2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高二下学期期末检测数学试题含答案

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2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高二下学期期末检测数学试题

一、单选题
1．等差数列的前n项和为 =
A．18 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【详解】试题分析：由等差数列的前项和公式及等差数列的性质得又，所以，故选B.
【解析】等差数列的前项和公式.
2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为（　　）
A．150 B．200
C．300 D．400
【答案】C
【分析】由随机变量，得到正态分布曲线的对称轴为，结合正态分布曲线的对称性，求得，即可求解.
【详解】由题意，随机变量，即，即正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
所以
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为.
故选：C.
3．某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（    ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．56种
【答案】C
【分析】先安排甲、乙、丙在去掉两端的个位子，再将连续空座超过个的情况减去，得到答案.
【详解】因为7个座位两端座位不能坐人，
所以甲、乙、丙可以在剩余的个位子有顺序的就坐，坐法有种，
因为连续空座至多有个，
所以出现连续个空座的情况为最左端的个为空座，
甲、乙、丙三人坐在第、、个位子上，第个位子是最右端，只能空着，
则这种情况为，
同理，连续个空座的情况为最右端的个为空座，这种情况为，
所以，满足要求的坐法有种.
故选：C.
【点睛】本题考查排列问题的应用，正确的分类和分布是解决问题的关键，利用问题的反面，将不符合要求的情况缺掉，属于中档题.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为，等于展开式的常数项，则双曲线C的离心率为
A．3 B．3或 C． D．或
【答案】B
【解析】根据二项展开式求得的值，再根据点到直线的距离公式结合，可求得的值，再代入离心率公式，即可得答案；
【详解】由已知可得，展开式的常数项为，
设双曲线半焦距为c，.
设，得，.
P到两条渐近线的距离分别为，，
.
①.又②，由①②可得或，
或.
故选：B
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解、点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意两种情况的离心率.
5．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（    ）
A．16π B． C．8π D．
【答案】B
【分析】探求正四棱锥的顶点P在底面上射影与球O的球心关系即可计算作答.
【详解】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，

则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，
于是得，
因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，
所以球O的体积是.
故选：B
6．在平面直角坐标系中，已知为圆上两个动点，且，若直线上存在唯一的一个点，使得，则实数的值为（    ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】利用垂径定理可求得；设，利用向量坐标运算可表示出点坐标，利用两点间距离公式可构造关于的方程，结合方程有唯一解，由可求得结果.
【详解】设，中点，
由圆方程知：圆心，半径，；
设，则，，
，
，，，即，
，即，
具有唯一性，，解得：或.
故选：A.
7．若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求出函数的导数，将问题转化为在恒成立，令，求出的最小值，从而可求得a的取值范围．
【详解】由函数可得，
若在区间内单调递增，
则在x∈恒成立，
即在x∈恒成立，
令
由，
∴
故，
即实数a的取值范围是．
故选：D．
8．已知数列的前项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则能被3整除的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一、依题意可设为被3整除的概率，所以，构造新数列求得通项公式即可；
法二、按古典概型得出数列共有种情况，讨论能被3整除的4种情况计算即可.
【详解】被3除，有3种情况，分别为被3整除，余数为1，余数为2，
设为被3整除的概率，
所以，则，
又，则，
所以，是以为首项，以为公比的等比数列，有，
即，所以.
法二：由古典概型可知，数列共有种情况，
能被3整除，有以下4种情况：
①中有10个1，1个2，有种情况；
②中有7个1，4个2，有种情况；
③中有4个1，7个2，有种情况；
④中有1个1，10个2，有种情况，
所以，被3整除的概率为
故选：C

