六年级上册秋季奥数培优讲义（通用版）

这是一份六年级上册秋季奥数培优讲义（通用版），共149页。
第1讲 圆的周长和面积
【学习目标】
1、进一步学习圆的周长计算；
2、进一步学习圆的面积计算。
【知识梳理】
1、周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。公式：C=πd或 C=2πd
2、面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。公式：Ｓ＝ｒ²
3、半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d　或　Ｃ＝r＋2r
圆周长的一半=r
4、半圆的面积：公式为：Ｓ＝ｒ²2（半圆面积＝圆的面积2）
5、圆环的面积：S=R²－ｒ²　或　S=（R²－ｒ²）（其中R＝r＋环的宽度）。
6、扇形弧长：扇形中的曲线部分线条的长度，用L表示弧长，L=。
扇形面积：扇形的面积S=（n是扇形圆心角的度数）。
【典例精析】
【例1】如图，有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要分米长的绳子。（打结处强长不计，工取3.14)





【趁热打铁-1】如图，春节时，商店出售直径为10厘米的图柱形礼花。每7个用彩带捆成一捆，每捆需要彩带________厘米。（接头不计，π取3.14)




【例2】将两个半径分别为3cm、5cm的半圆如图放置,求涂色部分的周长.









【趁热打铁-2】右图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_____厘米(π=3.14)。









【例3】如图是有4个扇形和1个正方形构成，如果正方形的边长为2，求这个图的周长。







【趁热打铁-3】有一只狗被拴在一建筑物的墙角A处，这个建筑物是底面边长为8m的正方形，栓狗的绳子长20米，现在狗从P点出发（如图），将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？








【例4】如右图把圆分成若干，等份拼剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的宽为5厘米，长是 厘米。








【趁热打铁-4】如图，把半径为3dm的圆分成若干等分后，拼成一个近似的长方形，则这个长方形的长是 dm，宽是 dm，该长方形的周长是 dm，面积是 dm²，该圆的周长是 dm，面积是 dm²。





【例5】如图，把一个圆剪拼成近似的长方形，已知长方形的周长是33.12厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米。








【趁热打铁-5】图中圆O的面积和长方形OABC的面积相等。已知圆O的周长是9.42厘米，那么长方形OABC的周长是 厘米。








【例6】如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分长方形的面积是 平方厘米。






【趁热打铁-6】如图，半圆的面积是14.13平方厘米，圆的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？







【例7】一个电动玩具他有一个8.28×5.14的长方形盘（单位：厘米）和一个半径为1厘米的小圆盘（圆盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A,E，如果小圆盘沿着长方形内壁从A点出发，不停的滚动，最后回到原来位置，请你计算一下小圆盘在B、C、D的位置是怎样的？并画出示意图，小圆盘共自转了几圈？







【趁热打铁-7】如图，有一个半径为1厘米的小圆环，沿着边长是4.71厘米的正方形外侧作无滑动移动．当小圆环绕正方形滚动一周后，回到原来的位置时，小圆环自转的圈数是____圈．





【例8】秋季运动会200米短跑决赛马上鸣枪，民警奇怪的发现8名选手的起跑线不一样（如下图），为什么呢？已知最内圈弯道半径是31.7米，每条跑道宽约1.2米，弯道部分为半圆，为了公平相邻的两条跑道上的起跑线应相差多少米？（一圈400米）










【趁热打铁-8】育才学校新修了一条长400米的塑胶跑道，跑道的弯道是半圆形，弯道最内圈的半径是36米，每条跑道宽约1.2米，现在有6个跑道．（比赛时跑步的选手一般压着跑道的内圈跑）
（1）最外圈的半圆形跑道半径是多少米？
（2）若进行400米赛跑，第2道的运动员要比第1道的运动员起点约提前多少米？










【过关精炼】
1、如图，在边长为100cm的正方形纸片内以上下边长为直径画两个半圆，之后用剪刀将纸片剪成A、B、C、D四个部分．那么这四个部分的周长和为________cm．（π取3.14）






2、如图，有三根直径都是3分米的圆形钢管，用一根绳子把它们捆成一捆，捆4圈最短需要分米长的绳子。（打结处强长不计，工取3.14)





