2022-2023学年四川省眉山市青神县青神中学校高一下学期6月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省眉山市青神县青神中学校高一下学期6月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省眉山市青神县青神中学校高一下学期6月月考数学试题 一、单选题1．复数的虚部是（    ）A． B． C．1 D．i【答案】C【分析】求出复数的代数形式，进而可得其虚部.【详解】，其虚部为.故选：C.2．已知向量，，若，则（    ）A． B． C． D．6【答案】A【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式列方程得答案.【详解】，，，，解得.故选：A.3．中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得,由于,，所以或,故选：D4．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二倍角的正弦公式变形后，再弦化切可得结果.【详解】.故选：B5．是圆锥的一个轴截面，，则圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理求出母线长，再利用圆锥侧面积公式即可得到答案.【详解】如图：  因为，则圆锥底面半径，，即母线，所以圆锥的侧面积.故选：D.6．在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑—凤凰楼，某同学为测量凤凰楼的高度MN，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物AB，高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，凤凰楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为15°，凤凰楼的高度约为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】在中，，在中，，，，由正弦定理得，所以在等腰直角三角形中，有.故选：C7．已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（　　）A．的最小正周期为B．的单调递减区间是，C．的图象关于直线对称D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数【答案】C【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；所以，所以，因为的图象关于点对称，所以，即，，又因为，所以当时，，所以，令，，解得，，所以的单调递减区间为，，故B正确；因为，故C错误；函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，故D正确．故选:C．8．设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=3，c=5，则=（　　）A．8 B． C．6 D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用数量积的定义结合圆的性质求解作答.【详解】因为O为△ABC的外心，则，同理，所以.故选：A 二、多选题9．已知直线a，b，平面，则下列说法错误的是（    ）A．，，则B．，，则C．a，b异面，且，，，，则D．，，则【答案】ABD【分析】以正方体为例，举例即可说明A、B、D错误；根据线面平行的性质定理以及面面平行的判定定理，即可得出C项.【详解】对于A项，如图1，，平面，但是平面，故A错误；对于B项，如图1，平面，但是平面，但是，故B错误；对于C项，如图2，因为，根据线面平行的性质定理可知，过直线，，，且，有.因为，，所以.因为，，，，，所以，故C项正确；对于D项，如图1，平面，平面，但是平面平面，故D项错误.故选：ABD.10．下列说法正确的是（    ）A．棱柱所有的面都是平行四边形B．正方体的外接球与内切球的表面积之比为3：1C．已知是边长为2的正三角形，则其直观图的面积为D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台【答案】BC【分析】根据棱柱的性质判断A，求球的外接球的半径和内切球的半径，结合球的表面积公式判断B，根据斜二测画法判断C，根据旋转体的结构特征判断D.【详解】对于A，三棱柱的底面为三角形，A错误；对于B，设正方体的边长为，则其外接球半径为，内切球半径为，所以其外接球表面积为，内切球表面积为，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比为3：1，B正确；  对于C，以的中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，再作其直观图如下：的面积为，根据斜二测画法的规定可得，，过点作，垂足为，则，其直观图的面积为，C正确；以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体为一个圆锥和一个圆台并挖去一个圆锥的的组合体，D错误.故选：BC.11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则是锐角三角形C．若，则是等腰三角形D．若为锐角三角形，则【答案】AD【分析】运用正弦定理边化角即可判断A项，运用平面向量数量积运算可推出A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角即可判断B项，运用正弦定理边化角及二倍角公式可求得或可判断C项，由锐角三角形可得，再运用在上单调递增及诱导公式运算即可判断D项.【详解】对于A项，在△ABC中，由正弦定理得：，，（为△ABC外接圆的半径），因为，所以，所以，故A项正确；所以B项，因为，所以，所以A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角，故B项不成立；对于C项，因为，所以由正弦定理得：，即：，所以或，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C项不成立；对于D项，因为△ABC为锐角三角形，所以，又因为在上单调递增，所以，即：，故D项正确.故选：AD.12．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（         ）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B，表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D.