广西南宁市第二中学、柳州铁一中学2024届高三新高考摸底调研测试数学试题

2024届南宁二中柳铁一中新高考高三摸底调研测试

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，那么（    ）．

A． B． C． D．

2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ）．

A． B．2 C． D．

3．设数列满足，则（    ）．

A．7 B． C． D．

4．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（    ）．

A． B． C． D．

5．函数的图象可能是（    ）．

A．B．C．D．

6．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x（单位：万元）的Logistie模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50％．若银行希望实际还款比例为40％，则贷款人的年收入约为（    ）．（参考数据：，）

A．4万元 B．8万元 C．6万元 D．5万元

7．已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为的直线交抛物线C于A，B两点，则（    ）．

A． B．5 C． D．2

8．已知函数，对于，，且在区间上单调递增，则的最大值是（    ）．

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）．

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则向量，的夹角为钝角

10．随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98，下面说法正确的是（    ）．

A．这组数据的极差为48

B．为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70

C．为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70

D．这组数据的第75百分位数是84.5

11．已知直线，是圆上的一点，则（    ）．

A．直线l过定点  B．圆C的半径是

C．点P可能在圆上 D．点P到直线l的最大距离是

12．已知正方体的棱长为2，P为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ）．

A．三棱锥的体积为定值

B．存在点P，使得平面

C．若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为

D．若点P是的中点，点Q是的中点，经过，P，Q三点的正方体的截面周长为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）

14．已知，，且，则的最小值为__________．

15．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为__________．

16．若方程有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）设是边上的高，且，，求的值．

18．（12分）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．

（1）若点N为的中点，求证：平面；

（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．

19．（12分）已知数列的前n项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，，求数列的前n项和．

20．（12分）某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：

（1）根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）

（2）某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩．据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为，，，，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况．（最后结果精确到个位）

附：，，

在线性回归直线方程中，．

21．（12分）已知双曲线经过点，右焦点为，且，，成等差数列．

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），的中点为M，M在直线上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线，的斜率分别为，，证明：是定值．

22．（12分）已知函数，且．

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且．

2024届南宁二中柳铁一中新高考高三摸底调研测试

数学

1．B

【详解】，即，得，

所以，，所以．

2．C   【详解】，所．

3．C

【详解】令，可得，

令，得，两式相减得，所以．

4．B

【详解】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，

所以，，

所以．

5．A

【详解】因为定义域为，

，

所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；

对于C，时，，，

所以，所以，故C不正确；

对于A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．

6．D

【详解】由题意得当时，％，则％，得，

所以，得，所以，

当％时，％，得，

所以，所以，解得，

所以当银行希望实际还款比例为40％，则贷款人的年收入约为5万元．

7．A

【详解】设抛物线C的方程为，

因为焦点到准线的距离为2，则，

抛物线C为：，焦点，准线方程为，直线方程为，

由消去y得：，

设，，则，，

所以．

8．C

【详解】因为对于，，可得在时取得最大值，

即，可得，，

所以，，

又因为在上单调递增，所以且，解得，

当时，，所以的最大值为．

9．BD

【详解】解：对于A，因为，，

所以，，解得或，故A错误；

对于B，因为，所以，解得，故B正确；

对于C，因为，所以，解得，故C错误；

对于D，当时，，，

又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确．

10．ABD

【详解】对于A，这组数据的极差为，故A正确；

对于B，这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70，B正确；

对于C，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相等，故C错误；

对于D，％=15，所以，则这组数据的第75百分位数是84.5，故D正确．

11．ACD

【详解】直线可化为，

由，解得，，故直线l过定点，A选项正确．

圆可化为，

所以圆心，半径，所以B选项错误．

圆的圆心为，半径为，，

所以圆C与圆外切，所以点P可能在圆上，C选项正确．

，所以点P到直线l的最大距离是，D选项正确．

12．AC

【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高等于，

底面积，所以，

所以三棱锥的体积为定值，故A正确；

对于B，以D为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设，，，

，，，，，，，

∴，，，

若平面，则，，

则，，

解得，不符合，，故B错误；

对于C，，若，

∴，即，

所以点P的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确；

对于D，连接并延长交的延长线于N，连接交于F，

连接，延长交的延长线于M，连接交于E，连接，

则五边形即为经过，P，Q三点的正方体的截面，如图．

正方体的棱长为2，则，，

则为等腰直角三角形，则，

根据∽得，，则，，

则，，

同理可得，，而，

则五边形的周长为，故D错误．

13．15

【详解】展开式的通项为，

令，得，

故展开式的常数项为第5项：．

14．9

【详解】

．

15．

【详解】设，由矩形的性质可知：，

则三棱锥的外接球的球心即为O，半径，

所以三棱锥的外接球的体积．

16．

【详解】方程化为，令，

则问题转化为的图像与直线有2个交点，

因为，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以函数最小值为，且当x正向无限趋近于0时，的取值无限趋近于正无穷大；

当x无限趋近于正无穷大时，的取值无限趋近于正无穷大；

故方程有两个不等的实数根时，．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）在中，由及正弦定理，

得，（1分）

即，，

整理得，（3分）

∵，∴，则，而，所以．（5分）

（2）由（1）及已知，得，

又，即有，（7分）

由余弦定理得，即，（8分）

因此，即，

所以．（10分）

18．【详解】（1）连接，，

因为M，N分别为，的中点，

所以为的中位线，所以，（2分）

又平面，平面，

所以平面．（4分）

（2）取的中点O，连接，

因为侧面为菱形，且，

所以在中，，解得，

所以'，即，（5分）

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

过O作的垂线，交于H并延长，

分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，（6分）

设，则，

故，，，，，

则，，，

，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，（8分）

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，则，（10分）

，（11分）

故：平面与平面夹角的余弦值为．（12分）

19．【解析】（1）由题意，当时，，（1分）

当时，；当时，上式也符合．

∴的通项公式为．（5分）

（2）由（1）得，所以，．（7分）

（ⅰ）当n为偶数时，

．（9分）

（ⅱ）当n为奇数时，，（11分）

综上所述．（12分）

20．【详解】（1）因为，，

所以，

，

所以，（3分）

因为，所以回归方程为．（5分）

（2）由回归方程知，若农户草莓的种植量为200箱，

则成本为（千元）．（6分）

设农户草莓的种植量为200箱时的收入为Y元，

则Y的可能取值为45000，50000，55000，60000，（7分）

所以Y的分布列为

（10分）

所以，（11分）

所以所获利润为元．（12分）

21．【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）因为，成等差数列，所以，

又，所以．

将点的坐标代入C的方程得，解得，

所以，所以C的方程为．（4分）

（2）依题意可设，

由，得，

设，，，

则．，，

则

，

而，

所以，

所以是定值．（12分）

22．【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）解：因为，

则等价于，求导可知．

则当时，即在上单调递减，

所以当时，，矛盾，故．

因为当时，当时，

所以，

又因为，所以，解得．（5分）

另解：因为，所以等价于在时的最小值为，

所以等价于在处是极小值，所以解得．

（2）证明：由（1）可知，，

令，可得，记，则，

令，解得：，

所以在区间上单调递减，在上单调递增，

所以，从而有解，

即存在两根，，

且不妨设在上为正，在上为负，在上为正，

所以必存在唯一极大值点，且，

所以，

由可知；

由可知，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以．

综上所述，存在唯一的极大值点，且．（12分）