2023滕州一中高一上学期1月期末数学试题含解析

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滕州一中高一期末测试数学试卷第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号选项要求的.1. 已知集合，，则集合（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合、，由此求得.【详解】，，所以.故选：B2. 记，那么A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】,,从而，，那么，故选B． 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）.A  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式，，解得，故不等式的解集为：，则其一个充分不必要条件可以是，故选：．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．4. 已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的性质，再比较的大小关系，从而利用单调性比较，，的大小关系.【详解】是偶函数，并且当时，是增函数，，因为，，即 又因为在是增函数，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数的性质，后面的问题迎刃而解.5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（    ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】将分离常数为，由，可得，且，，再结合基本不等式求解即可.【详解】由，又，所以，且，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6.故选：A.6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D；当时，，可排除C；由，可排除B.【详解】函数，由，即且且，故函数的定义域为，由，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D；当时，，，所以，可排除C；由，，，即，可排除B.故选：A.7. 已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)A. ∪(5，＋∞) B.  ∪ C.  ∪(5，7) D.  ∪[5，7)【答案】A【解析】【详解】由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h(x)＝loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．若a＞1，则h(5)＝loga5＜1，即a＞5.  若0＜a＜1，则h(－5)＝loga5≥－1，即0＜a≤.  所以a的取值范围是∪(5，＋∞)．故选A.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（    ）A. 与为同一函数B. 已知为非零实数，且，则恒成立C. 若等式的左、右两边都有意义，则恒成立D. 函数有且仅有一个零点，在区间内【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.【详解】对于A，因为函数与的定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A正确；对于B，因为a，b为非零实数，且，所以，故选项B成立；对于C，因，故选项C正确；对于D，因为函数的零点个数等价于与图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，所以函数有两个零点，故选项D错误，故选：ABC.10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ）A.  B. C. m的值可能是4 D. m的值可能是6【答案】AD【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得，结合函数的单调性、奇偶性解不等式，求得的取值范围.【详解】由题意可得，则．所以A选项正确.的定义域为，因为是偶函数，所以．当时，单调递增．因为是偶函数，所以当时，单调递减．因为，所以，所以，或，解得或．所以D选项符合.故选：AD11. 已知函数，下述正确的是（    ）A. 函数为偶函数B. 函数的最小正周期为C. 函数 在区间上的最大值为1D. 函数的单调递增区间为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，代入，由余弦函数的奇偶性可判断；对于B，由函数的周期，求得函数的最小正周期；对于C，由已知求得，根据正弦函数的性质可求得函数 在区间上的最大值；对于D，由，求解即可得函数的单调递增区间.【详解】解：因为，所以对于A，，又，所以函数为偶函数，故A正确；对于B，函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故B不正确；对于C，当时，，所以，所以，所以函数 在区间上的最大值为1，故C正确；对于D，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故D正确，故选：ACD.12. （多选题）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】ABC【解析】【分析】令转化为，采用数形结合法可求参数范围，结合选项即可求解.【详解】令得，令，由画出图象得：由图可知，要使恰有2个零点，则直线与要有两个交点，或，故ABC都符合.故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.线上诚信考试，请将答案填写在答题卡相应位置处.13. 函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】由题意得，解得即可.【详解】由题意，要使函数有意义，则，即，解得，所以所以函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.14. 已知函数，若实数满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据奇偶性定义可判断出为定义在上的偶函数，从而将所求不等式化为；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定在上单调递增，由偶函数性质可知在上单调递减，由此可得，解不等式即可求得结果.【详解】的定义域为，，为定义在上偶函数，；当时，单调递增，在上单调递增；又在上单调递减，在上单调递增，图象关于轴对称，在上单调递减；则由得：，即，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.15. 已知函数，则的值为___________.【答案】5.25【解析】【分析】根据函数满足即可求解.【详解】因为,所以,故答案为:.16. 函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】首先求出，根据题意则有，解出即可.【详解】当时，，的图象在上恰有两个最大值点,.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案填写在答题卡相应位置处.17. （1）计算（2）计算.【答案】（1）0；（2）3【解析】【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解；（2）利用对数性质及运算法则求解.【详解】（1）.（2）.18. 设，函数的最小正周期为，且．（1）求和的值；（2）在给定坐标系中作出函数在上的图像；（3）若，求的取值范围．【答案】（1），    （2）作图见解析    （3）【解析】【分析】（1）利用最小正周期和解即可；（2）利用列表，描点画出图像即可；（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.【小问1详解】∵函数的最小正周期，∴．∵，且，∴．【小问2详解】由（1）知，列表如下：0010－10 在上的图像如图所示：【小问3详解】∵，即，∴，则，即．∴的取值范围是19. 已知，不等式的解集是.（1）求的解析式；（2）不等式组的正整数解仅有2个，求实数取值范围；（3）若对于任意，，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）结合根与系数关系求得，；（2）根据不等式组的正整数解仅有2个，可得到，即可求解；（3）对进行分类讨论，结合函数的单调性求得的取值范围.【小问1详解】因为，不等式的解集是，所以2，3是一元二次方程的两个实数根，可得，解得，所以；【小问2详解】不等式，即，解得，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6､7，可得到，解得，则实数取值范围是，；【小问3详解】因为对于任意，，不等式恒成立，所以，当时，恒成立；当时，函数在，上单调递减，所以只需满足，解得；当时，函数在，上单调递增，所以只需满足（1），解得，综上，的取值范围是.20. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值．【答案】（1）增区间，；减区间，    （2）最大值为，；最小值为，【解析】【分析】（1）将整体代入的单调区间，求出的范围即可；（2）通过x的范围，求出的范围，然后利用的最值的取值求解即可.【小问1详解】，令，，得，，令，，得，，故函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，；【小问2详解】当时，，所以当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值．21. 截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.【主题一】【科学抗疫，新药研发】（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：，）A. 5.32h B. 6.23h C. 6.93h D. 7.52h【主题二】【及时隔离，避免感染】（2）为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．【答案】（1）C    （2）当时，时总价最低；当时，时总价最低【解析】【分析】（1）利用已知条件，求解指数不等式得答案．（2）根据题意表达出总造价，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.【小问1详解】解：由题意得，，设该药在病人体内的血药含量变为时需要是时间为，由，得，故，．该新药对病人有疗效的时长大约为．故选：C．【小问2详解】解：由题意，正面长为米，故总造价，即.由基本不等式有，当且仅当，即时取等号.故当，即，时总价最低；当，即时，由对勾函数的性质可得，时总价最低；综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.22. 已知函数，，当时，恒有．（1）求的表达式及定义域；（2）若方程有解，求实数取值范围；（3）若方程的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当时，．，即，即，．整理得恒成立，∴，又，即，从而．∴，∵，∴，或，∴的定义域为．（2）方程有解，即，∴，∴，∴，∴，或，解得或，∴实数的取值范围．（3）方程的解集为，∴，∴，∴，方程的解集为，故有两种情况：①方程无解，即，得，②方程有解，两根均在内，，则解得．综合①②得实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.