高教版（2021）基础模块上册1.1 集合及其表示教学设计

授课题目

1.1  集合及其表示

选用教材

高等教育出版社《数学》

（基础模块上册）

授课时长

3 课时

授课类型

新授课

教学提示

本课以学生学过的教学内容为载体，通过学生熟悉的情境和问题引入集合的概念及有关概念；体会集合及相关概念的抽象过程，学习用数学语言表示集

合，并判断元素与集合之间的关系. 

教学目标

通过从具体问题中抽象出元素与集合等相关概念，能举例说明什么是集合， 什么是集合的元素，能判断给定对象是否组成集合，知道列举法、描述法的一般格式，能选择合适的方法表示给定集合，能判断已知集合是空集、有限集或是无限集，知道常用数集的表示符号,  逐步提升数学抽象等核心素养；能判断给定元

素与集合之间的关系，并能用“”或“”表示，逐步提升逻辑推理等核心素养.

教学重点

元素与集合之间的关系；集合的描述法.

教学难点

空集的理解；用描述法表示集合．

教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

引入

义务教育阶段，我们已经学习过一些集合，如正整数的集合、实数的集合、所有正方形的集合．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步学习集合的

有关知识.

介绍讲解

倾听领会

引出新知

情境导入

1.1.1  集合的概念

中国古代四大发明是：造纸术、印刷术、指南针和火药.四大发明可以组成一个集合.

图书馆里，为便于查找，会按照某种方式将同一类的书刊摆放在一起. 比如，可以所有数学书籍放在一起组成数学书籍专区，专区内所有数学书就可以组成一个集合.

数学中也常常会根据需要将一些需要研究的对

象放在一起．比如，平面上到原点 O 的距离等于 1 的所有点也可以组成一个集合.

引导学生联系原有知识思考

启发

回忆

思考

分析

以原有知识和生活经验创设情境，引发学生思考.

可见，人们常会将一些研究对象组成一个整体， 并且用集合这个词表示这个整体.

那么，具有什么特征的整体可以组成一个集合

呢？

引导

探索新知

一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素.

集合常用大写英文字母表示．如，集合 A，集合

B，集合 C，…．；集合的元素常用小写英文字母表示．如，a，b，c，…．

在上面例子中，造纸术、印刷术、指南针和火药都是四大发明组成的集合的元素；数学专区中的每本书都是这个集合的元素；已知的圆上所有的点都是这

个圆的元素.

讲解

说明

举例

理解

记忆

思考

归纳概念突出强调符号规范表述

例题辨析

例 1 判断下列对象能否组成集合？

(1)小于 6 的所有自然数；

(2)方程 x2+3x−4=0 的所有实数解；

(3)所有的平行四边形；

(4)某班级中所有高个子同学．

解 (1)因为小于 6 的自然数包括 0，1，2，3，4，5 这五个数，它们是确定的对象，所以它们可以组成集合；

(2)因为方程 x2+3x−4=0 的实数解是−4 和 1，它们是确定的对象，所以可以组成集合；

(3)因为平行四边形的特征是确定的，因此满足此特征的对象是确定的，所以可以组成集合；

(4)因为高个子没有具体标准，对象不是确定的，

所以不能组成集合．

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

回顾初中知识帮助理解集合概念逐步提升数学抽象素养

新知探索

如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A,记作 a∈

A,  读作“a 属于 A”.如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a

不属于 A，记作 aA,读作“a 不属于 A”.

温馨提示

组成集合的对象必须是确定的；同一个集合的元素必须是互补相同的．

讲解说明

理解记忆

加深认识元素与集合关系

例题辨析

例 2  方程 x2=4 的所有实数解组成的集合为 A，则

-2    A，5    A（用符号“∈”或“”填空）．

解 因为(-2)²=4,所以-2 是方程 x2=4 的解,故-2∈A．因为 5²≠4,所以 5 不是方程 x2=4 的解，故 5A．

提问引导讲解

思考解决交流

加深对符号的认识区分“∈”

和“”

新知探索

含有有限个元素的集合称为有限集.不含任何元素的集合称为空集，记作，空集也是有限集.

含有无限个元素的集合称为无限集. 由数组成的集合称为数集.

例如，例 1(1)和(2)，小于 6 的所有自然数组成的集合和方程 x2+3x−4=0 的所有实数解组成的集合都是有限集.

又例如，例 1(3)所有的平行四边形组成的集合， 不等式 x−3<0 的所有解组成的集合都是无限集.

