2022-2023学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知单位向量、满足，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据单位向量长度为1，结合，即可容易求得结果.

【详解】因为单位向量、满足，

所以，，

所以，

故选：C.

【点睛】本题考查根据数量积的定义求数量积，属简单题.

2．已知复数z 满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.

【详解】 ，

所以   

故选：D．

3．已知正四棱锥的底面边长是，高为，则该正四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积.

【详解】正四棱锥的底面积为，因此，该正四棱锥的体积为.

故选B.

【点睛】本题考查正四棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，属于基础题.

4．某校高一､高二､高三的住校生人数分别为120，180，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取90人进行问卷调查，则高一､高二､高三被抽到的住校生人数分别为（    ）

A．12，18，15 B．20，40，30 C．25，35，30 D．24，36，30

【答案】D

【分析】由题意求出抽样比，根据抽样比求高一､高二､高三被抽到的住校生人数即可.

【详解】三个年级的住校生一共有人，

∴抽样比为，故三个年级抽取的人数分别为，，.

故选：D.

5．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ）

A．0.55，0.55 B．0.55，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.55

【答案】B

【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，

那么出现正面朝上的频率为 ,

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是,

故出现正面朝上的概率为 ,

故选︰B．

6．如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（　　）

①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用线面平行判定定理即可证明AF平面BCD，进而得到①正确；求得BE与平面CDF相交，进而得到②错误；利用线面平行判定定理即可证明CD平面BEF，故③正确．

【详解】对于①，由题意得，∴四边形ABCF是平行四边形，

∴AFBC，

∵平面BCD，BC⊂平面BCD，

∴AF平面BCD，故①正确；

对于②，取DF中点G，连接EG，CG，

∵E是AD中点，AFBC，AFBC，

∴EGBC，EGBC

∴四边形为梯形，

∴直线BE与直线CG相交，

∴BE与平面CDF相交，故②错误；

对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，

∵四边形ABCF是平行四边形，

∴O是AC中点，

∴OECD，

∵OE⊂平面BEF，平面BEF，

∴CD平面BEF，故③正确．

故选：C．

7．如图，在太极图中，分别为太极图中的最低点和最高点，经过大圆和小圆的圆心，且两个小圆的圆心是线段的两个四等分点(异于中点)，过作黑色小圆的切线，切点为，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据投影向量的概念以及图形关系直接求解即可.

【详解】如图，记下方小圆圆心为，

则，因为在上的投影向量为，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：B

8．为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生870人参加了该项问卷调查.被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现1点或2点时，回答问题①，否则回答问题②.由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应.问卷调查结束后，发现该校高三学生中有155人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为（    ）

A．10 B．15 C．29 D．58

【答案】B

【分析】根据古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】因为当出现1点或2点时，回答问题①，所以概率为，

因为高三全体学生870人参加了该项问卷调查，

所以回答问题①的学生有，

因为学号尾数不是奇数就是偶数，故290人中回答是的人数为，

而该校高三学生中有155人回答“是”，

所以估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为，

故选：B

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（    ）

A．夹在两个平行平面间的平行线段相等

B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直

C．如果直线平面，，那么过点P且平行于直线的直线有无数条，且一定在内

D．若空间中的四个点不共面，则任意三点不共线

【答案】ABD

【分析】由面面平行的性质判断A；由线面垂直的性质判断B；由线面平行的性质判断C；由平面的性质可判断D．

【详解】对于A，如图，,且，求证：.

因为,所以过可作平面，且平面与平面和分别相交于和.

因为，所以，因此四边形是平行四边形，所以,故选项A正确；

对于B，如图所示，平面，，，，，，

在平面内作异于的直线，因为，，所以，

因为，所以，，，所以，则，

又因为，，所以，则，

同理可得：，所以，故选项B正确；

对于C，如果直线平面，，则由线面平行得过点P且平行于直线的直线只有1条，故C错误；

对于D，假设任意三点共线，则根据“经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面”，

所以四个点共面，与原题意不符，所以四个点不共面，则其中任意三点不共线，故D正确．

故选：ABD.

10．已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为，，，而且这3人之间的测试互不影响．则下列说法正确的是（    ）

A．甲、乙、丙都通过测试的概率为

B．甲未通过且乙、丙通过测试的概率为

C．甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为

D．甲、乙、丙至多有一人通过测试的概率为

【答案】AC

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式判断ABC；根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式判断D.