3、如图，圆的周长为6.28m，圆的面积与长方形的面积相等，长方形的周长是多少米？






4、一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图），小圆盘运动过程中扫出的面积是_________平方厘米．（π=3.14）




第2讲 组合图形求面积（一）
1、求下图中涂色部分的周长和面积。







2、用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图）,酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长的绳子。问这根绳子长多少厘米？








3、下图中圆的周长是62.8厘米，圆的面积正好与长方形的面积相等，你能求出图中阴影部分的面积吗？







第2讲 组合图形求面积（一）
【学习目标】
1、复习圆的面积计算；
2、熟练掌握组合图形的面积计算。
【知识梳理】
1、 拼接法：把不规则的图形拼接成规则的可以直接计算的图形；
2、 大减小：用大图的面积减去其他部分的面积；
3、 整体法：在计算过程中把某一个中间数(如半径的平方)当做一个整体来求解。
【典例精析】
【例1】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积。








【趁热打铁-1】下图中圆的面积是125.6cm²，正方形的面积是多少平方厘米？









【例2】如图，阴影部分的面积是25m²。圆环的面积是多少？








【趁热打铁-2】图中阴影部分的面积是50平方厘米，求环形的面积。








【例3】如图4个大小相同的圆的直径都是10厘米，求阴影部分的面积和周长。









【趁热打铁-3】如图个圆半径都是2厘米，求阴影部分的面积。（图中三角形是直角三角形）








【例4】如果,图中三个圆的周长都是25.12厘米圆心恰在直角梯形的三个顶点处,则圆与梯形重叠部分的面积是 平方厘米。(π取3.14)








【趁热打铁-4】图中三个圆的周长都是25.12厘米，圆心恰好在直角梯形的三个顶点处，则圆与梯形重叠部分的面积是 平方厘米。（π取3.14）







【例5】下图是由一个平行四边形和个半圆组成的图形，已知半圆的半径是10厘米，计算图中阴影部分的面积。







【趁热打铁-5】下图由半圆和等腰直角三角形重叠而成。已知等腰直角三角形的直角边长为4厘米，求图中阴影部分的面积。








【例6】下图中长方形的宽是4厘米，图中阴影部分的面积是 平方厘米。








【趁热打铁-6】如图，正方形的边长是4厘米，则阴影部分的面积为________平方厘米。






【例7】下图中阴影部分的面积为________平方厘米。（单位：厘米）







【趁热打铁-7】下图中阴影部分的面积为________平方厘米。（单位：厘米）






【例8】在长方形ABCD中，AB长8厘米，BC长6厘米，AC长10厘米．如果把这个长方形绕顶点C旋转90°（如图），那么AD边所扫过部分（阴影部分）的面积是多少平方厘米？




【趁热打铁-8】如图，圆0的直径AB与CD互相垂直，AB=20厘米，以C为圆心，CA为半径画弧AB，则阴影部分面积是____平方厘米．







【例9】如图所示，求图中阴影部分的面积。（单位：cm)








【趁热打铁-9】如图所示，AB=BC,CD=BD。求阴影部分的面积。（单位：cm)









【过关精炼】
1、如图，四边形ABCD是正方形，扇形半径是60毫米。求阴影部分的面积。






2、直角三角形ABC三条边分别是3厘米，4厘米，5厘米，如下图所示，分别以三边为直径画半圆，求阴影部分的面积。





3、如图，图1是一个半径为3厘米的半圆，AB是直径。如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°s，此时B点移动到C点。图中阴影部分的面积是 平方厘米。






