2022-2023学年广西南宁市隆安县隆安中学高一下学期数学期末复习预测试题含答案

2022-2023学年广西南宁市隆安县隆安中学高一下学期数学期末复习预测试题

一、单选题

1．已知向量满足则（    ）

A．3 B．49 C．6 D．7

【答案】D

【分析】根据公式直接计算可得.

【详解】.

故选：D

2．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解指数不等式化简集合，由交集运算求解即可.

【详解】由，得，故,

因为，所以.

故选:B.

3．已知复数，若，则的虚部是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算及复数相等求出可得复数，再求其共轭复数的虚部.

【详解】因为，

所以可化为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以的虚部是，

故选：A.

4．已知圆锥的体积是，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径是（   ）

A． B． C．3

【答案】B

【分析】设底面半径为，高为，母线为，根据圆锥的体积公式可得，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合即可求解.

【详解】  

设底面半径为，高为，母线为，如图所示：

则圆锥的体积，所以，即，

又，则，

又，所以，故.

故选：B

5．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.

【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有，共6个，

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.

故选：A

6．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后再根据平移得到，最后求出的值.

【详解】由图象可知，，得，所以，

所以，，

又因为在函数的图象上，

所以，

所以，，即，，

又，所以，即.

又在函数的图象上，

所以，即，

即.

所以，

所以.

故选：D.

7．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别判定，，的范围，即可得出结果.

【详解】因为，，，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查比较对数与指数的大小，属于基础题型.

8．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】以正方体为例，举例即可说明A、B、C错误；根据线面垂直的性质定理以及平行线的传递性，即可得出D项.

【详解】  

对于A项，如图正方体中，

平面平面，平面，

但是，平面，故A错误；

对于B项，如图正方体中，

平面，平面，，，

但是，平面，故B错误；

对于C项，如图正方体中，

平面平面，平面平面，

但是，平面平面，故C错误；

对于D项，因为，，

根据线面垂直的性质定理可知，.

又，所以，故D项正确.

故选：D.

二、多选题

9．一组数据，，…，的平均数为6，方差为1，则关于新数据，，…，，下列说法正确的是（    ）

A．这组新数据的平均数为6 B．这组新数据的平均数为9

C．这组新数据的方差为1 D．这组新数据的方差为4

【答案】BD

【分析】用平均数和方差求解公式进行求解.

【详解】由题意得：， ，则，所以这组新数据的平均数为9，方差为4.

故选：BD

10．已知是定义在R上的函数，函数图像关于y轴对称，函数的图像关于原点对称，则下列说法正确的是（    ）

A． B．对，恒成立

C．函数关于点中心对称 D．

【答案】BCD

【分析】根据条件判断函数的对称性和周期性，利用相关性质判断选项即可．

【详解】∵函数的图像关于y轴对称，∴函数的图像关于直线对称，

，则，

∵函数的图像关于原点对称，∴函数的图像关于点中心对称，，

，则，C选项正确；

，，故，B选项正确；

，D选项正确；

没有条件能确定，A选项错误.

故选：BCD.

11．已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用二次函数性质判断B；利用基本不等式及二次函数的性质判断D.

【详解】因，，且，则有，当且仅当时取“=”，故A正确；

因，，且，则，，

当且仅当时取“=”，故B错误；

因，，且，所以，

当且仅当，即，时取等号，故C正确；

因，，且，则，，

则，

因为取等的条件为，即，

又取等的条件为，

因为取等条件不一致，故，故D正确.

故选：ACD

12．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．存在点，使得与异面

B．不存在点，使得

C．直线与平面所成角的正切值的最小值为

D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为

【答案】CD

【分析】对于A，四点共面，，平面即可判断；对于B，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于C，利用直线与平面所成角的求法即可判断；对于D，先做出截面，再求其面积即可.

【详解】对于A，连接，由正方体的性质知，，

所以四点共面，，平面，故A不正确；

对于B，设中点为，连接，

若为中点，则平面ABCD，MN在面ABCD内，所以，

在中，，，

所以，故，，平面，

所以平面，平面，所以，故B不正确；

对于C，过点作平面，连接，

所以直线与平面所成角为，

所以，

当在时，，所以，故C正确；

对于D，由正方体中心对称（类比为球体，MN看作弦），故过的截面经过对称中心O所得截面最大，

此时截面交棱于中点，也为中点，

所以为的中点时，过、、三点的平面截正方体所得截面最大，

取的中点，的中点，的中点，连接、、、、，

所以过、、三点的平面截正方体所得截面最大值为正六边形，

面积为，故D正确．

故选：CD.