二、多选题
9．数列为等比数列，公比q>1，其前n项和为Sn，若a5﹣a1=15，，则下列说法正确的是（    ）
A．Sn+1=2Sn+1
B．an=2n
C．数列{log3(Sn+1)}是等比数列
D．对任意的正整数k(k为常数)，数列{log2(Sn+k﹣Sn)}是公差为1的等差数列
【答案】AD
【分析】根据条件可求出，，然后逐一判断即可.
【详解】因为公比为q>1，由
可得，即，
所以4q4﹣15q2﹣4=0，
解得q2=4，
所以，所以，，
所以，Sn+1=2n，
所以log3(Sn+1)=nlog32，
所以数列{log3(Sn+1)}是等差数列，对任意的正整数n，k，Sn+k﹣Sn=2n+k﹣2n=(2k﹣1)2n，
所以log2(Sn+k﹣Sn)=n+log2(2k﹣1)，
所以数列{log2(Sn+k﹣Sn)}是公差为1的等差数列，
故选：AD
10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（    ）
A．事件发生的概率为
B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
【答案】BC
【分析】根据题意，分别列举出事件和事件所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；
“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；
“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；
即事件是事件的子事件；
因此事件发生的概率为，故A错；
事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；
事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；
从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，，，，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，属于基础题型.
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有（    ）

A．四面体是鳖臑
B．阳马的体积为
C．若，则
D．到平面的距离为
【答案】BCD
【分析】由△不是直角三角形否定选项A；求得阳马的体积判断选项B；以为基底表示向量进而判断选项C；求得到平面的距离判断选项D.
【详解】A错，连接AC，则△中，，
则△不是直角三角形，则四面体不是鳖臑；
B对，.
C对，
D对，设到平面的距离为d，
又，
由，得，则到平面的距离为

故选：BCD
12．已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有
A．渐近线方程为 B．渐近线方程为
C． D．
【答案】BC
【分析】由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.
【详解】双曲线离心率为

故渐近线方程为，
取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,
则，
所以则
故选BC

【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.

三、双空题
13．已知随机变量满足，其中，若，则 ， ．
【答案】
【分析】根据分布列的性质以及期望公式即可求出的值.
【详解】由，
可得，，，
所以，则，
又，则.
故答案为：；.
14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍．请问塔顶层有 盏灯，塔底层有 盏灯．
【答案】
【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为的等比数列，利用等比数列求和公式可求得的值，进而可求得的值，由此可得出结果.
【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为的等比数列，设其前项和为，
由题意可得，解得，则.
因此，塔顶层有盏灯，塔底层有盏灯.
故答案为：；.
【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，考查等比数列前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
15．如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，为侧棱上一动点．若，则异面直线与所成角的余弦值为 ；当的面积最小时， ．
  
【答案】 / /
【分析】由知（或其补角）为异面直线与所成的角，在中，求出即可；先利用线面垂直的判定定理证明平面，则可得，从而可得当时的面积最小，再解即可求解.
【详解】由题意得，、分别为、的中点，所以，
所以（或其补角）为异面直线与所成的角，
因为平面，所以平面，所以，
因为，，所以，则，
因为，所以，
在中，，
所以异面直线与所成的角的余弦值为；
因为平面，所以，
在等腰直角三角形中，为斜边的中点，所以，
因为，、平面，所以平面，
平面，所以，
所以，
要使的面积最小，则最小，此时有，
在中，，，则，故，
在中，.
故答案为：；.
16．若对于恒成立.当时，的最小值为 ；当时，的最小值是 .
【答案】 1
【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，结合函数图象数形结合确定的最小值.
【详解】当时，，令，则，
令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，所以，因此，故的最小值为，
的图像如下所示：
  
由于，而点是直线与轴的交点，因为 ，由图象显然虚线不符合题意，实线中直线与函数相切时，在轴上的截距较大，其中当直线与函数相切且切点为函数与轴的交点时，截距最大，令，所有函数与轴的交点为，故，即，故.
故答案为：1，.
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.