4、如图,已知直角三角形的面积是12平方厘米,则阴影部分的面积是多少平方厘米？







第2讲 组合图形求面积（一）
1、下图中圆的面积是125.6cm²，正方形的面积是多少平方厘米？








2、下图中，四边形ABCD是平行四边形，已知图中阴影部分①、阴影部分②的差是8.6平方厘米，圆形的面积是 平方厘米。








3、如图三个等圆的周长都是18.84厘米，求阴影部分的面积。








第3讲 组合图形求面积（二）
1、图中阴影部分的面积是25cm²,求圆环的面积。







2、如图，有三个大小完全相同的圆，半径均是1米．连接三个圆的圆心，阴影部分的面积是_______平方分米。








3、如图所示，正方形的对角线长10cm,分别在正方形的两个相对的顶点，以其边长为半径分别作弧。求阴影部分的面积。







第3讲 组合图形求面积（二）
【学习目标】
1、复习圆的面积计算；
2、熟练掌握组合图形的面积计算。
【知识梳理】
4、 容斥法：利用容斥原理求解图形面积；
5、 分组法：把要求的图形平均分组，然后进行计算；
6、 拆分法：把不规则图形拆分成几个规则的可以直接计算的图形；
7、 差不变：两个图形同时加上或者减去同一部分，差不变。
【典例精析】
【例1】如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，A为扇形AEF的圆心且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。







【趁热打铁-1】如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小16平方厘米，求BC的长。(π取3.14)







【例2】如图所示，圆的周长为12.56cm,A,C两点把圆周分成相等的两段弧，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等。求平行四边形ABCD的面积。







【趁热打铁-2】如图所示，圆的半径OA=OB=5cm,AC=CD=8cm,AC垂直于CD,BC=6cm。求。







【例3】如图所示，两圆的半径都是2厘米，且图中两个阴影部分的面积相等，长方形的面积是_____平方厘米。








【趁热打铁-3】如图，两个半径相等的圈A和圆B相交三角形DBC是等腰直角三角形，面积是100平方厘米，四边形ABCD是平行四边形。图中阴影部分的面积是_______平方厘米。







【例4】如图、两个小圆和三个小半圆的半径都是1. 求阴影那分的面积。(π取3)









【趁热打铁-4】如图每个小圆的面积都是7平方厘米，则阴影部分的面积是 。








【例5】如图,三个圆的半径都是2cm,则阴影部分的面积____cm2 。






【趁热打铁-5】下图中大圆的直径是10厘米，四个小圆完全相同，阴影部分的面积是 。







【例6】如图，长方形的宽正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积。（单位：厘米）







【趁热打铁-6】图中正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。




【例7】求下图阴影部分的面积。（单位：cm）








【趁热打铁-7】求下图阴影部分的面积。（单位：cm）









【例8】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=15°,圆的周长为125.6厘米，点A、B、C都在圆上，AB是直径，点O是圆心，求阴影部分的面积。（ π取3.14）







【趁热打铁-8】如图，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC=30°，求阴影部分的面积___（得数保留两位小数）







【例9】如图所示，曲线ACDB和COD是两个半圆，CD平行于AB,大半圆的半径是2厘米，那么阴影部分的面积是 平方厘米。








【趁热打铁-9】如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，弧AC=弧CD=弧DB,M是弧CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？






【过关精炼】
1、如图，正方形ABCD边长为10厘米,求图中阴影部分的面积。（注：E、F、G、H分别为每条边的中点)





2、如图，在边长为1的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，分别以A、B、C、D为圆心，以对角线长的一半为半径画圆弧与正方形的边相交，=_______。





3、如图所示，正方形的边长是20cm,求阴影部分的面积。






4、如图、在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积为 。






第3讲 组合图形求面积（二）
1、图形计算：如图所示，阴影甲的面积比阴影乙的面积大68平方厘米，AB=40cm，BC垂直于AB，求BC的长。(π取3.14)




2、有一个直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，那么ED长多少厘米？





3、如图，若大圆的半径为6，则阴影部分的面积为____（答案保留π）。






4、如图，△ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知AB=BC=10厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3.14)





