江西省赣州市第四中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份江西省赣州市第四中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
赣州四中2023-2024学年高三上学期开学考试数学一、单选题（每题5分，共40分）1．直线的斜率是（    ）A． B． C． D．2．在等差数列中，若，，则（　　）A．6 B．4 C．0 D．-23．在数列中，已知，，则一定A．是等差数列 B．是等比数列 C．不是等差数列 D．不是等比数列4．若函数，则等于（    ）A． B． C． D．5．如图，在直三棱柱中，，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为(    )A． B． C． D．6．若抛物线的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为（    ）A． B．2 C．3 D．47．已知数列的前n项和为，且，，则（    ）A．数列是等差数列 B．数列是等差数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列8．已知，对任意正数x都有恒成立，则t的最小值为（    ）A． B． C． D．二、多选题（每题5分，共20分）9．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则（    ）A． B． C． D．110．已知函数的定义域是D，有下列四个命题，其中正确的有（ ）A．对于，函数在D上是单调增函数B．对于，函数存在最小值C．存在，使得对于任意x∈D，都有＞0成立D．存在，使得函数有两个零点11．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．12．过直线上一点作拋物线的两条切线，设切点分别为，记是线段的中点，则（    ）A．直线经过该抛物线的焦点B．直线轴C．线段的中点在该抛物线上D．以线段为直径的圆与抛物线的准线相交三、填空题（共20分）13．已知为等比数列，是其前n项和，若，，则              ．14．函数的单调递减区间是      ．15．如图所示,半径为的圆是正方形的内切圆,将一颗豆子随机地扔到正方形内,用表示事件“豆子落在圆内”, 表示事件“ 豆子落在扇形（阴影部分）内”,则             .16．若存在条直线与函数，的图象都相切，则当取最大值时，实数的取值范围是      ．四、解答题（共70分）17．随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.学校从全体学生中随机抽取了200人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示： 男女合计了解70 125不了解 45 合计   (1)根据所提供数据，完成列联表；(2)判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87918．设数列满足，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：.19．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，四边形为直角梯形，且，，，点为棱的中点.（1）求证：；（2）若直线与直线所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.20．抛物线：（）上一点与焦点的距离为3．（1）求的方程；（2）是的准线与轴的交点，过点的直线与相交于，两点，是线段的中点若直线的斜率为，求的方程21．已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和；(3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.22．设m为实数，函数.(1)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；(2)已函数有两个不同的零点，（），若，且恒成立，求实数的范围.

标准答案1．A由题得，原式可化为，斜率.故选：A2．D由题意,3．C因为，，，所以一定不是等差数列，故选C．4．B由题意得，故．故选：B.5．D由题意，以C为坐标原点，以CA，CB，为，，轴建立空间坐标系，如下图所示：令，则，，，，故，，设为平面的一个法向量，则，即令，则，，从而，设直线和平面所成角为，则，故，从而.故选：D.6．A∵抛物线的焦点坐标为，所以，抛物线方程为，设，由抛物线的定义得，，所以，即，所以弦AB的中点到y轴的距离为.故选：A.7．C因为，所以，则，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故C正确；所以，不是常数，即数列不是等差数列，故A错误；所以，即，又，所以，，，则，，所以数列不是等差数列也不是等比数列，故BD错误.