2022-2023学年广东省惠州市博罗县高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省惠州市博罗县高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的性质进行求解即可.

【详解】由，或，

故选：A

2．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（    ）

A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8

【答案】B

【分析】分别求出乘坐公共汽车和骑单车准时到校的概率，然后求和即为准时到校的概率.

【详解】李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，因此李明准时到校的概率为：，

故选：B

3．函数的极小值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据函数求极小值的过程求解：先求的解 ，再判断在两侧的单调性，确定极值.

【详解】因为，所以.

令得，

当时，，当时，.

故的单调递增区间为和，单调递减区间为.

则当时，取得极小值，且极小值为.

故选：C

4．设f ′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f ′（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像最有可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，即可得到答案；

【详解】由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，

故选：D.

5．安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（    ）

A．150 B．120 C．160 D．180

【答案】A

【分析】先分成三组，可以3、1、1，也可以2、2、1，分好后再安排到三个山.

【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法，若分为2、2、1的三组，有种分组方法，故共有种分组方法，②将分好的3组安排到3个地方进行研学旅行，有种情况，则有种安排方法.

故选：A.

6．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．

借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用“杨辉三角”中的数的特点求解即可.

【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点：

1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1，

2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，

所以.

故选：D.

7．若函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由条件利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数求，再由解析式求即可.

【详解】由题意可得，

则，解得，

所以

所以．

故选：C．

8．已知函数，对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，根据题意化简得到，设函数，得到在上的单调递减函数，得出，在区间上恒成立，进而转化为在区间上恒成立，令的性质，即可求解.

【详解】由题意知，对任意的，恒成立

不妨设，可得，即，

设函数，则在上的单调递减函数，

又由，所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令，

由二次函数的性质，可得在上为单调递减函数，

所以，所以，所以，

解得，即实数的取值范围为.

故选：A.

【点睛】方法技巧：对于已知函数的单调性求参数问题：

（1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立；

（2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立；

（3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解；

（4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解.

二、多选题

9．在二项式的展开式中，有（　　）

A．含x的项 B．含的项

C．含x4的项 D．含的项

【答案】ABC

【分析】利用二项展开式的通项，结合所给的选项即可得出答案．

【详解】二项式的展开式的通项为，

当时，，知A正确；

当时，，知B正确；

当时，，知C正确；

当时，，知D错误．

故选：ABC．

10．下列 求导运算正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】利用导数的运算求解判断.

【详解】A，因为，所以，故正确；

B，因为，所以，故错误；

C，因为，所以，故错误；

D，因为，所以，故正确.

故选：AD.

11．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ）

A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种

B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种

C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种

D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

【答案】ABC

【分析】求得社区A必须有同学选择的方法数判断选项A；求得同学甲必须选择社区A的方法数判断选项B；求得三名同学选择的社区各不相同的安排方法数判断选项C；求得甲、乙两名同学必须在同一个社区的安排方法数判断选项D.

【详解】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，

选项A：如果社区A必须有同学选择，

则不同的安排方法有（种）.判断正确；

选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；

选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，

则不同的安排方法共有（种）.判断正确；

选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，

再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，

则不同的安排方法共有（种）.判断错误.

故选：ABC

12．已知为常数，函数有两个极值点，则（    ）

A．的取值范围是 B．的取值范围是

C． D．

【答案】ACD

【分析】求导后，可将问题转化为有两个不等实根，令，利用导数可求得单调性和极值，采用数形结合的方式可求得的范围，并得到，由此知AB正误；根据，结合可知C正确；利用单调性可得，结合的范围知D正确.

【详解】由题意得：，

有两个极值点，有两个变号零点，

又，只需，即有两个不等实根，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，又当时，；时，，

可得图象如下图所示，

当，即时，有两个不等实根，且，

即当时，有两个极值点，A正确，B错误；

，，即，，

，又，，

，C正确；

当，时，；当时，；

在，上单调递减，在上单调递增，

，，，，D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围的问题，可转化为导函数零点个数问题的求解；利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

三、填空题

13．若，则            .

【答案】

【分析】根据赋值法即可求解奇数项的系数和.

【详解】令得，，

令得，，两式相加得.

故答案为：

14．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是奇数”，则           .

【答案】/0.625

【分析】利用古典概率求出事件A，AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】依题意，，，

所以．

故答案为：.

15．与函数在点处具有相同切线的一个函数的解析式是          ．

【答案】（答案不唯一）

【分析】先求出在点处的切线为，再构造，经检验满足要求.

【详解】，故，

则函数在点处的切线为，

不妨令，，故在上，

，故，则函数在点处的切线为，满足要求.

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为           ；的取值范围为           .

【答案】         

【分析】根据函数性质画出的图象，将问题化为与有四个交点，数形结合法求a范围，再由是的两个根、是的两个根，结合根与系数关系求的范围.