第4讲 圆柱与圆锥
1、三角形ABC为直角三角形，AB是圆的直径，并且AB=20厘米，如果阴影1的面积比阴影2的面积大19平方厘米，那么BC的长度是多少厘米？







2、如图，大圆的直径是4厘米，求阴影部分的面积。（圆周率π取3.14）








3、如图，正方形的边长是20厘米，阴影部分面积为_______平方厘米．（π取3.14）









第4讲 圆柱与圆锥
【学习目标】
1、认识圆柱与圆锥；
2、学会计算圆柱与圆锥的体积及表面积。
【知识梳理】
1、圆柱：
（1）概念：圆柱上、下两个面是相等的圆，它们都叫圆柱的底面；曲面部分叫作圆柱的侧面；两个底面之间的距离，叫作圆柱的高。
（2）圆柱的侧面沿一条高展开后可得到一个长方形，这个长方形的长相当于圆柱的底面的周长，它的宽相当于圆柱的高，这个长方形的面积就是圆柱的侧面积。
（3）体积＝底面积×高；
（4）侧面积＝底面周长×高
2、圆锥：
（1）概念：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，将直角三角形绕着它旋转360°所得的几何体叫作圆锥。
（2）将圆锥的侧面沿顶点和底面圆周上一点的连线展开，可以得到一个扇形。
（3）体积＝底面积×高×。
【典例精析】
【例1】认识圆柱：
（1）一个长方形的长是８cm,宽是６cm。以它的一条边为轴旋转一周,得到的图形的底面积可
能是 cm²,也可能是 cm²。

（2）一个圆柱的底面半径是3cm,高是5cm,它的侧面积是 cm²,表面积是 cm²。

（3）用边长是1厘米的正方形围成一个圆柱体，它的体积是 。



【趁热打铁-1】
（1）将圆柱的侧面展开能得到平面图形 。


（2）把一个圆柱的侧面沿高剪开,得到一个正方形,这个圆柱的底面半径是5cm,那么圆柱的高是 cm。


（3）把一个长6.28dm、宽3.14dm的长方形纸片卷成一个圆柱,这个圆柱的侧面积是 dm²(保留整数),它的底面积可能是 dm²,也可能是 dm²。



【例2】认识圆锥：
下图中，分别以长方形的长或宽为轴旋转一周，所得立体图形的体积相差____立方厘米；分别以直角三角形的两条直角边为轴旋转一周，所得立体图形的体积相差____立方厘米。







【趁热打铁-2】将下图中的直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径和高分别是多少？



【例3】求下图形的表面积：








【趁热打铁-3】
（1）求下图形的表面积：









（2）已知一个圆柱的底面周长是25.12cm，高是10cm，求其表面积。







【例4】一个正方体零件(如图)，它的正中间有一个圆柱形孔。这个零件的表面积是多少?









【趁热打铁-4】一个环形零件(如下图)，内圆的直径是4 cm，外圆的直径是8 cm，高是4 cm。它的表面积是多少？








【例5】已知下图圆柱的高是26cm,底面直径是8cm,现从中间沿底面直径竖直把它切开,分成两部分,其中一部分的表面积是多少?







【趁热打铁-5】下面的圆柱沿着箭头方向竖着切开，表面积增加了40平方厘米，求圆柱的表面积．








【例6】幸福村每家每户都砌有一个圆柱形沼气池。沼气池的底面直径是4m,深是2m。在沼气池的周围与底面抹上水泥,如果每平方米需要水泥12kg,一共需要水泥多少千克?







【趁热打铁-6】实验小学舞蹈室有16根相同的圆柱形柱子, 每根柱子的底面周长是9.42m,高是4m。给这些柱子涂油漆,每平方米用油漆0.5kg，一共需要多少千克油漆?







【例7】一根圆柱形木材长20dm,分成4个相等的圆柱体,表面积增加了18.84dm².原来圆柱形木材的表面积是多少?








【趁热打铁-7】阳阳过生日,妈妈做了一个三层蛋糕(如图), 每层厚4cm,底面半径分别是8cm、6cm、4cm。蛋糕表面抹上奶油,如果每平方厘米需奶油0.2g，制作这个蛋糕共需多少克奶油? (结果保留一位小数)








【例8】某种饮料罐的形状为圆柱形,底面直径是7cm,高是12cm.将24罐这种饮料按如图所示的方式放入纸箱内,这个纸箱内部的长、宽、高至少是多少厘米？





【趁热打铁-8】把底面直径90厘米的圆柱形油桶放在长10米,宽4米，高3米的长方体箱子里，最多能放多少个？








【例9】如图，把底面直径6cm，高10cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体.这个长方体的表面积是  平方厘米；体积是  立方厘米。








【趁热打铁-9】如图，把圆柱切开后拼成一个近似的长方体，表面积比原来圆柱多40cm²。圆柱的高是5cm,体积是多少立方厘米?






