广东省惠州市惠东县2024届高三上学期第一次教学质量检测数学试题（含答案）

惠东县2024届高三第一次教学质量检测试题

数学（2023.08）

试卷共5页，卷面满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，集合，，则集合（）

A.   B.   C.   D.

2.下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（）

A.   B.

C.    D.

3.集合，若且，则的取值范围为（）

A.   B.   C.   D.

4.欧拉是世界上伟大的数学家，而欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来，公式内容为：，则（）

A.   B.   C.1   D.2

5.是函数在单调递减的（）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要

6.已知在上的奇函数，当时，，则（）

A.2  B.-2   C.1   D.-1

7.已知，，，则（）

A.   B.   C.   D.

8.已知函数，且满足时，实数的取值范围（）

A.或   B.或

C.    D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。

9.已知命题“，”为假命题，则实数的可能取值是（）

A.1   B.3   C.-1   D.4

10.下列说法正确的是（）

A.函数的图像恒过定点

B.“”的必要不充分条件是“”

C.函数的最小正周期为2

D.函数的最小值为2

11.狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为，则关于狄利克雷函数说法正确的是（）

A.        B.它是偶函数

C.它是周期函数，但不存在最小正周期   D.它的值域为

12.已知定义域为的函数满足，在解析式为，则下列说法正确的是（）

A.函数在上单调递减

B.若函数在内恒成立，则

C.对任意实数，的图象与直线最多有6个交点

D.方程有4个解，分别为，，，，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.命题“，”的否定是_________.

14.已知函数为奇函数，则_________.

15.若函数的定义域为，则实数_________实数的取值范围_________.

16.已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）化简求值：

（1）

（2）

18.（12分）若二次函数对任意都满足且最小值为-1，.

（1）求的解析式；

（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

19.（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求的解析式；

（2）解关于的不等式.

20.（12分）已知函数.

（1）若的单调递增区间为，求的值.

（2）求在上的最小值.

21.（12分）疫情过后，惠州市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金（奖金和销售额单位都为十万元），奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%（即奖金大于等于）.经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案.

（1）若，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由.

（2）若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围.

22.（12分）已知函数.

（1）曲线在点处切线为，求证：上的点都不在直线的下方；

（2）若关于的方程有不等实根，，求证：.

惠东县2024届高三第一次教学质量检测

数学试题参考答案及评分细则

一、选择题

二、多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

三、填空题（第16题第一空2分，第二空3分）

13.，14.6

15.；（第一空2分，第二个3分）16.

四、解答题：

17.（1）原式

（2）原式

.

18.（1）解法一：（1）由为二次函数，可设

∵，则带入得

化简：

因为其对任意都成立，所以，

即.

又因为最小值为-1，且，

∴∴

∴

解法二：（1）由为二次函数，可设

∵函数满足，∴图象的对称轴为，即

最小值为-1，且，

∴∴

∴

（2）∵，即在上恒成立

即满足函数的最小值大于.

又∵当时，对称轴为

在单调递减，单调递增.

∴在的最小值在取得，

即

∴.

19.（1）因为是定义在上的奇函数，

所以，当时，

设，则，

∴

∵，

∴

则.（解析式漏了扣1分）

（3）当时，，，

，，，即

当时，，满足不等式.

当时，，恒成立，

满足不等式，即

综上所述，不等式的解集为：.

20.解：（1）函数定义域为

∵函数的单调增区间为，且

故，当时，，故函数的单调递增区间为.

∴，则.

（2），

①当时，，则在单增，

②当，，，单减，，，单增.

（i）当，即时，在单增，

（ii）当，即时，上单减，在，单增，.

综上所述：

当时，；当时，.

21.（1），因为在上单调递增.

在上单调递增，

则在上单调递增，所以①满足.

对于②，，即

整理可得

，则不满足②的条件.

故不满足条件.

（2）当时，函数，因为

由（1）中知在上单调递增，奖金发放方案满足条件①.

由条件②可知，即在时恒成立，

所以，在时恒成立.

，在单调递增.

当时，取得最小值

∴

所以要使奖金发放方案满足条件，的取值范围为.

22.（1）因为，则

所以，

曲线在点处的切线的方程为

设，

则

令，则，

所以上单调递增，即在上单调递增，又

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴，因此

故曲线上的点都不在直线的下方.

（2）由（1）知：，令

则

∴在上单调递增，即在上单调递增.

∵，

∴，使，

所以当时，；当时，；则在上单调递减，

在上单调递增且，

∴的大致图像如图所示，

因为，所以曲线在处的切线：

下面证明.

设，则，

令，则

所以在上单调递增，即在上单调递增，又

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增

∴，∴成立，

即曲线上的点都不在切线的下方.

由题意可得：直线与曲线的交点分别为，，不妨设；

设直线与直线的交点为，与切线的交点为，

结合图像，易得，

∵，

∴，

∴.