2022-2023学年贵州省黔西南州高二下学期期末教学质量检测数学试题含答案

2022-2023学年贵州省黔西南州高二下学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用一次不等式的求解化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为，

所以.

故选：C.

2．若复数满足，则（    ）

A． B．5 C． D．6

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算模即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：A

3．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由直线方程求解直线斜率，由斜率和倾斜角的关系即得解.

【详解】设直线的倾斜角为，

则，

由，

又，所以.

故选：B.

4．在等差数列中，，，则的值为（    ）

A．2 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差即可求解作答.

【详解】在等差数列中，，则数列的公差，

所以.

故选：B

5．为提高新农村的教育水平，兴义市某校决定选派5名优秀的教师到、、、四所学校进行为期一年的支教活动，每人只能去一所学校，每所学校至少派一人，则不同的选派方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】利用不平均分组分配的方法求解即可.

【详解】根据题意，有一个学校得分配2名教师，其余学校各分配1名教师，

可以先从5名教师中任选2人，组成一个小组，有种选法；

然后连同其余三人，看成四个元素，四所学校看成四个不同的位置，

则四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，

根据乘法原理，共有种不同的分配方案.

故选：C.

6．已知向量，，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示列式作答.

【详解】向量，，则，又，，

因此，解得，

所以实数的值为.

故选：C

7．函数，上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，

则，

所以，函数为奇函数，排除AB选项，

当时，，排除C选项.

故选：D.

8．已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取MN中点A，连AF2，令，由双曲线定义及所给条件可得，再借助直线斜率为即可求解作答.

【详解】取MN中点A，连，令，则，如图，

因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得，，

则，令双曲线半焦距为c，

中，，中，，

则有，即，

因直线的斜率为，即，而，即，

于是有，解得，因此，

所以双曲线的离心率为.

故选：B

【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：①求出a，c，代入公式；

②根据给定条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

二、多选题

9．若，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据不等式的性质可以判断C正确，其余ABD选项可以举出反例.

【详解】A选项，取，满足，但是，故A选项错误；

B选项，取，满足，但，故B选项错误；

C选项，由，结合不等式的传递性可知，，C选项正确；

D选项，由于为负数时，可能导致表达式无意义，故D选项错误.

故选：ABD

10．为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如下表：

其中数据，，，，和数据，，，，的平均数分别为和，并且计算相关系数，经验回归方程为，则下列结论正确的为（    ）

A．点必在回归直线上，即

B．变量，负线性相关

C．当，则必有

D．

【答案】ABD

【分析】根据回归方程的性质和相关系数的性质逐个分析判断作答.

【详解】对于A，因为样本中心点必在回归直线上，所以，A正确；

对于B，因为相关系数，所以变量x，y负相关，B正确；

对于C，因为点不一定在回归直线上，所以当，不一定有，C错误；

对于D，因为相关系数，所以，D正确.

故选：ABD

11．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案.

【详解】A选项，若，则可能异面，A选项错误.

B选项，若，则，B选项正确.

C选项，若，则可能相交，C选项正确.

D选项，若，则，D选项正确.

故选：BD

12．已知函数且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（    ）

A．若为偶函数，则

B．若的一个对称中心为，则

C．若在区间上单调递增，则的最大值为

D．若在区间内有三个零点，则

【答案】ACD

【分析】先利用辅助角公式化简，再利用周期得到的解析，从而利用三角函数的性质，对选项逐一分析判断即可.

【详解】因为，

又图像的相邻两对称轴间的距离为，

所以的最小正周期为，又，则，

所以，

对于A项，因为为偶函数，所以，得，

因为，所以，故A正确；

对于B项，因为的一个对称中心为，

所以，得，

因为，所以，故B不正确；

对于C项，由可得，

因为，且在区间上单调递增，

所以，解得，所以的最大值为，故C正确；

对于D项，由可得，

又的周期为，且根据正弦函数图象可知，在一个周期内最多只有三个零点，

所以端点处必须为的零点，即，解得，

又，所以，故D项正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：已知的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：

（1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出.

（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

三、填空题

13．若，且为第三象限角，则        ；

【答案】

【分析】先根据同角三角函数的关系求出，再结合第三象限角判断符号即可.

【详解】且为第三象限角，

，

故答案为：.

