2022-2023学年河北省石家庄市高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市高二下学期期末数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省石家庄市高二下学期期末数学试题

一、单选题
1．某物体做直线运动，其运动规律是，则它在第4秒末的瞬时速度为（    ）
A．米/秒 B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒
【答案】B
【分析】根据导数实际意义求解即可.
【详解】因为，所以，
令，则，
即在第4秒末的瞬时速度为米/秒.
故选：B
2．的展开式中,含x2的项的系数为
A．4 B．6 C．10 D．12
【答案】C
【分析】将（1+x）4展开，进而求出(1+)(1+x)4的展开式中含x2的项的系数
【详解】(1+x)4=x0+x1+x2+x3+x4
展开式中含x2项的系数为C42+C43=10．故选C
【点睛】求两个因式之积的特定项的系数,可先展开二项式，或利用通项公式，分析得到特定项有几种情况，再分别求出对应项的系数，进而得解
3．函数y=x2㏑x的单调递减区间为
A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）
【答案】B
【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B
考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域

4．甲乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一队赢得四局胜利时，该队获胜，比赛结束）．现在的情形是甲胜3局，乙胜2局．若两人胜每局的概率相同，则甲获得冠军的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】甲胜第六场的概率为，此时就没有必要打第七场了，甲在第六场失败但在第七场获胜的概率为，把这两个概率值相加，即得甲获得冠军的概率.
【详解】甲获得冠军时，只要在未来的2场比赛中至少胜一场即可.
由于两人胜每局的概率相同，故甲胜每一场的概率都是，
甲胜第六场的概率为，此时就没有必要打第七场了；
甲在第六场失败，但在第七场获胜的概率为，
故甲获得冠军的概率为.
故选：A.
5．曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】，则，
故曲线在点处的切线方程为，即，
故选：B．
6．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（    ）
A．54种 B．240种 C．150种 D．60种
【答案】C
【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解.
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以共有60+90=150种.
故选：C
7．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（    ）（附：若，则，，）
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
【答案】B
【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解.
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则，
所以，，
由题意，，且，，
因为，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为，
故选：B.
8．三个数，，的大小顺序为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，从而得出，，的大小顺序．
【详解】设，，
时，，
在上单调递减，
又，，且
,
．
故选：A

二、多选题
9．某公司过去五个月的广告费支出x（万元）与销售额y（万元）之间有下列对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
▲
40
60
50
70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的有（    ）
A．销售额与广告费支出x正相关
B．丢失的数据（表中▲处）为30
C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D．若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为69.5万元
【答案】ABD
【分析】根据经验回归方程，即可结合选项逐一求解求解.
【详解】由经验回归方程，可知，
所以销售额与支出的广告费呈正相关，所以A正确；
设丢失的数据为，由表中的数据可得，
，把代入经验回归方程，
可得，解得，所以B正确；
该公司支出的广告费每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；
当时，（万元）,所以D正确．
故选：ABD．
10．下列结论正确的是（    ）
A．若，则
B．的展开式中的系数是30
C．在的展开式中，含的项的系数是220
D．的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大
【答案】BCD
【分析】根据组合数的性质可判断AD，由二项式展开式的特征可判断BC.
【详解】对于A，由于，所以或，解的或，故A错误,
对于B, 的展开式通项为，
令，所以的系数为，故B正确，
对于C，的展开式中，含的项的系数是，故C正确，
对于D，的展开式中，第4项和第5项的二项式系数为，由组合数的性质可知最大且，故D正确，
故选：BCD
11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和4个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）
A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合数公式及古典概型公式求得判断C，根据条件概率公式求得判断D．
【详解】事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，这两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
事件发生时，取出的两球同为红色或同为白色，则，故C正确；
事件发生时，取出的两球一红一白或同为红色，则，
事件发生时，取出的两球同为红色，则，
因为，所以事件B，C不是独立事件，故B错误；
，，则，D正确．
故选：ACD．
12．已知函数，，若函数有唯一零点，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．函数在处的切线与直线平行
C．函数在上的最大值为
D．函数在上单调递减
【答案】AD
【分析】构造函数，结合导数及函数零点个数可判断A；由导数的几何意义可判断B；由导数确定函数的单调性后即可判断C；利用导数即可判断D.
【详解】解：对于A，由，化为：．
分别令，．
函数有唯一零点，等价于函数与的图象有唯一交点．

，当，，单调递增；当，，单调递减，
可得时，函数取得极大值即最大值，．
，当且仅当时取等号．
，即因此正确．
对于B，，，，
因此函数在处的切线方程为，因此错误．
对于C，函数，
，单调递增，
在上的最大值为，因此不正确．
对于D，时，函数，
当，，因此函数在上单调递减，正确．
故选：AD．
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，解题的关键是合理构造函数，应用函数的性质，属于难题．

三、填空题
13．某射手射击所得环数的分布列如下：

7
8
9
10


0.1

0.4
已知的数学期望，则 .
【答案】0.3
【分析】根据分布列的概率之和等于以及由分布列求期望的公式列方程即可求解.
【详解】由题意可得：
即解得：
所以，
故答案为：.

