2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的性质求出集合，由一元二次不等式的解法算出集合，然后根据交集的运算求解.

【详解】，根据对数函数的单调性可知上述不等式的解集为，

而，根据交集的运算，.

故选：A

2．已知为坐标原点，复数，，分别表示向量，，若，则m=（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．-2

【答案】D

【分析】分别表示出向量，，因为，所以，求解即可.

【详解】复数，，分别表示向量，，

则，，

因为，所以，解得，

故选：D．

3．已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．

【详解】，的定义域均为，且,，

所以为奇函数，为偶函数.

由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.

当时，，排除C.

故选:D．

4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ）

A．120 B．60 C．40 D．30

【答案】B

【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可.

【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，

同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，

所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.

故选：B.

5．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，

则圆锥和圆柱的高为，

所以圆锥的侧面积为，

圆柱的侧面积为，

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,

故选:C.

6．已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由逻辑用语及数列的性质判定即可.

【详解】若数列是递增数列，则，即，推不出，不满足充分性，比如反例：是各项为正数，公比小于1的等比数列；若，则数列是递减数列，不满足必要性，故数列是递增数列是的既不充分也不必要条件.

故选：D.

7．已知同时满足下列三个条件：

①当时，的最小值为；

②是偶函数；

③．

若在上有两个零点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由①可得函数的半个周期为，即可求得，由②③可求得，再根据正弦型函数的图象与性质找到两个零点时满足的范围即可.

【详解】由①当时，则分别为最大值与最小值，所以的最小值即为半个周期，，由；

由②是偶函数，所以，

因为，所以或；

由③，则， 所以.

时，，因为在上有两个零点，

根据正弦函数的图象

故选：A.

8．已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为,,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由条件可得，，再由椭圆和双曲线的定义可得，，，运用三角形三边关系，求得的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围.

【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，

，，，

是以为底边的等腰三角形，若，

则，，

由椭圆的定义可得，

由双曲线的定义可得，

即有，，

根据三角形三边关系可得，即，

所以，

根据离心率公式可得，

因为，所以，

则有，

所以的取值范围为.

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系，属于中档题.

二、多选题

9．某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布，则（    ）

A．这次测试的平均成绩为90

B．这次测试的成绩的方差为10

C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同

D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同

【答案】AD

【分析】利用正态分布的性质及原则判断各项正误即可.

【详解】由题意得：,，其中，，

即正态分布的对称轴为，因为，方差为100，A对，B错；

由对称性及原则知：，

，C错误，D正确．

故选：AD

10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，若用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，定义事件：“为奇数”，“”，“”，则下列结论正确的是（    ）

A． B．与互斥 C．与独立 D．与独立

【答案】ABD

【分析】根据题意，列举出事件、的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出和，从而可判断AB选项；求出和，可知，再根据独立事件的定义，从而可判断C选项；列举出事件的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出，进而得出，最后根据独立事件的定义即可判断D选项.

【详解】解：由题可知，“为奇数”，“”，“”，

则事件的所有情况为：

，共18种情况，

所以，

事件的所有情况为：，共6种情况，

所以，所以，且与互斥，故AB选项正确；

则，，

可知，所以与不独立，故C不正确；

事件的所有情况为：

，共12种情况，

所以，，，

可知，所以与独立，故D正确.

故选：ABD.

11．若抛物线C：，过焦点F的直线交C于不同的两点A、B，直线l为抛物线的准线，下列说法正确的是（    ）

A．点B关于x轴对称点为D，当A、D不重合时，直线AD，x轴，直线l交于一点

B．若，则直线AB斜率为

C．的最小值为

D．分别过A、B作切线，两条切线交于点M，则的最小值为16

【答案】ACD

【分析】求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，设直线的方程为，与抛物线C的方程联立，借助韦达定理逐项分析、计算判断作答.

【详解】抛物线C：的焦点，准线，显然直线不垂直于轴，

设直线的方程为，，由消去x得：

，于是，

对于A，点，准线交轴于点，则，

有，

即得，因此点共线，即直线AD，x轴，直线l交于一点，A正确；

对于B，

，解得，

直线的斜率，B错误；

对于C，由选项B知，

，当且仅当，即时取等号，C正确；

对于D，显然抛物线C在点A处的切线斜率存在且不为0，设此切线方程为，

由消去x得：，则，

解得，同理抛物线C在点B处的切线斜率，显然，

于是，因此，

当且仅当时取等号，D正确.

故选：ACD

【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.

12．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D.

