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    2022-2023学年福建省泉州市三校(铭选中学、泉州九中、侨光中学)高一下学期期中联考数学试题含答案

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    这是一份2022-2023学年福建省泉州市三校(铭选中学、泉州九中、侨光中学)高一下学期期中联考数学试题含答案,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年福建省泉州市三校(铭选中学、泉州九中、侨光中学)高一下学期期中联考数学试题

     

    一、单选题

    1.已知复数z满足,则z在复平面内对应的点位于(    

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【答案】D

    【分析】化简复数z,由复数的几何意义即可得出答案.

    【详解】因为,以z在复平面内对应的点为(7-1),位于第四象限.

    故选:D.

    2.已知两个向量,若,则x的值为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】根据向量平行的坐标表示分析运算.

    【详解】,则,解得.

    故选:A.

    3.在下列区间中,函数在其中单调递减的区间是(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】由正弦函数的单调减区间判断.

    【详解】

    的减区间是

    只有选项B的区间

    故选:B

    4.在ABC中,内角ABC所对的边分别是abc.已知A=45°a=6b=3,则B的大小为(    

    A30° B60°

    C30°150° D60°120°

    【答案】A

    【分析】先由正弦定理求出sinB=,可得B=30°B=150°,再由a>b,得A>B,从而可求出B=30°.

    【详解】由正弦定理得

    解得sinB=

    B为三角形内角,所以B=30°B=150°

    又因为a>b,所以A>B,即B=30°.

    故选:A.

    5.已知是同一平面内互相垂直的两单位向量,且,则夹角的余弦值为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】根据向量的夹角公式求解即可

    【详解】由题意,,故夹角的余弦值

    故选:D

    6.已知,且,则    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】根据关系求得,再由角的范围有并确定函数值,进而求目标式的值.

    【详解】因为

    所以

    所以,则.

    因为,则,故

    所以.

    故选:A

    7.在中,,点D为边BC上靠近B的三等分点,则的值为(    

    A B C D4

    【答案】B

    【分析】利用表示向量,利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

    【详解】如下图所示:

    由平面向量数量积的定义可得

    因此,

    .

    故选:B.

    8.函数,已知图象的一个对称中心,直线图象的一条对称轴,且上单调递减.记满足条件的所有的值的和为,则的值为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到,由上单调递减可以得到,算出的大致范围,验证即可.

    【详解】由题意知:

    上单调递减,

        

    时,取

    此时,当时,

    满足上单调递减,符合

    时,,此时,当时,满足上单调递减,符合

    时,,舍去,当时,也舍去

    时,取

    此时,当时,

    ,此时上单调递增,舍去

    时,,舍去,当时,也舍去

    综上:2.

    故选:A.

    【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,难度较大,易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.

     

    二、多选题

    9.若,则(    

    A B

    C的夹角为 D方向上的投影向量为

    【答案】AD

    【分析】根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示判断ABC,再根据投影向量的定义计算判断D

    【详解】解:因为,所以

    所以,则,故A正确,B错误;

    的夹角为,则,因为,所以,故C错误;

    方向上的投影向量为,故D正确;

    故选:AD

    10.把函数的图象向左平移个单位长度,再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象,下列关于函数的说法正确的是(    

    A.最小正周期为 B.图象的一条对称轴为直线

    C.图象的一个对称中心为 D.在区间上的最小值为

    【答案】AB

    【分析】根据三角函数图象平移规律、伸缩变化可得,再逐项判断可得答案.

    【详解】把函数的图象向左平移个单位长度,得

    再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得

    则函数的最小正周期,故A正确;

    因为,所以图象的一条对称轴为直线,故B正确

    因为,所以不是函数图象的一个对称中心,故C错误;

    时,

    所以,故D错误;

    故选:AB.

    11.如图,的内角ABC的对边分别为abc,若,且D外一点,,则下列说法正确的是(    

    A是等边三角形

    B.若,则ABCD四点共圆

    C.四边形ABCD面积最小值为

    D.四边形ABCD面积最大值为

    【答案】AD

    【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求,再利用,可知是等边三角形,从而判断A;利用四点共圆,四边形对角互补,从而判断B;由余弦定理可得,利用三角形面积公式,三角函数恒等变换可求四边形ABCD的面积,由正弦函数的性质求出最值,判断CD.

    【详解】解:已知

    由正弦定理得,

    ,因为

    所以,又,且,所以

    所以是等边三角形,A选项正确;

    中,由余弦定理得,,则

    ,所以ABCD四点不共圆,B选项错误;

    ,由余弦定理得:

    所以四边形ABCD面积,

    因为,所以

    所以当,即时,S取得最大值,无最小值,

    C选项不正确,D选项正确;

    故选:AD.