【详解】对于A，甲、乙、丙都通过测试的概率为，故A正确；

对于B，甲未通过且乙、丙通过测试的概率为，故B错误；

对于C，甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为,故C正确；

对于D，甲、乙、丙至多有一人通过测试的概率为,故D错误.

故选:AC.

11．在如图所示的三棱锥中，，并且OA，OB，OC两两互相垂直，则下列结论正确的是（    ）

A．直线AB与平面OBC所成的角为

B．二面角的正切值为

C．P为线段AC的中点，直线OP与BC所成的角为

D．作平面ABC，垂足为M，则M为的重心

【答案】BD

【分析】对于A，根据线面角的定义，结合线面垂直的判定定理以及等腰直角三角形的性质，可得答案；

对于B，根据二面角的平面角定义，解得勾股定理以及等边三角形的性质，利用锐角三角函数的定义，可得答案；

对于C，根据异面直线夹角的定义，结合中位线定理以及等边三角形的性质，可得答案；

对于D，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形重心的定义，可得答案.

【详解】对于A，因为，，且，平面，所以平面，

所以，为直线与平面的夹角，由，且，则，故A错误；

对于B，由题意，取的中点，记为，连接，如下图所示：

设，在中，，

同理可得：，则，

在中，由为的中点，则，同理可得：，

所以为二面角的平面角，

在中，，易知，

因为平面，且平面，所以，

在中，，故B正确；

对于C，由题意，取的中点，记为，连接，如下图：

由选项B可知：，，

因为分别为的中点，所以，，

所以为直线与直线夹角或其补角，

在中，，同理可得：，

在中，，则，故C错误；

对于D，连接，如下图：

因为平面，且平面，所以，同理可得，

因为，且平面，所以平面，

因为平面，所以，同理可得：，，

所以为的垂心，又因为正三角形重心与垂心重合，所以M为重心，故D正确.

故选：BD.

12．已知的外心是，其外接圆半径为1，设，则下列正确的是（    ）．

A．若，，则为直角三角形

B．若，则为正三角形

C．若，，则

D．若，，则为顶角为的等腰三角形

【答案】ABD

【分析】对于A和B，通过已知关系判断点的位置从而判断；

对于C和D，运用数量积的运算律，通过平方等方法进行转化求解即可.

【详解】对于A，若，，则，则是中点，

又因为是的外心，则为直角三角形，故A正确.

对于B，若，则，即是的重心，

又因为是的外心，所以为正三角形，故B正确.

对于C，若，，则，

平方得，，

因为，所以代入得，

则

，故C错误.

对于D，若，，则，即，

如下图所示，取中点，则，

所以在的中线上，又因为是的外心，所以，

即，则是等腰三角形，

由，平方得，

因为，所以，

即，所以，由圆的性质可知，

则为顶角为的等腰三角形，故D正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的综合应用.处理平面向量问题的常见方法有：

（1）结合图形关系与向量运算法则，通过数形结合方法进行线性运算；

（2）通过转化法求解平面向量的模或数量积；

（3）通过建立合适的平面直角坐标系进行向量的坐标运算.

三、填空题

13．同时抛掷5枚均匀的硬币，恰有1枚反面朝上的概率为        ．

【答案】/0.15625

【分析】求出抛掷5枚均匀硬币的试验的基本事件总数，再求出恰有1枚反面朝上的事件所含基本事件数，利用古典概率计算作答.

【详解】抛掷5枚均匀的硬币的试验，有个基本事件，它们等可能，

恰有1枚反面朝上的事件含有的基本事件数为5，

所以恰有1枚反面朝上的概率.

故答案为：

14．正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为          .

【答案】

【分析】先求出||2＝2＝()2，再利用向量的数量积公式化简求解.

【详解】||2＝2＝()2＝

2＋2＋＋2()＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，

所以||＝.所以EF的长为.

故答案为

【点睛】本题主要考查向量的运算和数量积，考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

15．在样本量按比例分配的分层随机抽样，部分数据如下表．

根据这些数据可计算出总样本的方差      ．

【答案】7

【分析】根据比例算出总样本的平均数，再根据分层抽样的方差公式计算即可.

【详解】由题意得，总样本的平均数为，

所以总样本的方差.

故答案为：7

16．已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为      .

【答案】

【分析】求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.

【详解】   

因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直

三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；

，当时，取得最大值.