故选：C.8．B若，则时，，即不恒成立，不合题意；若，则时，，即不恒成立，不合题意；当时，令，对任意正数x都有，在上递增，当，时，恒成立，当，时，，因为，所以，则，即，所以，，设，则，由，在上递增；由，在上递减，所以，则，即t的最小值为，故选：B .9．AD由题意，，由等比数列通项公式可得，由于等比数列每一项都不是，故，即，解得或.故选：AD10．ABD由对数函数知：定义域为，又，A：由，则，即是增函数．正确，B：由，则存在x0有，当时，即递减；当时，即递增，故函数有极小值，也是最小值，正确．C：时，画出函数，的图象如下，显然，在x∈D上，当x无限接近于0时存在，错误；D：在上，由B知：趋向0或正无穷大时，故当时有两个零点，正确．故选：ABD．11．ABC由知，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，即，A项正确；根据递推公式，得，B正确；，，，，所以，即，故C正确；由递推式，得，，…，，累加得，所以，所以，即，D项错误；故选：ABC.12．BC首先推导抛物线的切线方程，设过抛物线上一点的切线的斜率为,则，由点斜式得切线方程为：，联合抛物线方程，有：消去，得，相切,，即,整理得:，，点是抛物线上的点,，，，代入得:,整理,得即:，当不存在时，此时，切线方程为，适合上式切线方程，所以，过抛物线上一点的切线的方程为: .故对于本题来说，设对A，则过点的切线方程为，代入坐标有过点的切线方程为，代入坐标有故切点弦方程为，当时，，故过定点，而抛物线焦点坐标为，故A错误；对B，由切于的切线方程,切于的切线方程，，解得，而，则，故B正确；对C，，故，故的中点为，代入抛物线方程有，故的中点在抛物线上，故C正确；对D，取，此时切点弦所在直线方程为：，即，此时中点即圆心的坐标为，当时，，，故圆的半径为，而圆心到准线的距离为，故此时直线与圆相离，故D错误.故选：BC.13．设等比数列的公比为，，由得，由于，所以，则，所以.故答案为：14．的定义域是，，令，解得：，所以在递减，故答案为15．用表示事件“豆子落在圆内”，则，表示事件“ 豆子落在扇形（阴影部分）内”，所以，因此.故答案为16．设公切线与的图象的切点为，与的图象的切点为，则，，对应的切线分别为，，即，，所以，易知，，所以，即，则，即，设，则，，令得，令得或，所以在上单调递增，在和上单调递减，所以，，又当时，当时，所以的图象大致如下所示：由图可知的最大值为，此时，所以，即.故答案为：17．(1)表格见解析(2)有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.（1）解：根据题意，得到 列联表为： 男女合计了解7055125不了解304575合计100100200（2）解：提出假设：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，根据列联表中数据，可以求得，因为当成立时，，这里的，所以我们有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.18．(1)；(2)证明见解析.(1)因为，所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列.所以.所以；(2)因为，所以，所以，所以.19．（1）证明见解析；（2）.（1）证明：因为四边形为矩形，所以.又平面平面，平面平面，则平面，又平面，故.取的中点，连接，在直角梯形中，可知，，故，所以.又，故平面.又平面，所以.（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，.故，.因直线与直线所成角为，故，解得.设直线与平面所成的角为，平面的法向量为，则，，，故，取，则，，所以，故，故直线与平面所成角的正弦值为.20．（1）；（2）解：（1）因为抛物线：（）上一点与焦点的距离为3所以由焦半径公式得，解得.所以抛物线的方程为：.（2）由（1）得抛物线的准线为，所以， 设过点的直线的方程为：，则直线与抛物线的方程联立得：，，所以，解得：或，，所以，所以线段的中点所以，即：，解得或.由于或，故此时直线的方程为：.21．(1)(2)(3)最大值为，最小值为（1）因为点在函数的图像上，所以，又数列是等差数列，所以，即所以，；（2）， ①， ②   ①-② 得，；（3）记的前n项和为，则=，当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，所以的最大值为，最小值为.22．(1)(2)（1）当时，，∴，设切点为，则切线斜率，∴切线方程为，∴，，∴，令，则，由，可得；由，可得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即的最小值为；（2）∵有两个不同的零点，（），∴，，，∴，∴，设，则，又，∴，将代入上式可得：恒成立，又，则，∴恒成立，设，，则，，（ⅰ）当时，，∴，∴在上单调递减，恒成立，∴；（ⅱ）当时，∵，∴时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，∴时，，综上可得.