【例10】求下面图形的体积：









【趁热打铁-10】求下面图形的体积：









【例11】求下面图形的体积：








【趁热打铁-11】求下面图形的体积：









【例12】一个圆锥形沙堆,它的底面周长是12.56m,高是1.8m,用这堆沙子铺8m宽,3cm厚的路面上,能铺多少米?








【趁热打铁-12】有一堆圆锥形黄豆堆，测得其底面周长为15.7m，高为1.8m，把这些黄豆装在一个圆柱形的粮仓中，正好装了这个粮仓的，这个粮仓的内高是2.5m，底面积是多少平方米？





【过关精炼】
1、填空：
（1）一个圆柱的底面半径是2cm,高是4cm,这 个圆柱的侧面积是 cm²,表面积是 cm²,体积是 cm³。
（2）一个圆柱的体积是60dm³,底面积是5dm², 高是 dm。
（3）如图,这是一个 ,它的底面半径是 cm,
高是 cm,底面积是 cm²,体积是 cm³。
（4）右图是两位同学对同一个圆柱的两种不同的切分。(平均分成两块)甲切分后,表面积比原来增加 ，乙切分后,表面积比原来增加 。



2、—瓶装满的矿泉水，小强喝了一些，瓶中水深15cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高6cm，瓶内直径是8cm。小强喝了多少水？







3、如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器的一半，这个容器最多能装水 升．


第4讲 圆柱与圆锥
1、填空：
（1） 把圆柱的侧面沿高剪开,可以得到一个 ,这个图形相邻两边的长分别相当于
圆柱的 和 。这个图形的面积就是圆柱的 ,因此,圆柱的侧面积等于 。
（2） 用一张长20cm、宽12cm的长方形纸片和两个圆形纸片制作一个表面积最大的圆柱，这
个圆柱的高是 cm，底面周长 cm，侧面积是 cm²。
（3） 一个圆柱的侧面展开后得到一个长方形,长是12.56cm,宽是3cm,若这个圆柱的高是3cm,
则它的底面半径是 cm。
2、一节圆柱形烟囱的长是2m，底面直径是10cm，制作10节这样的烟囱，至少需要准备铁皮多少平方厘米？





3、一根圆柱形木材长4m,把它截成相等的4段圆柱体后,表面积增加了18.84平方厘米.原来这根木材的体积是多少立方厘米?





4、有一个近似于圆锥形的沙堆(如图),每立方米沙的质量大约为1.7t,这堆沙的质量约为多少吨? (结果保留整数)




第4讲 圆柱与圆锥
1、计算下图的表面积。（单位：厘米）







2、把圆柱如右图切开后拼成一个近似长方体.它的表面积比原来圆柱体多40平方厘米,圆柱的高是5厘米,体积是多少平方厘米？








3、将一个圆锥从顶点沿底面直径切成两半后，面积增加了72平方厘米.如果圆锥的高是6厘米，求此圆锥的体积。






第5讲 分数裂项
【学习目标】
1、掌握分数裂差计算；
2、掌握分数裂和计算。
【知识梳理】
1、分数裂差:
（1）目的：互相抵消；
（2）特点：分子相同、分母为等差数列；
（3）公式：


