A．抛物线的开口向下
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，x的取值范围是
（2021•黔东南州）
14．如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4
（2021•广元）
15．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或
（2021•陕西）
16．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

…
-2
0
1
3
…

…
6
-4
-6
-4
…
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当时，y的值随x值的增大而增大
（2021•湖州）
17．已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2021•巴中）
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
（2021•淄博）
19．已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ）
A．1 B． C．2 D．4
（2021•无锡）
20．选对于二次函数，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②当时，y随x的增大而减小，则；
③若将它的图象向右平移3个单位后过原点，则；
④当时函数值与时函数值相同，则当时的函数值为．
其中，说法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
（2021•湖北）
21．若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
（2021•呼和浩特）
22．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点，，且过，两点（b，a是实数），若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
（2021•遂宁）
23．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（   ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2023•日照）
24．在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
（2023•通辽）
25．如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023•湖北）
26．拋物线与轴相交于点．下列结论：
①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有(    )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023•东营）
27．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线．若点A的坐标为，则下列结论正确的是（　　）

A．
B．
C． 是关于x的一元二次方程的一个根
D．点，在抛物线上，当时，
（2023•齐齐哈尔）
28．如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（    ）
  
A．4 B．3 C．2 D．1
（2023•聊城）
29．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ）．
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023•邵阳）
30．已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共22小题）
（2023•赤峰）
31．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．
  
（2023•郴州）
32．已知抛物线与x轴有且只有一个交点，则 ．
（2023•巴中）
33．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
（2023•宜宾）
34．如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
  
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
（2022•大庆）
35．已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
（2022•无锡）
36．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
（2022•福建）
37．已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
（2022•枣庄）
38．小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
  
（2022•赤峰）
39．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ．

（2021•成都）
40．在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则 ．
（2021•淄博）
41．对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是 ．
（2021•包头）
42．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为 ．
（2021•南充）
43．关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是 ．
（2023•武汉）
44．抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 （填写序号）．
（2023•福建）
45．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
（2023•绍兴）
46．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．
  
（2022•武汉）
47．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
（2022•贵港）
48．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个．

（2022•锦州）
49．如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：
①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）

（2022•呼和浩特）
50．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是 ．
（2022•湘西州）
51．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
  
（2022•荆门）
52．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．

三．解答题（共8小题）
（2023•黑龙江）
53．如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022•杭州）
54．设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．
(2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．
(3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值．
（2022•青岛）
55．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
（2021•乐山）
56．已知关于的一元二次方程．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
（2021•湖州）
57．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．

（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
（2021•黑龙江）
58．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求的面积．
（2021•宁波）
59．如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．

（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
（2021•云南）
60．已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．
（1）求b、c的值：
（2）求证：；
（3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．



参考答案：
1．B
【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是A、B、C、D的横坐标，
∴，
故选B．
  
【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
2．C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
当时：，
∵，
∴，
即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
3．B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为；
①函数对称轴在y轴右侧，则，
抛物线与y轴的交点在原点下方，，故，故①正确；
②∵，即，
而时，，即，
∴，
∴．故②正确；
③由图象知，当时，x的取值范围是，故③不正确；
④从图象看，当时，，
当时，，
∴有，故④正确；
综上，正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
5．C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
6．A
【分析】观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．
【详解】设 ，，，
∵二次函数的图象过点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
∴，
故
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
7．B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
8．D
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．
9．B
【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．
【详解】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，
而
故②符合题意；
将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；
当时，则
解得：
而
故④符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
10．A
【分析】根据二次函数图像对称轴为直线x=-6，平移后对称轴不变，算出和的值，与分别是两函数图像与x轴交点之间的距离，由图像可容易判断0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
24．C
【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得:，且
所以对称轴的取值范围在，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，
即根据增减性可得，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
25．C
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确．
∵当时，，
∴，故②错误．
∵抛物线与x轴交于两点，其中，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴，
∴，故③正确；
设，，如图：
  
由图得，时，，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．
26．B
【分析】二次函数整理得，推出，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x轴的交点个数可判断②正确；由，代入可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误．
【详解】解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与x轴相交于点．
∴有两个不相等的实数根，
∴，故②正确；
③∵，
∴，故③正确；
④∵抛物线与x轴相交于点．
∴抛物线的对称轴为：，
当点在抛物线上，且，
∴或，
解得：，故④错误，
综上，②③正确，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
27．C
【分析】根据对称轴为得到，即可判断A选项；根据，，即，即可判断B选项；根据当时，即可判断C选项；根据当时，y随着x的增大而增大即可判断D选项．
【详解】解：A．抛物线的对称轴为直线，则，则，即，故选项错误，不符合题意；
B．抛物线的开口朝上且交于y轴的负半轴于一点，∴，，即，则有：，，∴，故选项错误，不符合题意；
C．抛物线的对称轴为直线，若点A的坐标为，可得点，当时，，即是关于x的一元二次方程的一个根，故选项正确，符合题意；
D．∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴点，在抛物线上，当时，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，掌握数二次函数的图象和性质，并注重形结合是解题的关键．
28．B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为

，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
29．B
【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
由图象可得时，，
即，
而，
∴．故①错误；
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．
故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，，
即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
故，故②正确；
③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过，对称轴为直线，
∴二次函数必然经过点，
∴时，的取值范围，故④正确；
综上，②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
30．B
【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
31．和
【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【详解】解：在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，
根据点坐标，有
所以点坐标
  