过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，

因为，，所以由余弦定理知，

所以，易得.

所以.

因为，

设内切球的半径为，则根据等体积法，有：

，

即，解之得，

所以其内切球的表面积为

故答案为：

四、解答题

17．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下．

(1)求a的值；

(2)估计这次数学考试的平均成绩．

【答案】(1)0.024

(2)67.6

【分析】（1）根据频率分布直方图相关数据求得各组频率，进而列式计算即可；

（2）根据平均数相关知识直接求解即可.

【详解】（1）由题意得，各组频率依次为，

所以，解得

（2）由（1）可知，各组频率依次为，

所以平均成绩为

18．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为A，B，C，有2个黑球，编号分别为D，E，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次．

(1)试写出该试验的样本空间；

(2)设事件M：“第一次摸到红球”，事件N：“第二次摸到黑球”，求事件M和事件N发生的概率．

【答案】(1)答案见解析

(2)事件M和事件N发生的概率分别为

【分析】（1）根据已知条件，结合列举法，即可求解；

（2）结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．

【详解】（1）试验从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次的样本空间为：

（2）由（1）可知样本空间中基本事件总数为

符合事件M：“第一次摸到红球”的样本空间为：共个基本事件

符合事件N：“第二次摸到黑球”的样本空间为：

共个基本事件

故

则事件M和事件N发生的概率分别为.

19．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若，求BC边上的高AD的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；

（2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解.

【详解】（1）根据正弦定理可得，

又，∴．

∵,∴．

（2），∴，

当且仅当时取等号.

∵，∴，

∴，

∴，∴AD的最大值为.

20．如图，四棱锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ） 过作垂线，垂足为，由得，．又，可得平面，即可证明．（Ⅱ）易得到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．求得：，从而，即可求解.

【详解】(Ⅰ) 过作垂线，垂足为，由得，．

又，∴平面，

∴平面平面；

（Ⅱ）∵，∴到平面距离等于到平面距离．

过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，

可证得：平面．

求得：，从而，

即直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求解、是中档题．

21．已知圆台的轴截面为，圆台的上底面圆半径与高都等于1，下底面圆半径等于2，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点的弧的四等分点，经过三点的平面与弧交于点，且三点在平面的同侧．

(1)判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论；

(2)为下底圆周上左半部分(靠近点)的一个动点，且与点在的不同侧，当四棱锥的体积等于时，求二面角的余弦值．

【答案】(1)平面，证明见解析

(2)

【分析】（1）先证，由线线平行得到线面平行；

（2）根据题意求出为上靠近的四等分点，根据已知条件建系，结合二面角的向量计算公式求解答案即可.

【详解】（1）平面，证明如下：

因为圆台的两个底面互相平行

所以平面与圆台两个底面的交线平行，即，

又因为点为上底圆周上靠近点的的四等分点，

所以点为下底圆周上靠近点的的四等分点，

所以，

所以点为下底圆弧的中点，

所以，所以．

又因为平面，平面，

所以平面

（2）梯形的面积为，

设到平面的距离为，

则四棱锥的体积等于，所以，

如图所示，在平面内，过点作，则，

同理可知，为上靠近的四等分点，

连接，在平面内，过点作，

因为平面，平面，所以，

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，，，

设平面的法向量为，

则，令，则，

同理平面的一个法向量为，

设二面角大小为，由图可知，二面角为钝角，

所以，

所以二面角的余弦值为

22．已知向量令.

(1)求函数的对称轴方程；

(2)设，当时，求函数的最小值；

(3)在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据平面向量的数量积公式及两角和的余弦公式可得，再由 可得结果；

（2）令，因为，所以 则，根据二次函数的性质讨论三种情况，即可得结果；

（3）当时，由，结合基本不等式即可得结果.

【详解】（1）因为向量

所以，

由，得，

所以函数对称轴方程为

（2）由（1）得，

因为

所以

令，因为，

所以 ，

则，

对称轴为，

当，即，可得在上单调递增，

所以，

当，即时，，

当，即时，在上单调递减，

所以

所以

（3）当时，由（2）可得

所以

而，当且仅当时取等号，

，当且仅当时，取等号，

所以

所以 ，

即实数的取值范围为

【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查向量的数量积运算，考查二次函数的最值的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用三角函数公式将函数进行化简，再换元转化为二次函数求解，考查数学转化思想和分类思想，属于难题.