四、双空题
14．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为 ，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 .
【答案】 0.0525
【分析】首先用数学语言表示已知条件，设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由条件概率公式计算；由条件概率公式计算．
【详解】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
由全概率公式，
得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.
“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，
就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．
＝
＝＝.
故答案为：0.0525；

五、填空题
15．中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.经过科研工作者长达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有 种（用数字作答）
【答案】624
【分析】分A在第一位、第二位、第三位三种情况，考虑有几种方式，剩下的元素全排即可.
【详解】把A排在第一位，任务相邻的位置有5个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有种，共有种方案；
把A排在第二位，任务相邻的位置有4个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有种，共有种方案；
把A排在第三位，任务相邻的位置有4个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有种，共有种方案；
总共有种方案.
故答案为：624.
16．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先验证不是方程的根，则当时，方程可化为：，令，分析出其单调性等性质，作出其函数图象，方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点，从而数形结合得出答案．
【详解】当时，，此时，
所以不是方程的根．
当时，方程可化为： ，
设，
方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点．
当时，，此时单调递增，且，
当时，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递减，且，
作出的图象如图，

由图可知，当，即时，直线与函数的图象有3个交点，
所以方程有三个不同的实数根时，实数的取值范围为．
故答案为：．

六、解答题
17．已知展开式前三项的二项式系数和为．
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中各项系数的和．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用前三项二项式系数和可直接构造方程求得的值；
（2）由二项式定理可得展开式通项，将代入即可得到常数项；
（3）令即可求得各项系数和.
【详解】（1）由题意知：，即，
解得：或（舍），.
（2）由（1）知：，则其展开式通项为，
令，解得：，
展开式中的常数项为.
（3）令，则展开式各项系数和为.
18．已知函数有极小值．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，
(2)最大值为，最小值为．

【分析】（1）利用导数求得的单调区间；
（2）由的极小值列方程求得的值，比较极值和区间端点的函数值，求得在上的最大值和最小值.
【详解】（1），
令，解得或，令，解得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）由（1）知，的极小值为，解得．
∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为，
的极大值为
又，
，
所以在上的最大值为，最小值为．
19．北京冬奥会的成功举办，推动了我国的冰雪运动迈上新台阶．某电视台为了解我国电视观众对北京冬奥会的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，图是根据调查结果制作的观众日均收看冬奥会时间的频率分布表：
收看时间（分钟）






频率
0.15
0.15
0.2
0.25
0.15
0.1
如果把日均收看冬奥会节目的时间高于40分钟的观众称为“冬奥迷”．
(1)根据已知条件请完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关？

非冬奥迷
冬奥迷
合计
女
30


男

10

总计


100
(2)将上述调查的100人所得“冬奥迷”的频率视为该地区“冬奥迷”被抽中的概率．现在从该地区大量的电视观众中，采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽到的3名观众中的“冬奥迷”人数为，且每次抽取的结果是相互独立的．求抽到“冬奥迷”的概率，并求随机变量的期望和方差．
附，其中．

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关．
(2)抽到“冬奥迷”的频率为0.25；，.

【分析】(1)根据题目所给的条件填表，在根据独立性检验的卡方公式计算即可；
(2)根据二项分布公式，直接写出方差和均值即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，有“冬奥迷”25人，故列联表如下：

非冬奥迷
冬奥迷
合计
女
30
15
45
男
45
10
55
总计
75
25
100
把列联表中的数据代入公式计算得：
，
因为，所以没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关；
（2）由频率分布直方图可知抽到“冬奥迷”的频率为0.25，将频率视为概率，
则从观众中抽到一名“冬奥迷”的概率，
由题意得，，故，  ；
综上，没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关，
，   .
20．3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．高二（A）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，，通过第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．
(1)若高二（A）班获得决赛资格的小组个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，三轮后总分高的获胜．假设两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组每次抢到该题的可能性分别是，，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求在第一题中乙已得10分的情况下最终甲获胜的概率．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)

【分析】（1）根据题意，计算出X的取值和概率，利用数学期望的计算公式计算可得解
（2）根据题意，乙已得10分，分类讨论甲获胜情况，进而可求得概率
【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，，
则，．                    
由题意可得，X的取值有0，1，2，
，，
.

0
1
2




所以．
（2）依题意，甲，乙抢到并答对一题的概率分别为，，    
乙已得10分，甲若想获胜情况有：
①甲得20分：其概率为
②甲得10分，乙再得分，其概率为；
③甲得0分，乙再得分，其概率为．                        
故乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率为．
21．近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：

现根据散点图利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据：




10.15
109.94
3.04
0.16





13.94
-2.1
11.67
0.21
21.22
且(，)与(，)(i＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为，，且＝﹣0.9953．
（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
（2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；
（3）已知蕲艾的利润z与x、y的关系为，当x为何值时，z的预报值最大．
参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，＝15.7365，对于一组数据(，)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．
【答案】（1）用模型建立与的回归方程更合适；（2）；（3）当温度为20时这种草药的利润最大．
【分析】（1）利用相关系数，，比较与的大小，得出用模型建立回归方程更合适；
（2）根据（1）的结论求出关于的回归方程即可；
（3）由题意写出利润函数，利用基本不等式求得利润的最大值以及对应的值．
【详解】（1）由题意知，
，
因为，所有用模型建立与的回归方程更合适．
（2）因为，
，
所以关于的回归方程为
（3）由题意知
，所以，当且仅当时等号成立，
所以当温度为20时这种草药的利润最大．
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.
【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.