2022-2023学年甘肃省武威市古浪县第五中学高一下学期同步月考检测（四）数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省武威市古浪县第五中学高一下学期同步月考检测（四）数学试题

一、单选题

1．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简复数，根据实部虚部写出点的坐标.

【详解】，即在复平面内对应的点的坐标为.

故选:D.

2．以下事件是随机事件的是（    ）

A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯

C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根

【答案】B

【分析】根据随机事件的概念判断即可

【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；

B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；

C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；

D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．

故选：B．

3．已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：正切值的符号.

【详解】方法一：∵，，

∴.

方法二：∵，，

∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即，

∴

故选：C

4．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（    ）

A． B． C．0 D．4

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，根据坐标运算即可求解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1，

故，，

则.

故选:D.

5．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（    ）

A．“大于3点”与“不大于3点”

B．“大于3点”与“小于2点”

C．“大于3点”与“小于4点”

D．“大于3点”与“小于5点”

【答案】B

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可.

【详解】对于A，事件“大于3点”与事件“点数为4或点数为5或点数为6”相等，

事件“不大于3点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，

所以事件“大于3点”与“不大于3点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，

所以事件“大于3点”与事件“不大于3点”是互斥事件，且是对立事件，A错误；

对于B，事件“小于2点”与事件“点数为1”相等，

所以事件“大于3点”与“小于2点”不可能同时发生，但它们的和事件不是必然事件，

所以事件“大于3点”与事件“小于2点”为互斥事件，但不是对立事件；B正确；

对于C，事件“小于4点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，

所以事件“大于3点”与“小于4点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，

所以事件“大于3点”与事件“小于4点”是互斥事件，且是对立事件，C错误；

对于D，事件“小于5点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3或点数为4”相等，

事件“大于3点”与“小于5点”可能同时发生，

所以事件“大于3点”与事件“小于5点”不是互斥事件，D错误；

故选：B.

6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“快”在正方体的右面，则这个正方体的左面是（    ）

A．0 B．9 C．2 D．乐

【答案】A

【分析】将展开图还原为正方体，并画出直观图，由此可判断.

【详解】根据正方体的平面展开图按照“快”在正方体的右面还原正方体，其直观图为：

其中2在前面，乐在上面，快在右面，9在底面，1在后面，0在左面.

故选：A

7．黄金三角形有两种，一种是顶角为的等腰三角形，另一种是顶角为的等腰三角形．其中顶角为的等腰三角形的底与腰的长度之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据上述信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件，根据余弦定理求解即可.

【详解】在中，，，．

设，，

则．

故选：C  

8．已知甲、乙两人分别位于图中的M、N两点，每隔1分钟，甲、乙两人分别向东、南、西、北四个方向中的一个方向行走1格，且甲向东、向西行走的概率都是，向北行走的概率是，乙向四个方向行走的概率是相等的，则两人经过1分钟相遇的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分两种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式可得.

【详解】因为甲向东、向西行走的概率都是，向北行走的概率是，

所以甲向南行走的概率为.

由图可知，当甲向南行走且乙向东行走，或者当甲向西行走且乙向北行走时满足题意.

甲向南行走且乙向东行走的概率为，

甲向西行走且乙向北行走的概率为，

所以两人经过1分钟相遇的概率为.

故选：B

二、多选题

9．已知直线与平面，能使得的充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】要使得成立，即两平面平行，则这两个平面垂直于同一条直线，或者这两个平面平行于同一个平面，而两平面垂直于同一个平面或平行于同一个直线则不能判定这两个平面平行.

【详解】两平面垂直于同一个平面可以相交，故A错；

，两个平面垂直于同一条直线两平面平行，故B对.

两个平面平行于同一个平面两平面平行，故C对，

，平行于同一个直线的两平面可以相交，故D错，

故选：BC.

10．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：

事件A：恰有一件次品；

事件B：至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；

事件D：至多有一件次品．

下列选项正确的是（    ）

A． B．是必然事件

C． D．

【答案】AB

【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.

【详解】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；

对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；

对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；

对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．

故选：AB．

11．在中，角、、的对边分别为、、，向量，向量，若，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由向量平行得到，从而求出，A正确；由正弦定理得到，求出，判断CD；结合三角形内角和求出，判断B选项.

【详解】∵，∴，

∴，

∴，A选项对，

由题意及正弦定理得，即，

又，

∴，又，

∴，C选项错，D选项对，

又，

则，B选项对，

故选：ABD.

12．设为同一随机试验中的两个随机事件，的对立事件分别为，，，下列说法正确的是（    ）

A．若，则事件与一定不互斥

B．若，则事件与一定对立

C．若，则的值为

D．若事件与相互独立且，则

【答案】AD

【分析】根据随机事件相互独立，互斥，对立的定义，以及公式，即可判断选项.

【详解】， ,因为，

则，所以，即事件与事件不互斥，故A正确；

，,，事件与事件不一定对立，故B错误；

，,，则事件与不一定独立，所以 故C错误；

因为事件与相互独立，所以与也相互独立，，解得，故D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．在中，，若，则      .

【答案】/1.5

【分析】根据共线向量关系即可得到，则得到值.

【详解】因为在中,，则，

所以，即.