 
2、分数裂和:
（1）目的：互相抵消；
（2）特点：分子为分母两数之和、分母为等差数列；
（3）公式：。
【典例精析】
【例1】计算：









【趁热打铁-1】计算：













【例2】计算：







【趁热打铁-2】计算：









【例3】计算：













【趁热打铁-3】计算：













【例4】计算：






【趁热打铁-4】计算：






【例5】计算：












【趁热打铁-5】计算：











【例6】计算：













【趁热打铁-6】计算：












【例7】计算：






【趁热打铁-7】计算：













【例8】计算：







【趁热打铁-8】：







【过关精炼】
1、计算：








2、计算：









3、计算：



第5讲 分数裂项
1、计算：








2、计算：








3、计算：








第6讲 分数四则运算
1、计算：







2、解方程：








3、计算：







第6讲 分数四则运算
【学习目标】
1、进一步学习四则运算的基本次序；
2、掌握小数、带分数、假分数之间的互换；
3、掌握乘法分配律的灵活运用。
【知识梳理】
1、四则混合运算：有括号的先算括号，然后再算乘除法，最后算加减法。
2、数字变形法：从数字特点出发，创新变形，巧妙的运用运算性质规律，达到简算的方法。
如
3、分数的加减乘除混合运算：先把小数化成分数，然后再去括号，再把除法变成乘法，最后计算。
4、分配律：两个数(或多个数)的和（或者差）与一个数相乘，可以把括号里的两个数分别与这个数相乘，然后再把几个积相加（或者减）。（a+b）×c=a×c+b×c （a-b）×c=a×c-b×c
【典例精析】
【例1】计算：
（1） （2）





【趁热打铁-1】计算：
（1） （2）



【例2】计算：
（1） （2） （3）







【趁热打铁-2】计算：
（1） （2） （3）







【例3】计算：
（1） （2）







【趁热打铁-3】计算：
（1） （2）







【例4】计算：







【趁热打铁-4】计算：






【例5】计算：
（1） （2）







【趁热打铁-5】计算：
（1） （2）








（3） （4）







【例6】计算：
（1） （2）







【趁热打铁-6】计算：
（1） （2）[÷]×4.5







【例7】计算：








【趁热打铁-7】计算：








【例8】计算：









【趁热打铁-8】
计算：






【过关精炼】
1、计算：
（1） （2） （3）





（4） （5） （6）





2、计算：
（1） （2）






3、计算：



第6讲 分数四则运算
1、计算：
（1） （2） （3）





（4） （5） （6）





2、计算：
（1） （2）7.4×






3、计算：




第7讲 定义新运算
1、计算：







2、计算：








3、计算：










第7讲 定义新运算
【学习目标】
1、学习分数中的定义新运算；
2、会从给出的条件中总结规律。
【知识梳理】
1、概念：定义新运算就是用△、※、☆等多种符号按照一定的关系，“临时”规定的一种运算法则进行的运算；
2、解题方法：
（1）套公式；
（2）倒推。
【典例精析】
【例1】自定义计算：若x△y=，求3△7。







【趁热打铁-1】 a、b是两个非零的数，定义a※b=，计算（2※3）※4与2※（3※4）。







【例2】规定：A△B=5A-4B。如果x△（5△2）=4，那么x=_____。








【趁热打铁-2】定义：x□y=xy+x，x△y=x+3y，已知x□3=8，x□（3△m）=8，则m=_____。









【例3】4☆2=4+44=48，5☆3=5+55+555=625，2☆4=2+22+222+2222=2468，则6☆3=_____。








【趁热打铁-3】运算符号* 满足2*3=2+3+4=9，3*4=3+4+5+6=18,则2*5= 。








【例4】已知：如果a＞b，那么|a﹣b|=a﹣b；如果a＜b，那么|a﹣b|=b﹣a；如果a=b，那么|a﹣b|=0．根据以上信息，计算：||+||-||=_______．






【趁热打铁-4】规定运算“☆”为：若a＞b，则a☆b=a+b；若a=b，则a☆b=a﹣b+1；若a＜b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）+（4☆4）+（7☆5）=______．






【例5】对于数x，符号【x】表示不大于x的最大整数例如【3.14】=3，则关于x的方程【】=4的整数解有_____ 个．








【趁热打铁-5】定义：[a]表示不超过数a的最大自然数，如[0.6]=0，[1.25]=1．若[5a﹣0.9]=3a+0.7，则a的值．








【例6】规定，如果，那么A=？






【趁热打铁-6】对于任意的自然数X和Y，定义新运算@：，其中m是一个确定的自然数．如果1@2=1，则2@8=_____．







【例7】若“！”是一种运算符号，并且1！=1，2！=1×2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，且公式，求的值。