三、填空题

13．已知平面向量，则_____

【答案】

【分析】由垂直向量的坐标表示求出，再由向量的线性运算即可得出答案.

【详解】由平面向量，

则，解得：，

所以，所以.

故答案为：

14．已知，则      ．

【答案】1

【分析】由诱导公式化简所求式，再分子分母同时除以，代入即可求出答案.

【详解】.

故答案为：1.

15．某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得阳台A，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设，和点在同一平面内，则该同学可测得学校天文台的高度为      .

【答案】30

【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得天文台的高度.

【详解】在中，有，

在中，，，，

由正弦定理得，，

故，

在中，，

又，

则.

故答案为：30.

16．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为      （填“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝角三角形”、“无法确定”中的一个）

【答案】直角三角形

【分析】利用正弦定理可得，结合三角函数的性质及三角形内角和定理可得结果.

【详解】由得，

由正弦定理得，所以，

因为，所以或，

结合，解得或（舍去），

因此为直角三角形．

故答案为：直角三角形．

四、解答题

17．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.

【答案】（1）0.398；（2）0.994.

【分析】结合独立事件的乘法公式即可.

【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.

则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.

（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为

P1＝P()＋P()＋P()＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()

＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.

（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为

P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.

18．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计样本中消费金额的中位数(中位数精确到0.01)；

(2)求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数 (同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表).

【答案】(1)，0.46万元

(2)0.466

【分析】（1）由频率和为1，列方程可求出的值，先判断出中位数在第三组，然后列方程求解即可，

（2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解.

【详解】（1）由题可知，

即，所以.

因为前两组的频率和为，前三组的频率和为，

所以中位数在第三组，设中位数为，则，解得，

所以样本中消费金额的中位数约为0.46万元；

（2）由频率分布直方图可得

因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元.

19．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；

(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．

(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)45°

【分析】（1）利用三角形的中位线可得线线平行，进而由线面平行的判断即可求证，

（2）由线面平行即可求证，

（3）利用线面垂直得线线垂直，进而可由几何法求解线面角，即可由三角形的边角关系求角大小.

【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，

因为N是PC的中点，所以且，

又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，

所以且 ，

所以四边形为平行四边形，所以，

又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．

（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点

所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，

又平面PAD，，MQ，平面MNQ，

所以平面平面PAD．

（3）因为PA⊥平面ABCD，平面PAD，

所以平面PAD⊥平面ABCD，

又ABCD为正方形，所以AB⊥AD，平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，

所以AB⊥平面PAD，

所以∠BPA即为直线PB与面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA为等腰直角三角形，所以∠BPA＝45°，即直线PB与面PAD所成的角为45°．

20．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．

(1)求；

(2)已知，______，且为的中点，求线段的长．

在①周长为6；②面积为这两个条件中任选一个填在上面横线上，作为条件，并解决该问题．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；

（2）若选①，可得，由余弦定理求出、，再根据及数量积的运算律计算可得；若选②，由面积公式求出，由余弦定理求出，再根据及数量积的运算律计算可得；

【详解】（1）因为，由正弦定理得，

又，所以，

代入上式得，因为，所以，

又，所以．

（2）选择①：因为周长为6，又，所以．

由余弦定理，且，，

由余弦定理得，

则，．

因为，所以

，即，

所以．

选择②

因为面积为，则，解得．

由余弦定理，且，，解得，

因为，所以

，即，

所以．

21．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）作出辅助线，得到面面平行，从而得到线面平行；

（2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合勾股定理逆定理得到线面垂直.

【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．

，分别是和的中点，

，．

又四边形为正方形，

，从而．

平面，平面，

平面，

同理平面，又，

平面平面，

∵平面，

则平面；

（2）为正方形，

．

又平面平面，且平面平面，面，

平面，平面，则，

，，

，则，得．

又，平面，

平面；

22．已知中，角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，点、在边上，，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）    用余弦定理将用边表示后，再用余弦定理即可求得角；

（2），用面积公式将的面积表示为角的函数进行求解.

【详解】（1）因为，由余弦定理，得，

化简整理得：，

由余弦定理，得，

因为，所以，即角的大小为.

（2）如图：

设，

在中，由正弦定理，得，

由（1）和可知，，，

所以，在中，同理可得，

因为，所以

，

因为，所以，

所以当，即时面积取得最小值为.