2022-2023学年湖南省岳阳市湘阴县第二中学高一下学期数学竞赛试题含答案

2022-2023学年湖南省岳阳市湘阴县第二中学高一下学期数学竞赛试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.

【详解】因为，故，故

故选：C.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

4．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.

【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

5．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.

【详解】因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．

6．设则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由及可比较大小.

【详解】∵，∴，即．

又．∴．综上可知：

故选C.

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.

7．已知函数，那么（    ）

A．32 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数，采用赋值法求解的值即可.

【详解】因为，所以当时，

则.

故选：B.

8．到空间不共面的4个点距离都相等的平面有（    ）

A．7个 B．6个 C．4个 D．个

【答案】A

【分析】将空间不共面的四个点看作四面体的顶点，分两类情况即可求解.

【详解】将空间不共面的四个点看作四面体的顶点，

第一类：平行于底面，且过测棱的中点，此时由4种情况符合要求，如图：

第二类：一条棱的中点于底面的一条中位线所成的平面，此时有3种情况符合要求，如图：

故总共有7种情况符合要求.

故选：A

9．如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为线段BC，DC上的动点，且，则的最小值为（    ）

A． B．15 C．16 D．17

【答案】B

【分析】以为原点，建立适当的直角坐标系，设，根据的长度得到的坐标，利用平面向量的数量积的坐标表示得到关于的三角函数表达式，利用辅助角公式化简，并利用三角函数的性质得到最小值.

【详解】以A为原点，AB所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设，

则

，

即，其中．

    时取“=”，所以的最小值为15，

故答案为：15.

10．中，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简得到，从而得到，得到，，利用正弦定理得到，从而得到的取值范围.

【详解】，

在中，，故或，

当时，，故，不合要求，舍去，

所以，，

因为，所以，即，

因为，所以，

由正弦定理得，

故因为，所以，

故，

因为，所以，

故，

因为，所以，，，

故.

故选：B

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

二、填空题

11．函数的定义域为，则的定义域为      .

【答案】

【分析】利用抽象函数的定义域可得出关于的不等式组，即可求得函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，

对于函数，则有，解得.

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

12．已知函数是幂函数，则=     

【答案】或.

【分析】根据幂函数的定义列方程组，解出，即可求出的值．

【详解】因为是幂函数，

所以，解得或，

若，则，

若，则，

故答案为：或.

13．若集合，实数的值为     

【答案】

【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案．

【详解】令,,，,,，

,,，，，

若，则，则,,，,,，满足要求；

若，则，而中元素，矛盾；

若，则，则,,，,,，满足要求；

故实数的值为.

故答案为：

14．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝        .

【答案】

【详解】因为函数f(x)＝为奇函数，

经检验符合题意.

故答案为.

15．已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为          .

【答案】

【详解】试题解析：∵函数在区间上的偶函数

∴，

∴即

【解析】本题考查函数性质

点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性，定义域关于原点对称

16．若正数、满足，则的最小值为               .

【答案】

【分析】由得出，可得出，由此可得出，然后利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】，，，由于，，.

由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为，故答案为.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对所求代数式变形，合理配凑，充分利用定值条件进行计算，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

17．解关于的方程：

(1)

(2)

【答案】(1)或，

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解，

（2）根据对数与指数的互化，即可由二次方程求解.

【详解】（1）由可得，解得或，

故方程的解为或，

（2）由得，

所以，

由于，所以，故，

故方程的解为

18．中，，求值.

【答案】

【分析】由余弦定理结合已知条件可得，然后利用基本不等式可求得，当且仅当时成立，从而可得为等边三角形，可求出三个角的度数，进而可求得结果.

【详解】由余弦定理得，

因为，

所以两式相加得，

所以，

所以，当且仅当时取等号，

因为，所以，当且仅当时成立，

因为，所以，

所以，得，

因为，所以为等边三角形，

所以，

所以.

19．（1）求函数的最值；

（2）求函数在上的最小值.

【答案】（1）最小值为；无最大值；（2）最小值为

【分析】（1）根据绝对值函数的性质将函数化为分段函数，由单调性确定最值；

（2）将函数化简可得,根据二次函数求最值方法即可求得答案.

【详解】（1），由此可得

函数在上单调递减，在上为常数函数，在上单调递减，

又，所以函数有最小值为，无最大值；

（2）

，

因为函数在上递减，在上递增，

所以，

故当时，即，又，所以时，

函数取到最小值.

20．已知函数.

(1)若，求函数的单调增区间；

(2)若函数的最大值为，且，求的值.

【答案】(1)，

(2)1或3

【分析】（1）由三角函数恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得增区间；

（2）由二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式得最大值从而求得参数，然后由可得．

【详解】（1）当时，，令，解得，故的单调递增区间为，.

（2）由，可知的最大值为，又，故.

.

若，显然不成立；若，两边同除，得，解得或.

综上，或.

21．（1）求函数的对称中心；

（2）求函数的对称中心.

【答案】（1）（2）

【分析】根据对称中心的定义，即可根据和求解.

【详解】（1）设函数的对称中心为，所，

代入得，

所以，

所以，

故，所以，

故对称中心为

（2）设函数的对称中心为，所以，

故，

化简得，

由于对任意的，均有成立，

所以且，故，

故对称中心为

22．求证：．

【答案】证明见解析

【分析】等式左边乘以，利用积化和差公式可证结论

【详解】证明：

．

推广：求证：．

证明：

，其中．

，

．

故．

从以上解题过程可看出．