设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设

而
∴
∴
因为：，，
有
解得：，
所以点的坐标为:
当在的延长线上时，
在中，，,
∴
∴
如图延长至，取，
  
则有为等腰三角形，，
∴
又∵
∴
则为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标：，纵坐标为；
综上E点的坐标为：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．
32．9
【分析】抛物线与x轴有且只有一个交点，可知对应的方程有唯一解，即，即可求出m的值．
【详解】解：∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴方程有唯一解，
即，
解得：，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是明确和抛物线与x轴的交点个数之间的关系．
33．或
【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，
与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
①当时，
函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，
解得，
函数的解析式为，
当时，可得，
解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
34．①②
【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③．
【详解】解：∵抛物线经过点，顶点为，
∴对称轴，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
由图象可得：当时，；
∴①正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∴设抛物线为，
当时，，当时，，
∴，，
如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作，过点B作，
  
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当是，，
∴，
∴，
∴，
解得：，故②正确；
∵点B是抛物线与y轴的交点，
∴当时，，
∴，
∵为直角三角形，
当时，
∴，
∵，，，
∴，整理得：，
解得：或（舍）
∴，
当时，
∴，
∴，整理得：
解得：或（舍）
∴，
当时，
∴，
∴，无解；
以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，
  
则，为等边三角形，
∴，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
当时，
∵，
当时，
，此时不符合题意，故③错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．
35．1或
【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足，解得；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足，解得或，
当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质．
36．m>3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
37．8
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
38．①②③
【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0），可判断⑤．
【详解】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
39．或
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点代入抛物线的解析式，得出m的值，确定的坐标，再根据点的坐标分情况画图求解，即可求出点关于直线的对称点坐标．
【详解】解：∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵是抛物线上的点，
∴，
解得，
∴当时，，
当时，，
①当时，此时点与点重合，
如图1，设点关于直线对称点为，连接，
∵点与点关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，且，
∴，
∴；
②当时，
∴轴，
∴
如图2，设点关于直线的对称点为M，连接，
∵点关于直线的对称点为M，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
综上可得：点关于直线的对称点的坐标为或．

故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键．
40．1
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程=0根的判别式△=0，解方程求出k值即可得答案．
【详解】∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程=0根的判别式△=0，即22-4k=0，
解得：k=1，
故答案为：1
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x＜0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键．
41．
【分析】由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解．
【详解】解：由抛物线与轴都有公共点可得：，即，
∴，
设，则，
要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可，
∴，即的最小值为，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的综合是解题的关键．
42．4
【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．
【详解】解：根据题意可求出，
抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，
连接AD与交于点E，
此时的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，
即，
则S四边形ACHE-，
故答案为：4．

【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
43．②③
【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．
【详解】解：联立，得，
∴∆=，当时，∆有可能≥0，
∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；
抛物线的对称轴为：直线x=，
若抛物线与x轴有两个交点，则∆=，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；
抛物线的顶点坐标为：，
∵，
∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），
∴，解得：，故③正确．
故答案是：②③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
44．②③④
【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确．
【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧，
∵中，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即，
把代入得，
即，
∵，，
∴，故①错误；
②∵，，，
∴，
∴方程的两个根的积大于0，即，
∵，
∴，
∴，
即抛物线的对称轴在直线的右侧，
∴抛物线的顶点在点的右侧，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵，
∴当时，，
∴抛物线对称轴在直线的右侧，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∵，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴，故③正确；
④方程可变为，
∵方程有两个相等的实数解，
∴，
∵把代入得，即，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
∵在抛物线上，
∴，n为方程的两个根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下．
45．
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
46．或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
47．①③④
【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
【详解】解：抛物线过，两点，且，
，
  ，
，即，
抛物线开口向下，，
，故①正确；
若，则，
，
，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，
，，
，  故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
48．3
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，
∴代入(-2,0)、(1,0)得：，
解得：，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．
49．①②③
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③正确；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
50．或
【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，解得（舍去），
当，抛物线与线段只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则，解得，
当时，且抛物线过点时，
，解得，
当抛物线过点时，

解得，m=-1
由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，
，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
51．
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
【详解】解：如图所示：
  
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即
解得，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
52．＜t＜1##0.60，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
56．（1）；（2），
【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．
【详解】解：（1）由题知，
∴．
（2）由图知的一个根为1，
∴，∴，
即一元二次方程为，
解得，，
∴一元二次方程的解为，．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
57．（1），M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
【详解】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
58．(1)
(2)

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标，再根据，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
∴点C的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴的面积是．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，掌握待定系数法求解析式，以及二次函数的性质是解题的关键．
59．（1）；（2）
【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；
（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式．
【详解】解：（1）．
∵图象的对称轴为直线，
∴，
∴．
（2）∵，
∴二次函数的表达式为，
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．
60．（1）b=-16，c=-2；（2）见解析；（3）m＞1，证明见解析
【分析】（1）根据抛物线经过（0，-2）得到c值，再根据增减性得到对称轴，可得b值；
（2）根据r是抛物线与x轴的交点得到r是方程的解，代入得到，计算出，可得，从而可得；
（3）由变形可得，再证明r＜0，根据不等式的性质可得结果．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点（0，-2），
∴，即c=-2，
∵当x＜-4时，y随x的增大而增大，当x＞-4时，y随x的增大而减小，
∴直线x=-4是抛物线的对称轴，
∴，解得：b=-16，
∴b=-16，c=-2；
（2）证明：∵b=-16，c=-2，
∴，
∵r是抛物线与x轴交点的横坐标，
∴r是方程的解，
即，则，
∴，
∴
=
=
∵，
∴，
∴；
（3）m＞1正确，
证明：由（2）可知：，
∴，即，
∴，
在中，令，
解得：或，
∴r＜0，
∴，，
∴，
∵，
∴，即m＞1．
【点睛】本题考查了二次函数综合，还涉及的二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点，解一元二次方程，解题的关键是根据r是抛物线与x轴的交点得到关于r的方程，进行等式的变形．