四川省宜宾市第四中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

宜宾市四中2023年春期高一期中考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第Ⅰ卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】运用复数除法的运算法则和复数加法的运算法则化简复数，最后判断出复数在复平面内对应的点的位置.

【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限内.

故选：D.

2. 的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.

【详解】.

故选：A.

3. 已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（　　）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D. 任意三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量运算求得，由此判断出正确答案.

【详解】，

由于，所以，

所以三角形是直角三角形.

故选：B

4. 设向量，夹角的余弦值为，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.

【详解】因为向量，夹角的余弦值为，且，，

所以.

所以．

故选：B.

5. 要得到函数图象，只需把函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角的正弦公式化简目标函数解析式，利用三角函数图象变换可得出结论.

【详解】因为，

为了得到函数图象，只需把函数的图象向右平移个单位，

故选：A.

6. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.

【详解】，

故选：B

7. 已知函数在单调递增，在单调递减，则的最小正周期为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由三角函数的单调性分析可得在处取得最大值，可求得的值，再算出最小正周期．

【详解】根据题意，函数在上单调递增，在上单调递减，

则在处取得最大值，则有，变形可得，

由题意最小正周期，，

当时，，最小正周期．

故选：D

8. 如图，在平面四边形中，，.若点为边上的动点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示结合二次函数知识，即可求得答案.

【详解】由于，

如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，

连接,由于，则≌,

而，故，则，

则，

设，则，，

故，

当时，有最小值，

故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. （多选）下列说法中，正确的是（    ）

A.

B. 若，则

C. 若

D. 若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，利用共轭复数的定义即可判断；对于B，令即可判断；对于C，若，则，即可判断；对于D，根据模长公式即可判断.

【详解】对于A项，若，则和互为共轭复数，所以，故A正确；

对于B项，若，则，而，故B错误；

对于C项，若，则，，，故C正确；

对于D项，若, 可得，故D错误.

故选：AC

10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 是奇函数 B. 是偶函数

C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据正弦函数与余弦函数的性质，结合诱导公式，由函数解析式，逐项判断，即可得出结果.

【详解】A选项，因，所以，

即不是奇函数，故A错；

B选项，，显然是偶函数，故B正确；

C选项，由可得是的一条对称轴，即的图象关于直线对称，故C正确；

D选项，由可得，

即函数的单调递增区间为，而不是的子区间，所以在上不是单调递增，故D错.

故选：BC.

11. 在中，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 面积为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正弦定理可判断A正确；利用及，结合两角和的正弦公式可判断故B正确；根据，利用二倍角的余弦公式可判断C不正确；根据，求出和，再根据三角形的面积公式可判断正确.

【详解】因为，所以，

由正弦定理得，故A正确；

因为，所以，

则，即，则，故B正确；

因为，所以，故C不正确；

因为，所以，

所以

，故D正确.

故选：ABD

12. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（    ）

A. 该阳马的体积为 B. 该阳马的表面积为

C. 该阳马外接球的半径为 D. 该阳马内切球的半径为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据相等两条棱，求出四棱锥的高，可得其体积和表面积；然后再分析发现其外接球球心为中点，内切球的大圆半径其实是的内切圆半径.

【详解】

如图，不妨底面，两两互相垂直，

平面平面，又

由对称性：，

所以A对；

B对；

都是以为斜边的直角三角形，所以都在以为直径的球上，C错；

分析易知：内切球的大圆半径其实是的内切圆半径，根据内切圆半径公式可得：

D对；

故选：ABD

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

第Ⅱ卷 非选择题（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域是________

【答案】，

【解析】

【分析】根据函数定义域得到，利用三角函数知识解得答案.

【详解】函数的定义域满足，即，故，.

故答案为：，.

【点睛】本题考查了三角复合函数定义域，意在考查学生的计算能力.

14. 已知向量的夹角为，若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

由向量，求得，利用向量的数量积和模的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，向量，可得，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积和模的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.

15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角形面积公式可得，然后使用余弦定理可得答案.

【详解】由题意知，则，由余弦定理得，

即，则.

故答案为:.

