2022-2023学年福建省泉州市三校（铭选中学、泉州九中、侨光中学）高一下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年福建省泉州市三校（铭选中学、泉州九中、侨光中学）高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】化简复数z，由复数的几何意义即可得出答案.

【详解】因为，以z在复平面内对应的点为（7，-1），位于第四象限．

故选：D.

2．已知两个向量，，若，则x的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量平行的坐标表示分析运算.

【详解】若，则，解得.

故选：A.

3．在下列区间中，函数在其中单调递减的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正弦函数的单调减区间判断.

【详解】由得，，

的减区间是，，

只有选项B的区间，

故选：B．

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（    ）

A．30° B．60°

C．30°或150° D．60°或120°

【答案】A

【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.

【详解】由正弦定理得，

即，

解得sinB=，

又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，

又因为a>b，所以A>B，即B=30°.

故选：A.

5．已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的夹角公式求解即可

【详解】由题意，，，故与夹角的余弦值

故选：D

6．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据关系求得，再由角的范围有并确定函数值，进而求目标式的值.

【详解】因为，

所以，

所以，则.

因为，则，故，

所以.

故选：A

7．在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】如下图所示：

，

由平面向量数量积的定义可得，

因此，

.

故选：B.

8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.

【详解】由题意知：或

∴或

∴或

∵在上单调递减，∴

∴

①当时，取知

此时，当时，

满足在上单调递减，∴符合

取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合

当时，，舍去，当时，也舍去

②当时，取知

此时，当时，

，此时在上单调递增，舍去

当时，，舍去，当时，也舍去

综上：或2，.

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.

二、多选题

9．若，，则（    ）

A． B．

C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为

【答案】AD

【分析】根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示判断A、B、C，再根据投影向量的定义计算判断D；

【详解】解：因为，，所以，，，

所以，，则，，故A正确，B错误；

设与的夹角为，则，因为，所以，故C错误；

在方向上的投影向量为，故D正确；

故选：AD

10．把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线

C．图象的一个对称中心为 D．在区间上的最小值为

【答案】AB

【分析】根据三角函数图象平移规律、伸缩变化可得，再逐项判断可得答案.

【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得，

再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得，

则函数的最小正周期，故A正确；

因为，所以图象的一条对称轴为直线，故B正确

因为，所以不是函数图象的一个对称中心，故C错误；

当时，，，

所以，故D错误；

故选：AB.

11．如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．是等边三角形

B．若，则A，B，C，D四点共圆

C．四边形ABCD面积最小值为

D．四边形ABCD面积最大值为

【答案】AD

【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知是等边三角形，从而判断A；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形ABCD的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断CD.

【详解】解：已知，

由正弦定理得，，

即，因为，

所以，又，且，所以．

所以是等边三角形，A选项正确；

在中，由余弦定理得，，则，

即，所以A，B，C，D四点不共圆，B选项错误；

设，，由余弦定理得：

，

所以四边形ABCD面积，

即，

因为，所以，

所以当，即时，S取得最大值，无最小值，

C选项不正确，D选项正确；

故选：AD.

12．设，函数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若的值域为，则

C．若函数在区间内有唯一零点，则

D．若对任意的，且都有恒成立，则

【答案】BCD

【分析】根据正弦函数的周期性判断A，对和分别计算函数的取值情况，即可得到不等式组，从而判断B、C，依题意对任意的，且都有恒成立，即在上单调递增，从而各段均单调递增，且断点处函数值需满足右侧的不小于左侧的，即可得到不等式组，解得即可判断D；

【详解】解：因为，

对于A：，所以或，，

解得或，，故A错误；

对于B：若的值域为，当时，

当时且，

所以，解得，故B正确；

对于C：若函数在区间内有唯一零点，

①又，即时，当时，此时，

所以函数在上单调递增，且，

当时且，

即函数在上单调递减，此时函数必有且仅有一个零点，符合题意；

②，即，则当时且

即函数在上单调递增，即在上不存在零点，

要使函数只有一个零点，在上有且仅有一个零点，故，解得，综上可得，故C正确；

对于D：对任意的，且都有恒成立，

即对任意的，且都有恒成立，

即在上单调递增，所以，解得，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．若复数是纯虚数，则实数m=    .

【答案】2

【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0计算即可

【详解】由题意，，解得

故答案为：2.

14．已知，与的夹角为，则       .

【答案】

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】因为，与的夹角为，

所以.

故答案为：

15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为      m．

【答案】

【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.

【详解】因为，，所以，，所以，

又因为，所以，，

在中，由正弦定理得，即，解得，

在中，由余弦定理得，

所以，解得．

故答案为：.

16．记锐角的内角，，的对边分别为，，，且，若，是的两条高，则的取值范围是      .

【答案】

【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得角，再根据高线的性质可得，再利用边角互化，结合三角函数值域可得范围.

【详解】由，得，

再由正弦定理得，故，

所以，

故，

又为锐角三角形，

故，即，

，

故，

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量，，.

(1)若，求；

(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果；

（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.

【详解】（1），，解得：或，

当时，，；

当时，，；

综上所述：或10

（2）若共线，则，解得：或，

当时，，，此时同向；

当时，，，此时反向；

若与的夹角为锐角，则，解得：且，

的取值范围为.

18．已知函数．

(1)当时，求函数的最大值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后求最值即可；

（2）根据得到，然后利用诱导公式和二倍角公式求即可.

【详解】（1）依题意，，

当时，，

则当，即时，，

所以当时，.

（2）因为，则由（1）知，，即，

所以

.

19．在平面四边形ABCD中，，，.

(1)若△ABC的面积为，求AC；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用三角形面积公式有，可求，由余弦定理即可求；

（2）设，在中，在△中应用正弦定理有，即可求，得解.

【详解】（1）在△中，，，

∴，可得，

在△中，由余弦定理得，

.

（2）设，则，

在中，，易知：，

在△中，由正弦定理得，即，

，可得，即.

.

20．如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.

(1)，求的值；

(2)求证：，并求的最小值.

【答案】(1)

(2)证明见解析；

【分析】（1）确定，得到答案.

（2）确定，得到，确定，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（1），

故，

（2），三点共线，故，

即，

，

当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.

21．锐角的三个内角是、、，满足．

(1)求角的大小及角的取值范围；

(2)若的外接圆圆心为，且，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得.根据锐角三角形的知识列不等式，由此求得的取值范围.

（2）根据正弦定理求得外接圆的半径，设，将表示为的形式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围.

【详解】（1）设的三个内角、、的对边分别为、、，

因为，

由正弦定理可得，

所以，

故，所以为锐角，所以，

因为为锐角三角形，则，

解得，所以，角的取值范围是.

（2）设的外接圆半径为，所以，

，

设，则，则，

所以

，

因为，所以，

所以

所以，

所以，

所以的取值范围为.

22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，.

(1)若时，求护栏的长度（△MNC的周长）；

(2)当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？

【答案】(1)；

(2)，最小值为.

【分析】（1）由已知可得则有，在△ACM中应用余弦定理求得，再分别求出，即可求护栏的长度.

（2）设，应用正弦定理及三角形面积公式可得，再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值.

【详解】（1）由，，，则，

所以，，则，

在△ACM中，由余弦定理得，则，

所以，即，又，

所以，则，

综上，护栏的长度（△MNC的周长）为.

（2）设，

在△BCN中，由，得，

在△ACM中，由，得，

所以，

而，

所以，仅当，即时，有最大值为，

此时△CMN的面积取最小值为.