【详解】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，由可得 ，且，若，则，解得，（负值舍去），故，A正确；若，则，，所以，所以，故B正确；，由于，故，故，故C错误；由于，故，而，所以，所以，故D正确，故选：ABD 三、填空题13．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为                【答案】/【分析】连接、，取的中点，连接，分析可知直线与所成角为或其补角，推导出，求出的余弦值，即为所求.【详解】连接、，取的中点，连接，如下图所示：    在正方体中，因为且，则四边形为平行四边形，所以，，故直线与所成角为或其补角，由勾股定理可得，同理可得，，因为为的中点，所以，，所以，，因此，直线与所成角的余弦值为.故答案为：.14．已知向量，满足，，则在上的投影向量      .【答案】【分析】根据在上的投影向量即可求解.【详解】设与的夹角为，在上的投影向量.故答案为：.15．已知，则      ．【答案】【分析】利用诱导公式结合二倍角公式即可求解.【详解】由题意可得，.故答案为：16．三棱锥的顶点都在球O的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为108，则球O的表面积为        .【答案】【分析】解三角形知为直角三角形，求出外接圆半径，圆心、球心、P在一条直线上时棱锥体积最大，求出此时棱锥高，再由求出球的半径即可.【详解】在中，由正弦定理得：，解得，，外接圆的半径，当三棱锥体积最大时，P到的距离最大，即P点为AB中点与球心连线延长线与球的交点，且此连线垂直于平面ABC，设三棱锥的高为h，则，解得，设球的半径为R，则，解得..故答案为： 四、解答题17．若复数，为虚数单位，为实数.(1)若为纯虚数，求的值；(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；（2）将复数表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为负数、虚部为负数，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）由为纯虚数得，解得；（2）复数，因为复数位于第三象限，所以，即，解得．故的取值范围为.18．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，____________．(1)求的值；(2)若的面积为，，求的周长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）选①，由平面向量数量积的定义结合正弦定理可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值；选②，利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可得出，进而可求得的值，由此可得出的周长.【详解】（1）解：若选①，由已知得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得；若选②，由已知及正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，由，，解得．（2）解：由的面积为，得，所以，由（1）可得，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为．19．已知平面向量满足，．(1)若不共线，且与共线，求的值；(2)若的最小值为，求向量的夹角大小．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由共线向量定理即可求解；（2）由向量的模、夹角、数量积之间的关系即可求解.【详解】（1）因为不共线，且与共线，所以存在实数，使得，即，因此，解得．（2）设夹角为，由得，故当时，有最小值，由题意，解得，又，所以或20．如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点． (1)求证：平面平面；(2)若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．【答案】(1)证明见解析(2)作图见解析；截面的面积为 【分析】（1）由中位线得到两组线线平行，推得两组线面平行，进而证明面面平行；（2）利用平行法作出截面，得到截面为平行四边形，进一步证明其为菱形，最后利用对角线计算面积.【详解】（1）证明：如下图所示，连接SB，由为△的中位线，可得，由平面，平面，可得EG平面；由为△的中位线，可得，由平面，平面，可得平面，又，面，可得平面平面；（2）取的中点N，连接，，显然，所以为平行四边形，可得，，取的中点M，连接，，显然，所以为平行四边形，可得，，综上，截面为平行四边形，又，所以截面为菱形，截面的面积为．21．已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数.关于x的不等式对恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求出；（2）利用换元法和分离参数法得到恒成立.研究的单调性，求出最小值，即可求解.【详解】（1）.要求函数的单调递增区间，只需,解得：.所以函数的单调递增区间为.（2）先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到；再向右平移个单位，得到函数.令，当时，，所以.所以关于t的不等式对恒成立，所以恒成立.令.因为在均单增，所以在单增，所以当在最小，所以.所以实数m的取值范围为.22．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.(1)求A；(2)设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设.①当，时，求；②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)①；的值为定值，此定值为. 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知式可得，由辅助角公式可得，即可求出A；（2）①由题意可得，由，得，代入即可求解；②根据正弦定理、三角形的恒等变换和平面向量的数量积公式，即可求解.【详解】（1）根据正弦定理可得：，即，整理得：，即，因为为三角形的内角，所以，即.（2）①由知，为AC中点，因为外接圆圆心为，所以，由（1）知，，由，得，当时，点与重合，为切点，且，.②在中，，，故，所以在点D、E的运动过程中，的值为定值，此定值为.