(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第10章 第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (2份打包，原卷版+教师版)

第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、知识梳理

1.两个计数原理

2.两个计数原理的区别

分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.

常用结论

三个易错点

(1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步.

(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准.

(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连.

二、教材衍化

1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　)

A.16        B.13      C.12        D.10

2.如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线.

3.已知集合M＝{1，﹣2，3}，N＝{﹣4，5，6，﹣7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　)

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)

(4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　)

二、易错纠偏

分类、分步标准不清致误

1.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　)

A.30        B.20       C.10        D.6

2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为________.

3.书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为________，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为________.

考点一　分类加法计数原理(基础型)

通过实例，了解分类加法计数原理及其意义.

核心素养：数学建模

(1)椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为(　　)

A.10　        B.12         C.20        D.35

(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.

【迁移探究1】　

(变条件)在本例(1)中，若m∈{1，2，…，k}，n∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？

【迁移探究2】　

(变条件)若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则这样的两位数的个数是多少？

解：分两类：一类：个位数字大于十位数字的两位数，由本例(2)知共有36个；另一类：个位数字与十位数字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个.由分类加法计数原理知，共有36＋9＝45(个).

分类加法计数原理的两个条件

(1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类.

(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.　

1.如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).

2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________.

考点二　分步乘法计数原理(基础型)

通过实例，了解分步乘法计数原理及其意义.

核心素养：数学建模

(1)将4封不同的信投入3个信箱，不同的投法种数为(　　)

A.96        B.81        C.64        D.24

(2)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A.24        B.18         C.12        D.9

(3)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.

【迁移探究1】　

(变条件)若本例(3)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？

【迁移探究2】　

(变条件)若将本例(3)条件中的“每人至多参加一项”改为“每人参加的项目数不限”，其他不变，则有多少种不同的报名方法？

利用分步乘法计数原理解题的策略

(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总方法数.

[提醒]　分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.　

1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.

2.从﹣1, 0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).

考点三　两个计数原理的综合应用(应用型)

1.应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步.

2.分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键.

3.分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成.

角度一　涂色、种植问题

某地行政区域如图，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有________种不同的涂色方法.(用具体数字作答)

角度二　与几何有关的问题

(1)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)

A.60        B.48       C.36        D.24

(2)如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).

角度三　排数与排队问题

(1)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)

A.144个        B.120个      C.96个        D.72个

(2)生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　)

A.24种        B.36种        C.48种        D.72种

完成一件事的方法种数的计算步骤

第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的；

第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种；

第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；

第四步，根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.　

1.如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)

A.400种        B.460种      C.480种        D.496种

2.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与该平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)

A.48        B.18       C.24        D.36

[基础题组练]

1.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　)

A.30        B.42       C.36        D.35

2.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)

A.40        B.16        C.13        D.10

3.已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)

A.9        B.14        C.15        D.21

4.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)

A.3        B.4       C.6        D.8

5.将边长为3的正方形ABCD的每条边三等分，使之成为3×3表格.将其中6个格染成黑色，使得每行每列都有两个黑格的染色方法的种数为(　　)

A.12        B.6       C.36        D.18

6.在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)

A.24种        B.48种        C.72种        D.96种

7.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)

A.180种        B.360种      C.720种        D.960种

8.直线l：＋＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为(　　)

A.6        B.7         C.8        D.16

9.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有(　　)

A.6种        B.8种       C.12种        D.48种

10.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013 是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有(　　)

A.18个        B.15个       C.12个        D.9个

11.满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)

A.14        B.13       C.12        D.10

12.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有(　　)

A.6种        B.12种        C.18种        D.24种

13.从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有________个.

14.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学生委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答).

15.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.

16.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.

[综合题组练]

1.用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有(　　)

A.4 320种        B.2 880种      C.1 440种        D.720种

2.在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)

A.6种        B.12种       C.18种        D.20种

3.已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝25，则符合条件的三角形共有________个.

4.若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.

5.已知集合M＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则：

(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？

(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？

6.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.