【详解】由题设，当时，，且单调递减；

当时，，且单调递增；

当，，且单调递减；

当，，且单调递增；

综上，的函数图象如下：

所以有四个不同零点，即与有四个交点，由图知：，

则在上，在上，

令，则，即是的两个根，故，

而是，即的两个根，故，

所以.

故答案为：，

【点睛】关键点点睛：将问题转化为与有四个交点，数形结合求参数范围，进而把看作对应方程的根，应用根系关系及对数性质求范围.

五、解答题

17．已知函数.

(1)曲线在点处的切线方程；

(2)曲线过点的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对求导，求得，，再由点斜式方程即可求出曲线在处的切线方程；

（2）设切点为，求，，再由点斜式方程求得切线方程为，又切线过点，代入可得，带回方程即可得答案.

【详解】（1）解：因为，所以，又，

所以曲线在处的切线方程为，即；

（2）解：设切点为，则，

所以切线方程为，     

因为切线过点，所以，即，解得，       

故所求切线方程为．

18．从等7人中选5人排成一排（写出必要的数学式，结果用数字作答）

(1)若必须在内，有多少种排法？

(2)若三人不全在内，有多少种排法？

(3)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意，先在其他6人中选出4人，再与进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；

（2）根据题意，由排除法分析：先计算全部的排法，排除其中、、全在内的排法，即可得答案；

（3）根据题意，先在其他4人中选出2人，将看成一个整体，与选出的2人全排列，分析的排法，由分步计数原理计算可得答案；

【详解】（1）解：根据题意，若必须在内，先在其余6人中选出4人，再与全排列即可，一共有种排法，

（2）根据题意，在7人中选出5人排成一排，有种排法，

若、、都在内，有种排法，

则、、三人不全在内的排法有种，

（3）根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，

将、看成一个整体，与选出2人全排列，有种排法，

排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排，有2种情况，

则有种排法．

19．新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．

(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据和频率总和为1计算出a的值；频率分布直方图中中位数左右两边的直方图面积相等都为0.5，由此列式即可计算出中位数；

（2）根据频率分布直方图计算出成绩在，的学生频数，根据分层抽样规则计算出对应区间人数，最后列式计算或用列举法即可得出答案.

【详解】（1），解得

设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为

所以中位数满足等式，解得

故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.

（2）成绩在的频数为

成绩在的频数为

按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人

从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.

20．已知二项式   的展开式中 ， .给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项.

在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.

(1)求实数a的值和展开式中二项式系数最大的项；

(2)求的展开式中的常数项.

【答案】(1)，二项式系数最大的项为或

(2)

【分析】(1)先看条件①②③分别可以得到什么结果，然后分别选取求解即可;(2)根据第一小问得出的未知数的值，得到第二问的二项式，然后将前面括号打开，分别求常数项计算即可.

【详解】（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使该项为常数，则；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；

该两种组合都会得到，所以，解得；

所以二项式系数最大的项为或

（2）由（1）可知，，

所以有

所以常数项为

令，解得；所以常数项为.

21．广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为万美元，可获得的加工费近似地为万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失万美元，其中为该时段美元的贬值指数是，从而实际所得的加工费为（万美元）.

（1）若某时期美元贬值指数，为确保企业实际所得加工费随的增加而增加，该企业加工产品订单的金额应在什么范围内？

（2）若该企业加工产品订单的金额为万美元时共需要的生产成本为万美元，已知该企业加工生产能力为（其中为产品订单的金额），试问美元的贬值指数在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损.

【答案】（1）；（2）.

【分析】( 1 ) 由得，对求导 , 并令 , 可得的值；

 ( 2 ) 企业加工生产不出现亏损 , 即 时 , 恒成立 , 通过变形 , 构造函数 , 利用导数求出 , 求出函数在某区间内的最值 , 从而求出 m 的取值范围.

【详解】解：（1）由已知，，（其中）；

∴；

由，即，解得；

即加工产品订单金额（单位：万美元）时，该企业的加工费随的增加不断增长.

（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，则

当时，都有，即，

令，，则

；

令，则

，

可知在上单调递减，从而；

又，

即时，知在上单调递减，

因此，，即；

故当美元的贬值指数时，该企业加工生产不会亏损.

22．设函数．

(1)当时，若函数在其定义域内单调递增．求b的取值范围；

(2)若有两个零点，，且，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由函数在其定义域内单调递增得，得导函数大于等于0恒成立，参变分离得，求出函数的最小值即可求解；

（2）由化简得，要证，

只需证，构造函数，对求导，得到的单调性，根据函数最值符号即可证明.

【详解】（1）依题意：，

在上递增，对恒成立，

即对恒成立，只需

，，当且仅当时取等号，，

的取值范围是；

（2）证明：由已知得，即，

两式相减得：，即，

由，得

，

令，则令，

则，是上的减函数，，

所以，又，，.