浙江省名校协作体2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附答案）

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题

高二年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知向量，，，则实数k的值为（    ）

A.    B.    C.    D.1

3.已知异面直线a，b分别为平面，的垂线，直线m满足，，，，则（    ）

A.与相交，且交线与m平行   B.与相交，且交线与m垂直

C.与平行，m与平行    D.与平行，m与垂直

4.在中，“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件       B.必要不充分条件

C.充要条件        D.既不充分也不必要条件

5.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在时的值域为（    ）

A.   B.   C.   D.

6.二战期间，盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数为N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为，，…，，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的.因为生产的坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，，…，相当于从中随机抽取的n个整数，这n个数将区间分成个小区间.

由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的，由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到N的估计.若缴获坦克的编号为14，28，57，92，141，173，224，288，则利用上述方法估计的总数为（    ）

A.306    B.315    C.324    D.333

7.已知，，，则x，y，z的大小关系为（    ）

A.   B.   C.   D.

8.已知，，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.

9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积可能为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.下列命题中正确的是（    ）

A.某校按的比例对高一、高二、高三三个年级的学生进行分层随机抽样，如果抽取的样本容量为900，则样本中高一年级的学生人数为300

B.一组数据12，13，14，14，15，16的平均数与众数相同

C.一组数据从小到大依次为1，2，3，5，m，若这组数据的极差为中位数的2倍，则

D.若甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，10，则甲组数据的标准差大于乙组数据的标准差

11.函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则有（    ）

A.一定是周期函数     B.在单调递增

C.        D.

12.如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的一个动点，则（    ）

A.对任意点P，都有

B.存在点P，使得的周长为3

C.存在点P，使得PC与所成的角为

D.三棱锥的外接球表面积的最小值为

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.

13.已知圆锥的高为2，体积为，则该圆锥的侧面积为______.

14.已知锐角终边上一点P的坐标为，则______.

15.已知函数，若函数有两个零点，，且，则的取值范围为______.

16.定义向量，其中，，若存在实数t，使得对任意的正整数n，都有成立，则x的最小值是______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）某校为了调查学生的数学学习情况，在某次数学测试后，抽取了100位同学的成绩，并绘制成如图所示的频率分布直方图，已知这100名同学的成绩范围是，数据分组为，，，，.

（Ⅰ）求x的值；

（Ⅱ）估计这100名同学成绩的上四分位数（第75百分位数）.

18.（本小题满分12分）已知复数z满足（i是虚数单位）

（Ⅰ）求z的值；

（Ⅱ）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.

19.（本小题满分12分）如图所示，M是内一点，且满足，BM的延长线与AC的交点为N.

（Ⅰ）设，，请用，表示；

（Ⅱ）设，求的值.

20.（本小题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若的外接圆半径为1，且，，求BC边上的中线长.

21.（本小题满分12分）如图所示，在四棱台中，四边形ABCD为菱形，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

22.（本小题满分12分）已知函数，，且满足.

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）求证函数存在唯一零点；

（Ⅲ）设，证明.

2023学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案

高二年级数学学科

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.A  2.B  3.A  4.C  5.D  6.C  7.C  8.B

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.

9.ABC  10.BC  11.AC  12.AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.

13.   14.  15.  16.

四、解答题：

17.解：（Ⅰ）由得   …………………………4分

（Ⅱ）由，设这100名学生成绩的第75百分位数为m，

则.

由得.

所以这100名学生成绩的第75百分位数为85.   …………………………10分

18.解：（Ⅰ）由得

   …………………………5分

（Ⅱ）由于.

由得，故实数m的取值范围为.  …………………………12分

19.（Ⅰ）解：∵，则，

解得，即   …………………………6分

（Ⅱ）过M作交AB于P，过M作交AB于Q，则，

因为，则，

所以，即   …………………………12分

20.解：（Ⅰ）

由解得：，

故函数的单调递增区间为.   …………………………6分

（Ⅱ）∵，∴，又，∴，

又∴，，，∴，，

设D为BC中点，则

∴，

即BC边上的中线长   …………………………12分

21.解：（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接，BE，

由于四边形ABCD为菱形，，所以，

又，，所以，

因为平面，平面，所以平面，

又平面，故；   …………………………4分

（Ⅱ）不妨设，则

由平面，知直线与平面ABCD所成的角，即

在中，，，得，

故，，即，

所以平面.

又平面得

所以，则.

过E作与BD交于点F，连接，

则为二面角的平面角.

因为，，所以.

即二面角的余弦值为   …………………………12分

22.（1），所以；   …………………………3分

（Ⅱ）在单调递增，且，，

所以由零点存在定理，得在内有唯一零点，即函数存在唯一零点；……………………6分

（Ⅲ）证明：若，则，

所以，

又，，

所以

，

令，

又，所以在上单调递增，

所，

即，所以   …………………………12分