16. 如图，三棱柱中，底面，，三个侧面都是矩形，，为线段上的一动点，则当最小时，______

【答案】1

【解析】

【分析】将三棱柱的侧面和侧面剪开在同一平面内，连接，此时最小，再利用三角形相似求解.

【详解】将三棱柱的侧面和侧面剪开在同一平面内，如图所示：

连接与交于点M时， 最小，

因为，

所以，

所以，

即，

解得

故答案为：1

【点睛】本题主要考查立体图形的展开图形和两点间距离最短问题以及相似三角形的应用，还考查转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示.

【答案】

【解析】

【分析】设, ，利用向量的线性运算得到(1-m)+m，,解方程组即得解.

【详解】设, ，

因为，

所以+m +m(1-m)+m，

+n，

因为与不共线，所以

解得，所以+.

18. 已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）当时，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换，先将函数解析式化简整理，得到，由正弦函数的单调区间列出不等式求解，即可得出结果；

（2）设，由题意，求出，根据正弦函数的性质，即可求出值域.

【详解】（1）

，

由，解得

所以函数单调递增区间为，

（2）设，∵，

∴，

∴，

∴，

所以当时，函数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查求正弦型函数的单调区间，以及求正弦型函数在给定区间的值域，涉及两角和的余弦公式以及辅助角公式的应用，属于常考题型.

19. 已知向量，．

（1）求；

（2）设，的夹角为，求的值；

（3）若向量与互相平行，求k的值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】(1)根据向量的数乘与减法的坐标公式计算可得；(2)根据向量的夹角的坐标公式求解；(3)根据向量的平行的坐标表示列方程求k的值．

【小问1详解】

因为，，

所以，

所以，

【小问2详解】

由已知可得，，

．

【小问3详解】

，，

由题意可得，，整理可得，

解得．

20. 记的内角、、的对边分别为、、，已知（1）.

在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.

（1）求的大小；

（2）若的面积为，且，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①，由诱导公式以及二倍角的余弦公式可得出关于的二次方程，求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

选②，由正弦定理边角互化结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，进而可求得的周长.

【小问1详解】

解：选择①，因为，即，

即，即，

，则，得，即；

选择②，由及正弦定理可得，

即，所以，

因为，即.

【小问2详解】

解：由的面积，得.

由，得，

得，即，故的周长为.

21. 已知，函数．

（1）求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）若，求值；

（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】（1）由题意先表示出的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的最值

（2）由题意得，结合求解出答案

（3）表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到的取值范围.

【详解】（1） ，

因为，所以，所以，

所以．

（2）因为，所以，所以，

因为，所以，

所以，  

所以

．        

（3），令，    得，

 因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得

    所以有  即         

    因为，所以又因为，  所以，   所以

    从而有，所以，

所以

【点睛】方法点睛：本题主要考查了三角函数的综合运用，利用辅助角公式化简求出最值，并结合三角函数图像的单调性求的取值范围，解决此类问题常采用整体代换思想．

22. 已知函数.

（1）判断并证明的奇偶性；

（2）若关于x的方程在内有实根，求实数k的取值范围；

（3）已知函数，若对，，使得成立，求实数m的最小值.

【答案】（1）奇函数，证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数的定义，计算函数的单调性，证明，可得答案；

（2）利用对数运算的性质，化简方程，将问题转化为二次方程在定区间上有根问题，利用二次函数的性质，以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案；

（3）利用函数解析式，明确函数的单调性，求得最值，由题意，建立不等式，可得答案.

【小问1详解】

奇函数，理由如下：

由函数，令，整理可得，解得或，则函数的定义域为，

由，则函数为奇函数.

【小问2详解】

由方程在内有实数根，则在内恒成立，

由函数在上单调递增，则，解得，

将函数代入方程，整理可得，

，，，，

化简可得，则问题等价于方程在上有实数根，

令，，解得或，由，则，

令，其对称轴为，显然，

当，时，，则，解得或，故；

当，时，，则，解得，故；

综上可得，.

【小问3详解】

由函数，函数，在其定义域内单调递减，

则在上单调递减，即，

由函数，易知函数在上单调递减，函数在其定义域上单调递减，

则在上单调递增，即，