2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．一个质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系可用表示，那么质点在秒时的瞬时速度是（    ）

A．2米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒

【答案】A

【分析】根据导函数的几何意义，对进行求导，再代入即可解得.

【详解】因为函数，所以，

当时，，

故物体在秒时的瞬时速度为2米/秒．

故选：A.

2．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则，逐项计算判断作答.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D错误.

故选：B

3．在对一组成对样本数据进行分析时，从已知数据了解到预报变量随着解释变量的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】逐项判断各选项中函数的单调性，以及当时，各函数的函数值的变化情况，可得出合适的选项.

【详解】当时，函数为增函数，、、均为减函数，

且当，，，，

故选：D.

4．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答.

【详解】依题意，X的可能值为，则，

因此，

所以.

故选：B

5．在的展开式中，含的项的系数为（    ）

A．165 B． C．155 D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用二项式定理、结合组合数性质求解作答.

【详解】的展开式中含的项的系数为：

.

故选：C

6．现将甲、乙、丙、丁4位老师安排到A，B，C三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲、乙两人至少有1人到A学校工作的分配方案数为（    ）

A．12 B．22 C．24 D．26

【答案】B

【分析】分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可.

【详解】若甲乙两人中的1人到A学校工作，有种选择，

其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有安排种数，

故有种；

若甲乙两人中的1人到A学校工作，有种选择，

丙丁中一人也到A学校工作，有种选择，

其余2人到另外两个地方工作，有种选择，

故安排种数有种；

若安排甲乙2人都到A学校工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有种，

故总共有种.

故选：B.

7．已知事件A，B满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意利用全概率公式运算求解.

【详解】由题意可得：，

所以.

故选：C.

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用常见放缩，构造函数，判断出，然后利用构造从而判断即可.

【详解】

令，则，

当时, ，所以在上单调递增，

，

；

，

易知

，

.

故选：D.

二、多选题

9．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用排列数与组合数公式计算可以判断ABC选项，特殊值法判断D选项即可.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，，，

所以，故B正确；

对于C，，，

所以，故C正确；

对于D，当时，，则不成立，故D错误.

故选：BC.

10．下列结论正确的是（    ）

A．经验回归直线恒过样本点的中心，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好

B．在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大

C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数

D．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得．依据的独立性检验，则变量x与y独立

【答案】BD

【分析】根据案例分析的相关知识逐项分析判断.

【详解】对于选项A：经验回归直线恒过样本点的中心，

拟合效果是整体效果，与在经验回归直线上的样本点的多少无关，

如果在经验回归直线上的样本点增多，但其他点偏离程度增大，相应的残差的平方和仍可能会增大，拟合效果也会变差，故A错误；

对于选项B：对于可知：的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故B正确；

对于选项C：因为越接近于1，线性相关性越强，

若散点图中所有点都在直线上，则，

但此时为负相关，所以，故C错误；

对于选项D：因为，

依据的独立性检验可知，没有足够的把握认为变量x与y有关，所以变量x与y独立，故D正确；

故选：BD.

11．随机变量，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．随机变量X的密度曲线比随机变量Y的密度曲线更“瘦高”

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答.

【详解】随机变量

对于A，当时，，A正确；

对于B，由于，则随机变量X的密度曲线比随机变量Y的密度曲线更“矮胖”，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，，

而，因此，D错误.

故选：AC

12．已知函数有四个零点，则（    ）

A．

B．

C．

D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据函数零点转化为方程的根，令，即方程有两根，利用导数分析得的图像性质，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可得答案.

【详解】由题意知有四个不同的根，显然，则，

令，则，即，

另外，，

当时，；当时，；

故在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时，，当时，，则的大致图像如图所示：

根据题意知存在两根，，不妨设，

则满足，，即有，，

则由图象可知，所以，故A错误；

由于方程的两根，满足，

所以，解得，故B正确；

由，，得，

两边取自然对数得，故C正确；

由，两边取自然底数得，

若，则，

所以，

令，则，恒成立，

所以在上单调递减，又，，

所以，故D正确.

故选：BCD．

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

三、填空题

13．拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有      种．（用数字作答）

【答案】1280

【分析】根据给定条件，利用分步计数乘法原理从周一开始逐天安排作答.