故答案为：.

14．满足的一组、的值是       ．

【答案】，（答案不唯一）

【分析】逆用和角余弦公式得，进而可得或，，即可得结果.

【详解】由，

所以或，，

当，时，，满足要求.

故答案为：，（答案不唯一）

15．若三个元件、、按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且、中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件、正常工作的概率依次为、，且这个系统正常工作的概率为，则元件正常工作的概率为      .

【答案】/

【分析】设元件正常工作的概率为，当系统正常工作时，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】设元件正常工作的概率为，系统正常工作，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，

由题意可得，系统正常工作的概率为，解得.

故答案为：.

16．已知正四棱台中，，，点到平面的距离为，将四棱台放入球O内，则球O表面积的最小值为      ．

【答案】

【分析】首先根据题干得到正四棱台的上下底面的半径,再列式求出正四棱台的外接球半径,即可解决.

【详解】设正四棱台上､下底面的外接圆的半径分别为，，外接球的半径为，球心为O，

因为正四棱台的上､下底面的边长分别为，，

所以，，设球心O到上底面的距离为d，

则或，

所以，.

当时，球O是外正四棱台接球，此时，

所以外接球的表面积的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n．

(1)列出试验的样本空间；

(2)求“”的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）列举法写出样本空间；

（2）写出包含的情况，从而利用古典概型求概率公式求出答案.

【详解】（1）样本空间为；

（2）满足的情况有，共有8种情况，

样本空间中共有16种情况，

故的概率为.

18．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，O，M分别为，的中点．

(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面．

【答案】(1)证明见详解.

(2)证明见详解.

【分析】（1）连接与，根据三角形中位线性质，结合线面平行判定定理可得；

（2）要证明平面平面，只需要证明平面，根据等腰三角形性质、菱形性质，结合线面垂直判定定理可证.

【详解】（1）因为底面为菱形，为的中点，

所以与的交点为，所以为的中点，

连接，因为为的中点，．

又平面，平面，

平面．

（2）连接，

底面为菱形，，

，为的中点，所以，

又，平面，

所以平面，

平面，

平面平面．

19．如图，在中，已知，，，．

(1)若，证明：A，F，E三点共线；

(2)若AE，BD交于点F，求的值．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算，用基底表示出，根据共线定理可证；

（2）设，结合（1）中结论表示出，再设，由平面向量基本定理列方程求出，然后可得.

【详解】（1）因为，，

所以，

又，所以，

因为，

，

所以，

又有公共点A，所以A，F，E三点共线.

（2）记，则，

由（1）知，

由题知，A，F，E三点共线，记，

所以，

因为不共线，所以，解得，

所以，所以.

20．2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立．

(1)求恰好有一人购买华为手机的概率；

(2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用独立事件乘法概率公式，结合互斥事件概率公式，即可求解；

（2）首先分别计算张三和李四购买价位在5000元以上的华为手机的概率，再结合

独立事件和互斥事件概率公式，列式求解.

【详解】（1）设张三购买华为手机为事件，李四购买华为手机为事件，

则恰好有一人购买华为手机的概率

（2）设张三购买5000元以上手机为事件，李四购买5000元以上手机为事件，

张三购买5000元以上的华为手机为事件，李四购买5000元以上的华为手机为事件，

则，,

所以至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率

.

21．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．

(1)求A的值；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据数量积的公式和余弦定理求即可；

（2）根据正弦定理和三角函数的性质求范围即可.

【详解】（1）因为，所以，

即，

即，则，

因为，所以.

（2）因为，所以，

所以

，

因为，所以，，，则，

所以三角形的周长的取值范围为.

22．某网络营销部门随机抽查了某市名网友在年月日的网购金额，所得数据如下表：

  已知网购金额不超过千元与超过千元的人数之比恰为.

(1)求、、、的值，并补全频率分布直方图（如图）；

(2)估计网购金额的平均数；

(3)在一次网购中，金金和钟钟每人随机从“微信，支付宝，银行卡，货到付款”种支付方式中任选种方式进行支付，求两人均未选择货到付款方式进行支付的概率.

【答案】(1)，，，，作图见解析

(2)平均数为千元

(3)

【分析】（1）根据题中信息可出关于、的方程组，可解出这两个未知数的值，再根据频率、频数与总容量的关系可求得、的值，根据表格信息可作出频率分布直方图；

（2）在频率分布直方图中，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所有乘积相加可得出网购金额的平均数；

（3）设“两人均末选择货到付款的支付方式”，分别用、表示金金和钟钟的支付方式，则一次网购中，金金和钟钟的支付方式可用表示，用、、、分别表示微信、支付宝、银行卡、货到付款四种支付方式，列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）解：由题意得，解得，

所以，，，

补全频率分布直方图如图所示：

（2）解：网购金额平均数

（千元）.

故估计网购金额的平均数为千元.

（3）解：设“两人均末选择货到付款的支付方式”，

分别用、表示金金和钟钟的支付方式，则一次网购中，金金和钟钟的支付方式可用表示，

用、、、分别表示微信、支付宝、银行卡、货到付款四种支付方式，

则样本空间，

所以.

，所以.

从而，故金金和钟钟均末选择货到付款的支付方式的概率为.