【趁热打铁-7】在数学中，为了简便，我们定义k=1+2+3+...+n,比如，又定义n!=n×（n-1）×...×3×2×1,又比如5！=5×4×3×2×1，则的值是 。





【过关精炼】
1、定义：a☆b=，则2☆（3☆4）=_____．





2、规定一种运算“～”，a～b表示a，b中较大的数减较小的数的差，例如6～3=6﹣3=3，2～5=5﹣2=3．试求：（9～4）+（1～8）×（2～6）=______．





3、对于任意一个三位数n，用 表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n=102时 =12．那么满足 ＜n且 是n的约数的三位数n有______个．






4、x、y 表示两个数，规定新运算“○”及“△”如下：x○y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m，n，k均为正整数．已知 1○2=5，（2○3）△5=90，那么（1△2）○3 的值是______．


第7讲 定义新运算
1、定义一种新运算,则 。








2、已知10※3＝14，8※7＝2,※＝1，根据这几个算式找规律，如果※x＝1，那么x＝ 。








3、规定：如果A＞B，则丨A﹣B丨=A﹣B；如果A=B，则丨A﹣B丨=0，如果A＜B，则丨A﹣B丨=B﹣A，根据以上规律计算：丨4.2﹣1.3丨+丨2.3﹣5.6丨+丨3.2﹣3.2丨=_______．







第8讲 期中复习
一、填一填。
（1）要画一个周长是12.56厘米的圆，用圆规的两脚在直尺上应量取 厘米长的距离。

（2）一个时钟的分针长8cm，经过5时分针针尖走过的路程是____ cm。

（3）在一个长8cm、宽3cm的长方形中剪出一个最大的半圆，这个半圆的周长是____ cm，面积是____cm²。

（4）把一个圆剪成相等的两半，它的周长增加了8cm，这个圆原来的面积是____ cm²。

（5）在一个周长是20dm的正方形木板内裁剪一个最大的圆，这个圆的半径是____ dm，面积是____ dm²，剩下的边角料是____dm²。

（6）一个圆的半径扩大到原来的2倍，那么它的周长就扩大到原来的____倍，面积扩大到原来的____倍。

（7）半圆的周长是20.56cm，这个半圆的半径是____cm。

（8）圆可以剪拼成近似的平行四边形，它的周长比圆的周长多6厘米，圆的面积是____。

（9） 如右图，两个小圆的周长之和____一个大圆的周长，两个小圆的面积
之和____一个大圆的面积。（填“大于”“小于”或“等于”)

（10）一个圆环形的零件，它的大圆半径是10cm，小圆直径是8cm。这个零件的横截面面积是____cm²。


（11）如图是两个大小不同互相咬合的齿轮，大齿轮的半径是15 cm，
小齿轮的半径是5 cm。大齿轮转动一周，小齿轮要转动____周。

（12）把一个直径是4厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加____厘米。


（13）大圆的直径是4cm，小圆的直径是2cm，大圆和小圆周长的最简整数比是____，面积的最简整数比是____。

（14）一批服装，第一天卖了，第二天卖了余下的，第二天卖出的是总数的____，还剩下____。

（15）60吨的是____吨，比60吨多是____吨，60吨是____吨的。

（16）有一根15m长的铁丝，先剪去它的，还剩____m，再剪去m，还剩____。

（17）1m的与____ m的相等；比80m多是____。

（18）栽种一批树苗，这种树苗的成活率一般为75%，如果要确保1200棵树苗成活，那么至少应栽____棵树苗。

（19）某商场羽绒服一律七折出售，妈妈买一件羽绒服花了490元，这件羽绒服的原价是____元。

（20）芝麻的出油率在45%--55%之间，榨油厂接到1980 kg芝麻油的订单，榨油厂至少要采购____ kg芝麻，最多要采购____ kg芝麻。

（21）一种油菜籽的出油率是32%，300 kg的这种油菜籽能榨油____kg。现在要榨油80 kg需要____kg这种油菜籽。


（22） 将0.3，，16.6%，，0.167按照从小到大的顺序排列起来是
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