2022-2023学年广东省江门市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省江门市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（    ）

A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64

【答案】D

【分析】根据所有事件概率和为1，从而得到.

【详解】,

故选：D.

2．若，则（    ）

A．30 B．20 C．35 D．21

【答案】D

【分析】根据排列组合数公式计算.

【详解】,

故选：D.

3．在回归分析中，下列判断正确的是（    ）

A．回归直线不一定经过样本点的中心

B．样本相关系数

C．相关系数越接近1，拟合效果越好

D．相关系数r越小，相关性越弱

【答案】C

【分析】利用回归直线的性质判断A；利用相关系数的范围、和相关性强弱的关系判断BCD作答.

【详解】对于A，回归直线一定经过样本点的中心，A错误；

对于B，样本相关系数，B错误；

对于C，相关系数越接近1，拟合效果越好，C正确；

对于D，相关系数越小，相关性越弱，D错误.

故选：C

4．已知（，且），若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，由可求得实数的值.

【详解】因为，则，所以，，

因为，且，解得.

故选：A.

5．若直线与圆相切，则（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】A

【分析】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.

【详解】圆的圆心，半径，

依题意，，解得，

所以.

故选：A

6．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据定义，带入拉格朗日中值定理，令，找到 ，解方程，

【详解】由拉格朗日中值定理，，

则，则，合题，共2个解，

故选：B.

7．将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，然后连同其余三人，看成四个元素分配到个不同的学校，再利用分步乘法计数原理求得.

【详解】根据题意，有一个学校分配2名志愿者，其余学校各分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；

然后连同其余三人，看成四个元素分配到个不同的学校，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为.

故选：C.

8．设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】通过等比数列定义及等比数列基本量计算求出通项公式，然后求出前n项积，利用指数函数单调性及二次函数知识求解最值即可.

【详解】由题易知，因为，所以，

所以数列是公比为的等比数列，

由，得，解得，

所以，

所以

，

要使取得最小值，则为奇数，且取最小值，

结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值，

所以当取得最小值时，，

故选：B.

二、多选题

9．已知随机变量X服从正态分布，则（    ）

A． B．

C． D．X的方差为2

【答案】AB

【分析】根据题意得出，结合正态分布的对称性，对各选项逐项判定，即可求出结果．

【详解】因为随机变量服从正态分布，有，则随机变量所对正态曲线关于对称，

于是，， A正确；

显然和关于对称，而和关于不对称，

因此，，B正确，C错误；

显然的方差为4，D错误．

故选：AB

10．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（    ）

A．满足回归模型的假设

B．不满足回归模型的假设

C．满足回归模型的假设

D．不满足回归模型的假设

【答案】BD

【分析】根据已知残差散点的分布图，结合一元线性回归模型中对随机误差e的假定的含义，即可判断答案.

【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定，

残差散点图中散点应是分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，

故由已知残差图可知残差与观测变量x有线性关系，

因此残差模型不满足回归模型的假设，不满足回归模型的假设，

故选：BD

11．已知函数，则（    ）

A．的图象是轴对称图形

B．的单调递减区间是

C．的极值小值为2

D．的极大值为2

【答案】AC

【分析】探讨函数的奇偶性判断A；求出函数的导数，利用导数分析判断BCD作答.

【详解】函数的定义域为R，，则函数是偶函数，其图象关于y轴对称，A正确；

求导得，函数在R上单调递增，，

当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，B错误；

函数在处取得极小值，无极大值，C正确，D错误.

故选：AC

12．已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（    ）

A．

B．弦AB的长度最小值为l

C．以AF为直径的圆与y轴相切

D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

【答案】ACD

【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.

【详解】  

由题，焦点，设直线,

联立，

，

，

同理可得，，

，故A选项正确；

，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；

记中点，则点M到y轴的距离为，

由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；

，记中点，

则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：抛物线的焦点弦常见结论：

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)

(2)弦长 (α为弦AB的倾斜角)．

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．

(5) （定值）.

(6) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.

三、填空题

13．函数的最大值为         ．

【答案】

【详解】试题分析：易知函数的定义域为．由题，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即．

【解析】1、导数的运算；2、导数与函数最值的关系．

14．在的展开式中，的系数为      ．（用数字作答）

【答案】5

【分析】根据该二项展开式的通项公式为，令，然后计算即可.