【详解】安排周一有5种方法，由于同一名班干部不连续值班2天，则前一天值班的不值相邻后一天，

因此安排后面每一天值班的都有4种方法，

所以可能的安排方法种数是.

故答案为：1280

14．已知变量x和y的统计数据如下表：

若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为      ．

【答案】/

【分析】根据数表，求出样本的中心点，进而求出及残差作答.

【详解】依题意，，

于是，即，

当时，，所以时的残差为.

故答案为：

15．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得    ．

【答案】

【分析】利用二项式定理，结合所求式子的意义求解作答.

【详解】因，

因此是展开式中项的系数，而展开式中项的系数为，

所以.

故答案为：

16．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是      ．

【答案】

【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断单调性解不等式作答.

【详解】依题意，令，求导得，因此函数在R上单调递减，

不等式，由，得，

则有，解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：

【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.

四、解答题

17．现有来自三个班级的考生报名表（一人一表），分装3袋．第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率．

【答案】.

【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

【详解】记“抽到第袋”，，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，

则，，

所以.

18．某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，采用简单随机抽样的方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：

(1)根据已知条件，将下列列联表补充完整：

(2)根据（1）表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与性别是否有关．

附：，．

【答案】(1)列联表见解析；

(2)有关.

【分析】（1）利用等高堆积条形图求出相关数据，列出列联表作答.

（2）由列联表求出的观测值，再与临界值比较作答.

【详解】（1）由等高堆积条形图知，男生保护动物意识强的有，女生保护动物意识强的有，

于是列联表如下：

（2）零假设为：该校学生保护动物意识的强弱与性别无关，

根据列联表中的数据，得，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.

19．已知的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等．

(1)求n及展开式中各项系数的和；

(2)求的常数项．

【答案】(1)，各项系数的和为1

(2)

【分析】（1）根据题意结合二项式系数的对称性可得，在利用赋值法求各项系数之和；

（2）根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】（1）由题意可知：，解得，

即，

令，可得展开式中各项系数的和为.

（2）因为，

对于，可知其展开式的通项为，

令，解得，此时；

令，解得，此时；

所以的常数项为.

20．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间上既有最大值又有最小值，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）利用导数求出函数的极值点及极值，再求出函数值为极值时的x值，结合已知列出不等式作答.

【详解】（1）函数，求导得，则，

所以所求切线方程为，即.

（2）由（1）知，，当或时，，当时，，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，

由，即，得，即，解得或，

由，即，得，即，解得或，

作出函数的部分图象，如图，

因为在区间上既有最大值又有最小值，则有，解得，

所以a的取值范围是.

21．某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题的概率均为．

(1)甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为，求的分布列；

(2)若，记为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求．

【答案】(1)分布列见解析

(2)

【分析】（1）利用互斥事件与独立事件的概率公式，结合随机变量分布列的求解方法即可得解；

（2）记“连续9天参加“挑战答题”活动中得10分的次数”，利用二项分布求得，再利用随机变量数学期望的性质求得，从而得解.

【详解】（1）记“第个题目回答正确”，“第个题目回答不正确”，，由题意知可能取值为2，3，4，

，

，

，

则的分布列为：

（2）记“连续9天参加“挑战答题”活动中得10分的次数”，

每天得10分的概率记为，则

由题意知

，

所以，

又因为，

所以.

【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键是得到关于的关系式，从而利用随机变量数学期望的性质求解即可.

22．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，记的零点为，的极小值点为，判断与的大小关系，并说明理由．

【答案】(1)答案见解析

(2)，理由见解析

【分析】（1）对求导，分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

（2）结合（1）中结论，利用零点存在定理确定的所在区间，再利用导数与函数极值点的关系，结合零点存在定理确定的所在区间，同时得到关于的表达式，从而求得，由此利用的单调性即可得解.

【详解】（1）因为，则，

当时，则，故在上单调递增，

当时，令，解得或（舍去），

当时，；当时，；

故在上单调递增，在上单调递減，

（2）由（1）知时，在上单调递增，

又，

所以存在唯一的，使，

因为，则，

令，则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

又，

所以存在，使，

则当时，；当时，；

所以在单调递减，在上单调递增，

所以为的极小值点，故，

由可得，故，

所以，

又，所以，

又因为，且在上单调递增，

所以.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．