【详解】由，可得，

，

令，则，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以，即，

由知，A正确；

由可得，可得（时取等号），

因为，所以，B正确；

时，，则，

，C错误；

，

令，则，

，

在单调递增，，，故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可.

三、填空题

13．在的展开式中，项的系数为         ．

【答案】

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.

【详解】展开式的通项公式，

令可得，，

则项的系数为.

故答案为：60.

14．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为         ．

【答案】

【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．

【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，

所以，解得：，由解得：或，

所以，解得：．

当时，同理可得．

故答案为：．

15．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为     ．

【答案】25π

【分析】设球体的半径为，根据已知条件得出正方体上底面截球所得的截面圆的半径，球心到截面圆圆心的距离，利用勾股定理即可求出球体半径，再带入球体表面积公式即可.

【详解】由题意得正方体上底面到水面的高为，设球体的半径为，

由题意如图所示：

三角形为直角三角形，为球与正方体的交点，

则，，，

所以：，解得，

所以球的表面积.

故答案为：

【点睛】本题主要考查球体的表面积，根据截面求出球体的半径为解题的关键，属于中档题.

16．已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增．若对任意恒成立，则的取值范围    

【答案】

【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数为上单调递增，进而得到，利用参变分离和的取值范围求出的取值范围，进而求解.

【详解】解：因为连续函数的图象关于点对称且在区间上单调递增，

所以函数的图象关于对称，函数在上单调递增，

由，可得，

也即，

则有恒成立，即，

因为，所以，

当时，得到恒成立；

当时，则有，

令，则，

因为函数在上单调递增，且，

所以，则

故答案为：.

四、解答题

17．设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列、等比数列的性质计算即可；

（2）利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为

由成等比数列可得，

所以，

所以，

因为，所以.①

又，

所以，②

所以，

联立①②得，

所以数列的通项公式.

（2）由（1）知，

所以

.

18．在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，

因为，

所以四边形为等腰梯形，

所以，

故，，

所以，

所以，

因为平面，平面，

所以，

又，

所以平面，

又因为平面，

所以；

（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

，

则，

则，

设平面的法向量，

则有，可取，

则，

所以与平面所成角的正弦值为.

19．记的内角、、的对边分别为，，，且．

(1)求；

(2)已知，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量数量积的含义和余弦定理即可得到，则得到答案；

（2）根据余弦定理即可得到，再利用三角形面积公式即可得到答案.

【详解】（1）因为，

即，

则，

整理可得①，②，

联立①②得．则.

（2）因为，，则，

由（1）和余弦定理有，

因为，则，则.

20．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：

（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？

（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；

（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】（1）列联表见解析；有；（2）答案见解析；（3）2．

【分析】（1）根据数据完善列联表，求出，根据参考数据可判断.

(2)先求出随机抽取1人为男性的概率，由题意，由二项分布可得答案.

(3) Y的可能取值为0，1，2．求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案.

【详解】解：（1）填写列联表如下：

所以

，

所以有99%的把握认为“观影评价与性别有关”．  

（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，

所以，

所以，，

，．

故X的分布列为

（3）从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人，女性6人.

则Y的可能取值为0，1，2．

所以，，．

所以，即，

即，解得，又，

所以m的最大值为2．

【点睛】关键点睛：本题考查对立性检验、二项分布和期望，解答本题的关键是将问题转化为二项分布问题，即根据条件得出，以及求出对应概率，属于中档题.

21．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；

（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.

【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，

则由可得，，

双曲线方程为.

（2）由(1)可得，设，

显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，

与联立可得，且，

则，

直线的方程为，直线的方程为，

联立直线与直线的方程可得：

，

由可得，即，

据此可得点在定直线上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.

22．已知函数．

(1)若，，求实数a的取值范围；

(2)设是函数的两个极值点，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；

（2）由题意要证，只要证，涉及到转化的思想令，，求的最小值即可求得结果.

【详解】（1）依题意，.           

①当时，在上，所以在上单调递减，

所以，所以不符合题设.        

②当时，令，得，解得，，

所以当时，所以在上单调递减，

所以，所以不符合题设.

③当时，判别式，所以，

所以在上单调递增，所以.

综上，实数a的取值范围是.

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极大值点，是的极小值点.

由（1）知，，，则.

综上，要证，只需证，

因为

，

设，.        

所以，

所以在上单调递增，所以.

所以，即得成立．

所以原不等式成立.

【点睛】关键点点睛：导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，同时考查了利用导数证明不等式的成立，

（1）含参问题的分类讨论，对参数的讨论不重不漏；

（2）换元法的应用，通过换元研究函数时的常用方法.