    12.设,函数,则下列命题正确的是(    

    A.若,则

    B.若的值域为,则

    C.若函数在区间内有唯一零点,则

    D.若对任意的,且都有恒成立,则

    【答案】BCD

    【分析】根据正弦函数的周期性判断A,对分别计算函数的取值情况,即可得到不等式组,从而判断BC,依题意对任意的,且都有恒成立,即上单调递增,从而各段均单调递增,且断点处函数值需满足右侧的不小于左侧的,即可得到不等式组,解得即可判断D

    【详解】解:因为

    对于A,所以

    解得,故A错误;

    对于B:若的值域为,当

    所以,解得,故B正确;

    对于C:若函数在区间内有唯一零点,

    ,即时,当,此时

    所以函数在上单调递增,且

    即函数在上单调递减,此时函数必有且仅有一个零点,符合题意;

    ,即,则当

    即函数在上单调递增,即上不存在零点,

    要使函数只有一个零点,上有且仅有一个零点,故,解得,综上可得,故C正确;

    对于D:对任意的,且都有恒成立,

    即对任意的,且都有恒成立,

    上单调递增,所以,解得,故D正确;

    故选:BCD

     

    三、填空题

    13.若复数是纯虚数,则实数m=    .

    【答案】2

    【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0计算即可

    【详解】由题意,,解得

    故答案为:2.

    14.已知的夹角为,则       .

    【答案】

    【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

    【详解】因为的夹角为

    所以.

    故答案为:

    15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径AB两点间的距离,现在珊瑚群岛_上取两点CD,测得,则AB两点的距离为      m

      

    【答案】

    【分析】根据已知的边和角,在中,由正弦定理解得,在中,由余弦定理得.

    【详解】因为,所以,所以

    又因为,所以

      

    中,由正弦定理得,即,解得

    中,由余弦定理得

    所以,解得

    故答案为:.

    16.记锐角的内角的对边分别为,且,若的两条高,则的取值范围是      .

    【答案】

    【分析】根据正弦定理进行边角互化,可得角,再根据高线的性质可得,再利用边角互化,结合三角函数值域可得范围.

    【详解】,得

    再由正弦定理得,故

    所以

    为锐角三角形,

    ,即

    故答案为:.

     

    四、解答题

    17.已知平面向量.

    (1),求

    (2)的夹角为锐角,求的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据垂直关系可构造方程求得,由向量模长的坐标运算可求得结果;

    2)根据向量共线的坐标表示可求得的值,根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.

    【详解】1,解得:

    时,

    时,

    综上所述:10

    2)若共线,则,解得:

    时,,此时同向;

    时,,此时反向;

    的夹角为锐角,则,解得:

    的取值范围为.

    18.已知函数

    (1)时,求函数的最大值;

    (2),求的值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用二倍角公式和辅助角公式化简,然后求最值即可;

    2)根据得到,然后利用诱导公式和二倍角公式求即可.

    【详解】1)依题意,

    时,

    则当,即时,

    所以当时,.

    2)因为,则由(1)知,,即

    所以

    .

    19.在平面四边形ABCD中,.

    (1)ABC的面积为,求AC

    (2),求.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)应用三角形面积公式有,可求,由余弦定理即可求

    2)设,在,在中应用正弦定理有,即可求,得解.

    【详解】1)在中,

    ,可得

    中,由余弦定理得

    .

    2)设,则

    中,,易知:

    中,由正弦定理得,即

    ,可得,即.

    .

    20.如图,在中,点在线段上,且满足,过点的直线分别交直线于不同的两点,若.

    (1),求的值;

    (2)求证:,并求的最小值.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析;

     

    【分析】1)确定,得到答案.

    2)确定,得到,确定,展开利用均值不等式计算得到答案.

    【详解】1

    2三点共线,故

    当且仅当,即时等号成立,故的最小值为.

    21.锐角的三个内角是,满足

    (1)求角的大小及角的取值范围;

    (2)的外接圆圆心为,且,求的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用正弦定理、余弦定理化简已知条件,求得.根据锐角三角形的知识列不等式,由此求得的取值范围.

    2)根据正弦定理求得外接圆的半径,设,将表示为的形式,结合三角函数值域的知识求得的取值范围.

    【详解】1)设的三个内角的对边分别为

    因为

    由正弦定理可得

    所以

    ,所以为锐角,所以

    因为为锐角三角形,则

    解得,所以,角的取值范围是.

    2)设的外接圆半径为,所以

    ,则,则

    所以

    因为,所以

    所以

    所以

    所以

    所以的取值范围为.

      

    22.为响应国家乡村振兴号召,农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区:BNC区域为荔枝林和放养走地鸡,CMA区域规划为民宿供游客住宿及餐饮,MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见,在鱼塘MNC周围筑起护栏.已知.

    (1)时,求护栏的长度(MNC的周长);

    (2)为何值时,鱼塘MNC的面积最小,最小面积是多少?

    【答案】(1)

    (2),最小值为.

     

    【分析】1)由已知可得则有,在ACM中应用余弦定理求得,再分别求出,即可求护栏的长度.

    2)设,应用正弦定理及三角形面积公式可得,再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母,最后由正弦型函数的性质求最值.

    【详解】1)由,则

    所以,则

    ACM中,由余弦定理得,则

    所以,即,又

    所以,则

    综上,护栏的长度(MNC的周长)为.

    2)设

    BCN中,由,得

    ACM中,由,得

    所以

    所以,仅当,即时,有最大值为

    此时CMN的面积取最小值为.

     

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