山东省临沂市2023-2024学年高三上学期开学摸底联考数学试题
展开2024届高三开学摸底联考
数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟,满分150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知,则( )
A. B. C. D.
3.已知,,若,则该展开式各项的二项式系数和为( )
A.81 B.64 C.27 D.32
4.已知双曲线的一条渐近线斜率为,实轴长为4,则C的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.设,则的最小值为( )
A.1 B. C. D.
6.一个不透明的袋子中装有3个黑球,n个白球,这些球除颜色外大小、质地完全相同,从中任意取出3个球,已知取出2个黑球,1个白球的概率为,设X为取出白球的个数,则( )
A. B. C.1 D.2
7.已知,为函数的两个不同的极值点,若,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图,P、Q是直线上的点,平面,五面体的各顶点均在球O球面上,四边形为边长为2的正方形,且,均为正三角形,则当球O半径取得最小值时,五面体的体积为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.的最小正周期为
B.
C.的图象关于直线对称
D.将的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称
10.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点P在C上,且的最大值为3,最小值为1,则( )
A.椭圆C的圆心率为
B.的周长为4
C.若,则的面积为3
D.若,则
11.在三棱台中,平面,,点为平面内一动点(包括边界),满足平面,则( )
A.点P的轨迹长度为1
B.P到平面的距离为定值
C.有且仅有两个点P,使得
D.与平面所成角的最大值为30°
12.已知是定义在上的奇函数,为偶函数,,则( )
A.曲线关于直线轴对称 B.是以4为周期的周其函数
C. D.关于点对称
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,为平面单位向量,若,则______.
14.已知A,B为圆上的两点,,M为的中点,则M到直线距离的最小值为______.
15.已知,,若与的图象在交点处的切线重合,则______.
16.剪纸,又叫刻纸,是一种镂空艺术,是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片,记为,在内作内接正方形,接着在该正方形内作内切圆,记为,并裁剪去该正方形内多余的部分(如图所示阴影部分),记为一次裁剪操作,……重复上述裁剪操作n次,最终得到该剪纸.则第4次裁剪操作结束后所得的面积为______;第n次操作后,所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(1)若,求;
(2)求C的最大值.
18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面,.
(1)证明;平面平面;
(2)设P为上的一个动点,是否存在点P使得与平面所成角为30°,若存在,求,若不存在,说明理由.
19.(12分)设数列的前n项和为,,数列为公差为2的等差数列,.
(1)求,的通项公式;
(2)设,证明:.
20.(12分)已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,,求a的取值范围.
21.(12分)在“飞彩镌流年”文艺汇演中,诸位参赛者一展风采,奉上了一场舞与乐的盛宴.现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾,统计他们的年龄数据,得样本平均数.
(1)若所有参赛者年龄X服从正态分布,请估计参赛者年龄在30岁以上的人数;
(2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级,每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类,的概率评为B类,每位参赛者作品的评级结果相互独立.记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为,求的极大值点;
(3)以(2)中确定的作为a的值,记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y,若对这些幸运嘉宾进行颁奖,现有两种颁奖方式:甲:A类作品参赛者获得1000元现金,B类作品参赛者获得100元现金;乙:A类作品参赛者获得3000元现金,B类作品参赛者不获得现金奖励.根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式,成本可能更低.
附:若,则.
22.(12分)已知抛物线,为E上位于第一象限的一点,点P到E的准线的点离为5.
(1)求E的标准方程;
(2)设O为坐标原点,F为E的供点,A,B为E上异于P的两点,且直线与斜率乘积为.
(i)证明,直线过定点;
(ii)求的最小值.
山东省济南市2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题: 这是一份山东省济南市2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题,共8页。
山东省济南市2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题: 这是一份山东省济南市2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题,共9页。试卷主要包含了过点与圆相切的两条直线垂直,则,已知为锐角,若,则,记为等比数列的前项和,若,,则,已知函数的最大值为2,则等内容,欢迎下载使用。
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