四、解答题
17．双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)只鞋子没有成双的；
(2)只鞋子恰成两双；
(3)只鞋中有只成双，另只不成双．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）从双鞋子中选取双，每双鞋子中取只.
（2）从双鞋子中选取双即可.
（3）先从双鞋子中选取一双,再从剩下的双鞋中选取双，每双鞋子中取只.
【详解】（1）解：从双鞋子中选取双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有种取法，根据分步计数原理，选取种数为(种)．
即只鞋子没有成双有种不同取法．
（2））从双鞋子中选取双有种取法，
所以选取种数为 (种)
即只鞋子恰成两双有种不同取法．
（3）先选取一双有种选法，再从双鞋中选取双有种选法，每双鞋只取一只各有种取法．根据分步计数原理，不同取法为 (种)．
18．已知数列的前n项和为，且，，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由可得数列是等比数列，易得通项公式；
（2）求出后用裂项相消法求得和可证不等式成立．
【详解】（1）因为，所以当时有，，即，
当时有，，所以，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以．
（2）由得，，又，
所以，
所以

，
由可知，，所以．
【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，是的中点，.

（Ⅰ）证明：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【分析】（I）依题意易得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系．通过,证得平面.（II）通过计算平面和平面的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（III）设出的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置.
【详解】（Ⅰ）因为 平面.
所以，，又.
如图，以为原点建立空间直角坐标系．

由题意得
所以,,.
所以,,
所以,,
所以平面.
（Ⅱ）设平面的法向量为，
因为.
所以，即，
令，则.
于是.
因为⊥平面，所以为平面的法向量，
又.
所以.
因为所求二面角为钝角，所以二面角大小为.
（Ⅲ）解：设，
，
，.
设平面的法向量，
则，即 ，
令，，. 于是，
如果直线平面，
那么，解得 .
所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面.
【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量法求面面角的大小，考查利用空间向量法确定点的位置，属于中档题.
20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方､品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：












（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到).
参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距.
（2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率.
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
【答案】（1）可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系，月日到该专营店购物的人数约为；（2）；（3）选择方案二更划算.
【分析】（1）利用题中所给数据和公式，求出相关系数的值，由此判断变量与具有很强的线性相关性，再求出和，得线性回归方程，令代入即可求解；
（2）先利用分层抽样得到第1天和第5天取的人数分别为3人和4人，然后由古典概型概率计算公式即可求解；
（3）分别求出方案一和方案二所需付款数，比较即可求解.
【详解】解：（1）由表中数据可得，，，
，，
所以，
所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系.
而，
则，
所以，
令，可得.
答：月日到该专营店购物的人数约为.
（2）因为，所以从第天和第天取的人数分别为和，从而人取自不同天的种数为，
所以概率.
答：这人取自不同天的概率为.
（3）若选方案一，需付款元.
若选方案二，设需付款元，则的取值可能为，，，，
则，
，
，
，
所以，
因此选择方案二更划算.
21．已知函数
（1）若在处有极值，求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有两个零点，求实数的范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【分析】（1）由题可得，再分析处是否为极值即可；
（2）求导可得，再分与讨论单调区间即可；
（3）由（2）可得，再根据零点存在性定理可得，求得，再分别证明与即可
【详解】解：（1）函数在处有极值
，又因为，解得
当
列出表格如下：


1



0


单调递增
极大值1
单调递减
所以，在处有极大值.
（2）     
当时，在上为单调增函数
当，令，得
时，在为单调增函数
时，在单调减函数
综上：当时，增区间为，无减区间
当时，增区间为，减区间为
（3）因为函数有两个零点，由（2）知，
增区间为，减区间为

解得：
因为，
所以在上恰有一个零点
由得
下证

令


在

即，所以在上恰有一个零点
综上：时，有两个零点
22．已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点.使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，坐标.
【分析】（1）由离心率可设双曲线的方程为，将直线与双曲线联立，结合可解得，进而可得双曲线的标准方程；
（2）在轴的负半轴上假设存在定点满足题意，当垂直于轴时，易得，当不垂直于轴时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得.
【详解】（1）设双曲线的焦距为.
由双曲线的离心率为2知，所以，
从而双曲线的方程可化为.
令得.
设，.
因为，
所以，.
因为，
所以，
于是，
解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）假设存在点()满足题设条件.
由（1）知双曲线的右焦点为.
设()为双曲线右支上一点.
当时，因为，
所以，于是，所以. 即.
当时，，.
因为，
所以.
将代入并整理得，
所以解得. 即.
综上，满足条件的点存在，其坐标.

【点睛】方法点睛：
（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．