数学6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式教案设计

授课

题目

6.1 两点间距离公式和线段的

中点坐标公式

选用教材

高等教育出版社《数学》

（基础模块下册）

授课

时长

1 课时

授课类型

新授课

教学提示

本课应用“数形结合”的方法，在平面直角坐标系中，借助勾股定理，得到

了两点间的距离公式及线段的中点坐标公式，并学习计算两点间的距离和线段的中点坐标. 

教学目标

通过学习两点间的距离公式和线段的中点坐标公式，能用两点间的距离公

式和线段的中点坐标公式的解决比较简单的问题，逐步提升直观想象和数学运算等核心素养.

教学

重点

两点间距离公式与线段中点的坐标公式的运用.

教学

难点

两点间的距离公式的理解；感悟数形结合的思想方法.

教学

环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

引入

围棋起源于中国,围棋使用方形格状棋盘及黑白二色

圆形棋子,棋盘上有纵横各 19 条线段将棋盘分成 361 个交叉点,棋子走在交叉点上,双方交替行棋,落子后不能移动, 以围地多者为胜.

如果把围棋的棋盘看作平面直角坐标系,黑白棋子所落的位置,是否可以用点的坐标表示呢？

棋盘上棋子之间间隔大小,中位所在,对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和线段的中点.

在平面直角坐标系中,平面上任意一点 M 与有序实数对(a,b)一一对应,这个有序实数对就是点的坐标.反之,对于任意一个有序实数对(a,b)，都有平面上唯一的一点 M 与它对应.

讲解

说明

展示

介绍

理解

思考

领会

了解

结合实际问题和图形， 引导学生观察分析图形特点逐步提升直观想象核心素养

情境导入

1. 两点间距离公式

数轴上的点与实数是一一对应的，若点 A 对应的实数是-1，点 B 对应的实数是 2，那么 A、B 两点间的距离是多少？在平面直角坐标系中，每个点对应着一对有序实数对，即每个点都有坐标，那么两个点间的距离与它们的坐标有着怎样的关系呢？

提出

问题

引发思考

思考

分析回答

结合

原有知识数形结合思考

探索新知

点 M(a,b)到 x 轴的距离为|b|，到 y 轴的距离为|a|.

如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(5,5),点 C 的坐标为(5,2),则点 A 与点 C 之间的距离|AC|=|5-1|=4,点 B 与点 BC 之间的距离|CB|=|5-2|=3.

在直角△ABC 中,根据勾股定理,有

|AB|2=|AC|2+|CB|2=42+32=25，

|AB|=    25 =5,

即 A、B 两点间的距离为 5.

(1) (2)

一般地,设点 A 的坐标为(x1,y2), 点 B 的坐标为(x2,y2), 则点 C 的坐标为(x2,y1),且有|AC|=|x2-x1|,|BC|=|y2-y1|.

在直角△ABC 中,根据勾股定理,有

|AB|2=|AC|2+|CB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2， 即 A、B 两点间的距离为

|AB|=    x    x 2   y    y 2  .

2 1 2 1

公式称为两点间距离公式.

讲解

说明

展示

讲解

理解

思考

领会

理解

结合图形引导学生观察分析

归纳总结距离公式强调要点

例题辨析

例 1 计算 P1(2,-5) 与 P2(5,-1)两点间的距离.

解 由两点间距离公式,得

PP =   (5  2)2  (1  5)2   =   32  42 =5 ,

1   2

即 P1 与 P2 两点间的距离 5.

提问

引导讲解强调

思考

分析解决交流

直接

运用公式计算

情境导入

2. 线段的中点坐标公式

若数轴上点 A 对应的实数是-1,点 B 对应的实数是 2， 线段 AB 的中点是点 C,那么如何求点 C 对应的实数？

若线段的两个端点分别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),如何求线段 AB 的中点 M(x0,y0)的坐标呢?

提出

问题

引发思考

展示图像

思考

分析交流

分析交流

结合

图形引导学生观察分析

探索新知

分别过点 A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向 x 轴作垂线,垂

足分别是点 A’(x1,0)、B’(x2,0), M’(x0,0),则|A’M’|=|M’B’|.由于

|A’M’|=|x0-x1|=x0-x1,  |M’B’|=|x2-x0|=x2-x0.

所以 x0-x1=x2-x0,即

讲解

说明

理解

思考

归纳

概念突出强调规范

x  = x1 +x2 .

0 2

同理,分别过点 A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向 y 轴作垂线,则有

y    y

y     0    2  .

0 2

因此,若已知点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)且线段 AB  的中点为

M(x0,y0),则有

x  = x1 +x2 ,y    y1  y2 .

0 2 0 2

公式称为线段 AB 的中点坐标公式.

展示

讲解

领会

理解

表述

和注意事项

例题辨析

例 2 已知点 A(2,3) , B(8,3)  ,求线段 AB  的中点坐标.

解 设线段 AB 的中点为 M(x0,y0),由中点坐标公式,得

x   2  8  5 , y   3  (3)  0 ,

0 2 0 2

即线段 AB 的中点 M 的坐标为(5,0) .

例 3 如图，已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,4)、B(-1,1)、C(5,3).

(1)求 BC 边上的中点 D 的坐标；

(2)计算 BC 边上的中线的长度.

分析 (1)已知点 B(-1,1)、C(5,3),由中点坐标公式,即可求出

BC 边上的中点 D 的坐标.

(2)连接点 A 和点 D,得到 BC 边上的中线 AD,由两点间距离公式,即可求出线段 AD 的长度.

解 (1)设线段 BC 的中点 D 的坐标为(x0,y0),由点 B(-1,1)、

C(5,3)和中点坐标公式,得

x   1  5  2 , y   1  3  2 ,

0 2 0 2

即 BC 边上的中点 D 的坐标为(2,2).

(2)由两点间距离公式,得

AD     (2  2)2  (2  4)2   2 ,

即 BC 边上的中线长度为 2.

探究与发现

已知线段两个端点的坐标,可以确定线段中点的坐标.

提问

引导讲解强调

提问

引导

讲解

强调

提问引导

思考

分析解决交流

思考

分析

解决

交流

思考交流

直接

运用公式巩固知识

综合运用知识建立知识间的联系培养学生分析问题和解决问题的能力

如果知道线段的一个端点和中点的坐标,能否确定另一个

端点？怎么求它的坐标？

引发

思考

分析

问题

拓展

学习

巩固练习

练习 6.1

1.如图,写出点 M、N、P、Q 的坐标.

2.求下列两点间的距离和以两点为端点的线段的中点坐标：

(1) A(1, 0), B(2,3) ；

(2) C(4,3), D(7, 1) ；

(3) P(0,3),Q(0, 2) .

3.如图所示,已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,2)、

B(2,0)、C(0,2).

(1)求 BC 边上的中点 D 的坐标；

(2)计算 BC 边上的中线 AD 的长度.

4.已知点 A(3a, 3b), B(3b, 3a) ,求 A、B 两点间的距离和线段 AB 的中点坐标.

提问

巡视

指导

思考

动手求解

交流

及时

掌握学生掌握情况查漏补缺

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养

学生总结学习过程能力

布置

1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；

说明

记录

继续

作业

2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

探究

延伸学习