陕西省、青海省部分学校2024届高三上学期9月联考理科数学试题

这是一份陕西省、青海省部分学校2024届高三上学期9月联考理科数学试题，共17页。试卷主要包含了曲线在点处的切线方程为等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前高三数学考试（理科）（考试时间：120分钟   试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（    ）．A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（    ）．A． B． C． D．3．已知函数，则下列说法正确的是（    ）．A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．的最小正周期为D．若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象4．已知的每条边长均为2，D，E分别是，的中点，则（    ）．A． B． C． D．35．曲线在点处的切线方程为（    ）．A． B． C． D．6．设椭圆，的离心率分别为，，若，则（    ）．A．1 B．2 C． D．7．已知函数在区间上单调递减，则a的最小值为（    ）．A．1 B．2． C．3 D．48．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（    ）．A． B． C． D．9．已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，在该圆柱的底面内任取一点E，则当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的侧面积为（    ）．A．  B．C．  D．10．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（    ）．A．144 B．864 C．1728 D．288011．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据． 喜欢观看不喜欢观看男生女生通过计算，有95％以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（    ）．附：，其中．0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828A．55 B．57 C．58 D．6012．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（    ）．A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．14．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的正整数P的最小值为__________，最大值为__________．（本题第一空3分，第二空2分）15．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则__________．16．已知正三棱柱内接于半径为2的球，则该正三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列满足，．（1）证明：是等比数列．（2）设，求数列的前n项和．18．（12分）人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在该知识竞赛中的情况，现采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．将分数不低于850分的学生称为“最佳选手”．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生分数的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从分数落在，内的两组学生中抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“最佳选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）将沿它的中位线折起，使顶点C到达点P的位置，使得，得到如图所示的四棱锥，且，，E为的中点．（1）证明：平面平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（12分）设函数（且）．（1）当时，求的单调区间；（2）设，证明：当时，．21．（12分）已知抛物线的方程为．（1）若M是上的一点，点N在的准线l上，的焦点为F，且，，求；（2）设为圆外一点，过P作的两条切线，分别与相交于点A，B和C，D，证明：当P在定直线上运动时，A，B，C，D四点的纵坐标乘积为定值的充要条件为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为．以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于M，N两点，求的值．23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求m的取值范围．  高三数学考试参考答案（理科）1．C   因为，，所以．2．A   ．3．D   因为，所以，，A错误，B错误．显然的最小正周期为，C错误．将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，D正确．4．C   因为是的中位线，所以，，．又，所以．5．A因为，所以所求切线的斜率，故该切线的方程为．6．B   因为，所以，解得．7．D令，因为是增函数，所以在区间上单调递减，所以，解得．8．A因为，所以，整理得，所以．因为，所以．又，所以，从而．又，所以．9．B四棱锥体积，其中d为E到的距离，因为正方形的面积为定值，所以当E为的中点时，四棱锥的体积最大，连接，，此时其侧面积．10．C甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种，最后将两个家庭的整体全排列，有种站法，则所有不同站法的种数为．11．C因为，所以，又，所以，解得，故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58．12．D因为，所以∽．设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以．由双曲线定义知，即，解得．又由，得，所以，即是等腰三角形．由余弦定理知，即，化简得，所以，则双曲线的渐近线方程为．13．画出可行域（图略）知，当直线过点时，z取得最小值．14．6；17    执行程序框图，，，，，满足；，，满足；，，满足；，，满足．所以，，所以正整数P的最小值和最大值分别为6和17．15．设这个黄金三角形的另一个底角为B，顶角为A，因为，所以，则．16．8设的外接圆半径为r，边长为a，正三棱柱的高为，则，，即，所以正三棱柱的体积．又，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以当时，函数取得最大值．17．（1）证明：由，得，（1分）所以，（3分）故是公比为3的等比数列．（4分）（2）解：由（1）得，则，．（6分）所以，所以．（7分）两式相减，得，（9分）所以，（11分）解得．（12分）18．解：（1）由题意知，解得，（1分）分数段对应的频率为0.1，对应的频率为0.35，对应的频率为0.25，设中位数为x，则．（3分）由，解得．（5分）（2）由题意知从分数段对应的学生中抽取5人，从对应的学生中抽取2人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2．（7分）则，（8分），（9分），（10分）随机变量X的分布列为X012P所以．（12分）19．（1）证明：因为为的中位线，所以．（1分）因为，所以，，（3分）又，所以平面，（4分）因为平面，所以平面平面．（5分）（2）解：取的中点O，连接，因为，所以．因为平面平面，所以平面，且，（6分）分别以，的方向为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．（8分）设是平面的法向量，可得，令，得，（10分）则，所以与平面所成角的正弦值为．（12分）20．（1）解：当时，因为，所以，（1分）令，得，（2分）所以在上单调递减，在上单调递增．（4分）（2）证明：（法一）易知当时，，，所以．（6分）由题设知，．（7分）令，得，（8分）由上可知，，故．（10分）当时，，单调递减，当时，，单调递增．（11分）又，所以当时，．（12分）（法二）因为，且，所以在上单调递增．（5分）又，设，则，可知在上单调递减，所以，即．（7分）又，设，则，可知在上单调递增，所以，即．（9分）所以存在唯一的，使得，且在上单调递减，在上单调递增．（11分）因为，所以当时，．（12分）21．（1）解：由题意可得，抛物线的焦点为，准线．（1分）不妨设点，则，即，可得，即，所以，则直线的斜率．（3分）为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，令，解得，即，故．（5分）（2）证明：设，由，，知过P所作圆的切线的斜率k存在且非零，每条切线都与有两个交点，设切线方程为，即，故，整理得，①（7分）则过P所作的两条切线，的斜率，分别是方程①的两个实根，故有，．②（8分）联立，消去x得，③设点A，B，C，D的纵坐标分别为，，，，由③得，同理可得．（9分）于是得．设（其中为常数），把②式代入整理得，（10分）欲使上式与的取值无关，则当且仅当常数且时，A，B，C，D四点的纵坐标乘积为定值．（12分）22．解：（1）曲线的参数方程为（为参数），其普通方程为，即，（2分）则的极坐标方程为．（3分）直线的方程为，所以直线的极坐标方程为．（5分）（2）设，，将代入，（7分）得，（8分）所以，（9分）所以．（10分）23．解：（1）化简得．（1分）当时，解得，所以；（2分）当时，解得，此时无解；（3分）当时，解得，所以．（4分）综上所述，原不等式的解集为．（5分）（2）因为，（7分）所以．（8分）由题意知，解得，所以m的取值范围是．（10分）