数学中一些常用数集及其记法：

讲解

说明

举例

说明

理解

记忆

思考

记忆

认识集合类型

强调常用数集的内涵和表示方法

巩固练习

练习 1.1.1

1.下列各语句中的对象能否组成集合？如果能组成集合,写出它的元素.如果不能组成集合, 请说明理由．

(1)某校汉字录入速度快的学生；

(2)某校汉字录入速度为 90 字符/min 及以上的所有学生；

(3)方程(2x-3)(x+1)=0 的所有实数解；

提问

思考

通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺

(4)大于-5 且小于 5 的整数；

(5)大于 3 且小于 1 的所有实数;

(6)非常接近 0 的数.

2．用符号“”或“”填空．

(1) 1     N； 0.5      N；0       N*

(2) 2 Z；0 Z； 1 Z；

4

(3) 3 Q； 2 Q；π Q；

3

(4)  5 R；π R； 3 R．

3

3．判断下列集合是有限集还是无限集．

(1)你所在班级的所有同学组成的集合；

(2)方程 x+2=0 的所有正整数解组成的集合；

(3)小于 3 的所有整数组成的集合；

(4)数轴上表示大于 0 且小于 1 的所有点组成的集合．

巡视

指导

动手求解

交流

情境导入

1.1.2  集合的表示法

小于 6 的正整数组成一个集合，大于 3 的实数也组成一个集合.那么，除了用这种自然语言表示集合， 还可以如何表示集合呢？

质疑

思考

引出新知

新知探索

1.列举法

把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法．

小于 6 的正整数组成集合如何用列举法表示？ 四大发明组成的集合如何用列举法表示？

太阳系八大行星组成的集合如何用列举法表示？

由“study”和“student”中的字母组成的集合如何用列举法表示？

集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合么？

讲解

说明

举例

理解

记忆

思考

结合实例学习列举法的表达方式和要点

例题辨析

例 3  用列举法表示下列集合.

(1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合；

(2) 大于-3 且小于 10 的所有偶数组成的集合． 解 (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合用列举法表示为｛《水浒传》,《三国演义》,《西游记》,《红楼梦》｝

(2)大于-3 且小于10 的所有偶数为-2,0,2,4,6,8 它

们组成的集合用列举法表示为{-2,0,2,4,6,8}.

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

巩固列举法表示集合的基本方法

情境导入

2.描述法

比 3 大的实数组成的集合能用列举法表示出来么？

这个集合具有特征性质：元素都是实数并且元素都比 3 大，所以可以利用元素具有的特征或者性质来

表示这个集合：{x∈R|x>3}.

质疑

思考

引出新知

新知探索

利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法．

描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质．

约定：如果集合的元素是实数，那么“∈R”可略

去不写，例如，{x∈R|x>3}可以简写为{x|x>3}.

讲解

说明

理解

记忆

学习描述法表达方式和要点

例题辨析

例 4  用描述法表示下列集合：

(1)小于 1 的所有整数组成的集合；

(2)所有偶数组成的集合；

(3)在平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合.

分析 (1)中元素的取值范围是整数,元素的特征性质是小于 1；(2)中元素的特征性质可以写成 2k (k∈Z)

的形式；(3)中元素是平面直角坐标系中的点，用有序

提问

引导

讲解

思考

分析

解决

领会描述法的基本使用方式并强调表达方式的规范性.

实数对(x,y)表示，特征性质是横、纵坐标(即 x,y)均为正数.

解 (1)小于 1 的所有整数组成的集合为{x∈Z| x<1}．

(2)所有偶数组成的集合为{x| x=2k, x∈Z},也可以表示为{偶数}；这个集合也可以表示为{偶数}．

(3)第一象限内的所有点组成的集合为

{(x,y) | x>0，y>0}． 例 5 用写出不等式 2x+1>9 的解集.

解 由不等式 2x+1>9 , 得 2x>8 ,  故 x>4  ．

因此不等式 2x+1>9  的解集可以用描述法表示为

{x|x>4} .

例 6 分别用列举法和描述法表示方程 x²-9=0 的解集.

解 解方程 x²-9=0,得 x1=-3, x2=3.故方程的解组成的集合用列举法表示为{-3，3}，用描述法表示为

{x|x=-3 或 x=3}.

温馨提示

有些集合只能用列举法或描述法表示，有些集合两种方法都适用，要根据需要具体问题进行具体分析.

强调

交流

对比两种方式强调具体问题具体分析

巩固练习

练习 1.1.2

1. 用列举法表示下列集合：

(1)大于-5 且小于 9 的所有奇数组成的集合；

(2)方程 x²-2x-3=0 的解集.

2. 用描述法表示下列集合．

(1)大于-1 且小于 3  的所有实数组成的集合；

(2)平方等于 9 的所有实数组成的集合．

3.用适当的方法表示下列集合

2x  y  5

(1)方程组 x  y  1 的解集;



提问

巡视

思考

动手求解

及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺

(2)平面直角坐标系中，由第三象限的所有点组成的

集合．

指导

交流

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养学生总结学习过程能力

布置作业

1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

说明

记录

继续探究延伸学习