2022-2023学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高一下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高一下学期5月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高一下学期5月月考数学试题 一、单选题1．若，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D 2．在学生人数比例为2：3：5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n=（    ）A．9 B．15 C．24 D．30【答案】D【分析】设A学校的学生人数为2k，得到三所学校共有学生10k人，再利用比例求解.【详解】解：设A学校的学生人数为2k，则三所学校共有学生10k人，由题意：.故选：D.3．已知，，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果.【详解】因为，，则.故选：A.4．已知向量、的夹角为，，，则（    ）A．4 B．5 C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的数量积公式可得，再根据可求得结果.【详解】因为，所以.故选：B5．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接，则，所以异面直线与所成角就是直线与所成角，在中根据余弦定理即可求出答案.【详解】如图所示，取的中点，连接，则，所以异面直线与所成角就是直线与所成角，设正方体的棱长为2，则，，，由余弦定理得，异面直线与所成角得到余弦值为.故选：D.6．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是（    ）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④【答案】A【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．【详解】解：对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有且成立，但不能推出，故③不正确；对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：【点睛】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．7．在下列四个正方体中，能得出的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由线面垂直的性质可判断A，根据异面直线所成角的计算可判断BCD.【详解】对A，如图，连接，则在正方体中，，又平面，平面，则，，平面，平面，，故A正确；对B，如图，连接，易得，则为异面直线所成角，，故不垂直，故B错误；对C，如图，，则为异面直线所成角，易得，故不垂直，故C错误；对D，如图，，则为异面直线所成角，显然，故不垂直，故D错误.故选：A.8．在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.【详解】解：由余弦定理得，即，即，所以，∴，当且仅当b=c时等号成立.因为，所以，，∴，故选：C． 二、多选题9．设为复数，则下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或【答案】AD【分析】通过反例可说明BC错误；设，，根据模长运算和复数乘法运算可分析得到AD正确.【详解】对于A，设，，则，，即，，A正确；对于B，令，，则，此时，B错误；对于C，令，，则，此时，C错误；对于D，设，，则，，即，则；若，则成立，此时；若，，由知：；由知：；此时；同理可知：当，时，；若，，由得：，，此时；综上所述：若，则或，D正确.故选：AD.10．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（    ）A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为【答案】ABD【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，为斜高，又，，故,故AB正确.而正三棱锥的体积为，侧面积为，故C错误，D正确.故选：ABD.11．如图所示，是圆锥底面圆的一条直径，点在底面圆周上运动（异于两点），以下说法正确的是（    ）A．恒为定值B．三棱锥的体积存在最大值C．圆锥的侧面积大于底面圆的面积D．的面积大于的面积【答案】ABC【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，用表示的三角函数值，三棱锥的体积，圆锥的侧面积和底面积，和的面积，再进行判断即可【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，对于A，为定值，所以A正确，对于B，设为到平面的距离，则，因为，所以当平面时，有最大值，则三棱锥体积的最大值为，所以B正确，对于C，圆锥的侧面积为，底面积为，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，与的大小无法比较，所以D错误，故选：ABC12．如图，函数的图象经过点和，则（    ）A．B．C．若，则D．函数的图象关于直线对称【答案】BD【分析】根据函数图象求出周期，即可求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式，最后根据二倍角公式及正弦函数的性质判断即可；【详解】解：，所以，所以，则A错误；，由的图象过点，且在附近单调递增，所以，结合，可得，则B正确；所以，由，得，所以，则C错误；，当时，，所以函数的图象关于直线对称，则D正确.故选：BD. 三、填空题13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是       ．【答案】【分析】根据侧面展开图可确定母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的高，根据圆锥体积公式可求得结果.【详解】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，解得：，，该圆锥的体积是．故答案为：.14．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数         ．【答案】【分析】设，根据向量的运算关系可求得，再结合已知建立关系即可求出.【详解】设，则，，，解得.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是设出，利用向量关系将表示出来.15．如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比           .【答案】【分析】根据棱柱的体积公式即可求解.【详解】设正方体的棱长为，体积为，则，因为E是棱的中点，所以，，..故答案为：16．已知正方形的边长为，为的中点，则          ．【答案】2【详解】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.  四、解答题17．（1）已知复数，，若为纯虚数，求的值；（2）已知复数z满足，求a的值.【答案】（1）（2）2【分析】（1）根据复数的相关概念运算求解；（2）根据复数的四则运算结合模长公式运算求解.【详解】（1）若为纯虚数，则，解得故的值为；（2）由题意可得：，且，因此，解得，故a的值为2.18．设平面三点A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）．(1)若试求D点的坐标；(2)试求向量与的夹角余弦值；【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，根据向量相等可列方程求解；（2）直接利用向量夹角公式即可求解.【详解】（1）设，则，因为所以，解得所以D点的坐标为.（2）由（1）知，又，所以，故向量与的夹角余弦值为.19．已知内角的对边分别为，且.(1)求角A；(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；（2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出bc，从而求解面积.【详解】（1）∵，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）设外接圆的半径为，则，由正弦定理得，因为的周长为，所以，由余弦定理得，即，所以，所以的面积 .20．如图，在多面体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）过作交于，连接､，设交于点，连接，易知为平行四边形，可证为平行四边形，则为中位线有，根据线面平行的判定证结论.（2）由（1）易知，由面面垂直的性质可得面，即为体高，最后利用棱锥的体积公式求体积.【详解】（1）如图，过作交于，连接､，设交于点，连接.由，，则四边形为平行四边形，所以，而且，则且，所以四边形为平行四边形，则为线段的中点，又，在△中为中位线，故，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知：平面，故到平面的距离与点到平面的距离相等.所以.面面，面面，，面，所以面.则.21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）.(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；⑵试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？【答案】(1)88万元；(2)当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大.【详解】【试题分析】（1）当甲万时，乙万，代入收益表达式可求得投资收益.（2）设投资甲万，则投资乙万.对分成，两种情况，求出总收益的表达式，利用一次函数和二次函数最值求法求得最大值.【试题解析】（1）当时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元所以总收益（万元）答:总收益为88万元.（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元依题意得，解得当时，<当时， 令，则所以当，即万元时，的最大值为因为故的最大值为（万元）答:当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元22．已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.      (1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证明；（2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理。再利用线面角的定义及勾股定理，结合同角三角函数基本关系求解即可；（3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及三角函数定义即可求解.【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以.取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面.（2）过点作，垂足为．如图所示，        由（1）知，平面，因为平面，所以，，，平面，所以平面，所以为与平面所成角.由（1）知，平面，平面，所以,在中，因为，，所以，因为为的中点，所以，在中，，在中，，在中，，所以由同角三角函数的基本关系得.所以与平面所成角的正弦值为.（3）取的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，由（1）知，平面，所以平面，平面.所以，过点作，垂足为，连接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以为二面角的平面角.在中，，由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，所以，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由（2）知，，即，解得.因为平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面所成的角；（2）等体积法：通过等体积法间接求解点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面所成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成角的余弦值的绝对值，即是线面角的正弦值.