【详解】由题可知：的展开式的通项公式为，

令，则，

所以的系数为，

故答案为：5

15．已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为       

【答案】

【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

【详解】记甲箱中取出白球的事件为，从乙箱中取出黑球的事件为，

依题意，，，

所以.

故答案为：

四、双空题

16．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则      ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则       

【答案】          196

【分析】由题意可得，然后利用二项分布的方差公式及性质求解即可.

【详解】因为一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，其中X表示抽到的二等品件数，

所以抽到二等品的件数符合二项分布，即，

所以，

因为检测费用Y元与二等品件数X满足：，

所以，

故答案为：，196

五、解答题

17．已知数列中，，，数列是等差数列，且．

(1)求，和数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，，；

(2)

【分析】（1）直接代入可算出，的值，进而可求公差，即可求得的通项公式；

（2）由（1）和题意可求得数列的通项公式，再用裂项相消法可求.

【详解】（1）因为，所以，，

又数列是等差数列，设公差为，则，

所以.

（2）由（1）可知，所以，

，所以数列的前n项和

.

18．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，．

(1)求证；；

(2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值．

【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，

平面，所以，平面，

因为平面，因此，.

（2）解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，

平面内垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，，，

所以，、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

易知平面的一个法向量为，则，

因此，平面与平面的夹角的余弦值为.

19．体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想．为推动落实全民健身国家战略，某学校以锻炼身体为目的，每天下午组织足球训练活动．

(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，从该校随机抽取了男学生和女学生各100名观众进行调查，得到如下列联表：

依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？

(2)在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：

若传球3次，记B队员控球次数为，求的分布列及均值．

附：，．

附表：

【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关.

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）利用计算卡方进行独立性检验，即可解得.

（2）根据独立事件的概率公式，先求、、，即可列出分布列，求出均值.

【详解】（1）零假设为：喜欢足球运动与性别无关，

根据列联表的数据，经计算得到：

，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为喜欢足球运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.

（2）由题意的值可能为0，1，2

表示的事件为“传,传，传”

所以,

包含的事件有“传,传，传”、 “传,传，传”、“传,传，传”、“传,传，传”、“传,传，传”,

所以，

包含的事件为“传,传，传”、 “传,传，传”

所以，

故的分布列为

.

20．台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美．2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：

根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：；模型②：

(1)求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；

(2)比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）

线性回归方程的系数：

，；

模型的决定系数：．

参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中．

【答案】(1)

(2)模型①中的决定系数小于模型②的决定系数；模型②的拟合效果更好；人工投入增量至少需要20人.

【分析】（1），先求出关于的线性回归方程，进而可求y关于x的回归方程；

（2）代入公式分别求出模型①和模型②的决定系数比较大小即可，进而可判断模型②的拟合效果更好；再通过解不等式即可得至少人工投入增量人数.

【详解】（1）令，则模型②为：，

由，，，，

得，

，

所以模型②中y关于x的回归方程是.

（2）模型①中的决定系数，

模型②的决定系数，

因为，所以模型①中的决定系数小于模型②的决定系数，

所以模型②的拟合效果更好.

在模型②下，年收益增量超过80万元，

则有，所以，

所以人工投入增量至少需要20人.

21．已知函数，其中．

(1)若，求的单调区间；

(2)讨论函数的零点个数．

【答案】(1)递减区间是，递增区间是；

(2)当时，函数有1个零点，当时，函数无零点.

【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间作答.

（2）按照与分别求出函数的最小值，即可判断作答.

【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，

当时，，当时，，当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

（2）当时，由（1）知，，因此函数只有1个零点，

当时，由，得，当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，于是函数无零点，

所以当时，函数有1个零点，当时，函数无零点.

【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性及函数最值，借助数形结合思想分析解决问题.

22．已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据双曲线方程可确定焦距，再结合离心率和椭圆的关系可求得椭圆方程；

（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据三角形面积公式可知所求面积之比为，利用可构造不等式求得的范围，从而确定面积之比的取值范围.

【详解】（1）双曲线的方程可化为，其焦距为，

设椭圆的焦点为，，解得：，

又椭圆的离心率，，，

椭圆的方程为.

（2）  

由（1）知：，，，

由题意知：直线斜率不为，则可设，，，

由得：，则，

，；

，，

；

，

又，，

，即，

又，，

设，则，，解得：，

，即与的面积之比的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题重点考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积相关问题的求解；解题关键是能够将问题转化为变量的取值范围的求解问题，利用非对称韦达的处理方法，结合的范围可构造不等式求得结果.