14．的展开式中含项的系数为         ．

【答案】80

【分析】根据二项式展开式的通项公式直接求解即可.

【详解】解：展开式的通项为，

令，得，

所以展开式中常数项为．

故答案为：

15．一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积，其中为球的半径，为球缺的高．如图，若一个半径为的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则体积之比        ．

【答案】/

【分析】根据及求出，再根据球缺曲面部分的体积公式求解即可.

【详解】因为，，所以，

则.

故答案为：.

16．若曲线有两条过的切线，则的范围是            ．

【答案】

【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．

【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为

因为，所以切线方程为：．

又切线过，则，即

则由题可知函数图象与直线有两个交点，

由得，由得

所以在上单调递增，在上单调递减．

又，又，，，．

据此可得大致图象如下．

则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)设公差为，根据列出关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，根据等差数列通项公式即可求；

(2)利用分组求和法求即可.

【详解】（1）设公差为，由得，，解得，

∴；

（2）由得，

∴.

18．在中，角所对的边分别为，．

(1)求角；

(2)若的面积为，且，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解；

（2）利用三角形面积公式与余弦定理分别得到与的值，从而求得，由此得解.

【详解】（1），

由正弦定理得，即，

即，，

，

（2），

又，

所以，即（负值舍去），

又，所以的周长为.

19．2022年9月23日，延期后的杭州亚运会迎来倒计时一周年，杭州亚组委发布宣传片《亚运+1》和主办城市推广曲《最美的风景》．杭州某大学从全校学生中随机抽取了1200名学生，对是否收看宣传片的情况进行了问卷调查，统计数据如下，

(1)根据以上数据说明，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否收看宣传片与性别有关？

(2)现从参与问卷调查且收看了宣传片的学生中，按性别采用分层抽样的方法选取8人，参加杭州2023年第19届亚运会志愿者宣传活动．若从这8人中随机选取2人到校广播站开展亚运会比赛项目宣传介绍．记为人选的2人中女生的人数，求随机变量的分布列及数学期望．

参考公式和数据：，．

【答案】(1)认为学生是否收看宣传片与性别有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据独立性检验的思想，计算，判断即可；

（2）由题知选取的8人中，男生有人，女生有人，进而根据超几何分布求解即可.

【详解】（1）解：（1）零假设：学生是否收看宣传片与性别无关．

由题中数据可知，，

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

所以，可以认为学生是否收看宣传片与性别有关．

（2）解：根据分层抽样方法，选取的8人中，男生有人，女生有人，

根据题意，所有可能取值为0，1，2．

，，，

所以的分布列为

所以．

20．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，.

(1)求证：平面；

(2)若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证，，由此即可证得平面；

（2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公式，即可求得本题答案.

【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.

所以，.又，

因为，所以.

因为平面，平面，所以.   

又，平面，平面，所以平面.         

（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.   

则，，.

设平面的法向量为，

由，得，

令，可得平面的一个法向量为.           

设与平面所成角为，

则.

21．已知函数，．

(1)若在上是增函数，求的取值范围；

(2)若在上的最小值，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先对求导，再构造函数，从而利用的单调性将问题转化为恒成立，再利用导数求得，由此得解；

（2）结合（1）中结论，利用的正负情况判断的单调性，从而分类讨论，与三种情况，得到关于的不等式，解之即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

令，则，

因为在上是增函数，所以，则恒成立，

当时，单调递减；当时，单调递增，

所以，故，则，此时在上是増函数，

所以的取值范围是，

（2）由（1）知在上是增函数，，

当时，在上单调递增，，

令，得，故；

当，即时，，在上单调递减，，

令，解得，此时不存在；

当时，，存在，使得，即，

故当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

所以，

当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，

所以，令，解得，此时不存在；

综上所述，的取值范围是.

【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

（4）考查数形结合思想的应用．

22．已知，分别为椭圆：的左，右顶点，椭圆过点，且离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若为椭圆上异于，的一点，且直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点，证明：，，三点共线．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题意得，，再结合可求出，从而可求出椭圆方程；

（2）求得，则设直线为，直线为，从而可得，表示出，则直线为，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系可表示出点的坐标，从而求得，进而可证得结论.

【详解】（1）由题意得，解得，

所以椭圆的标准方程为，

（2）由（1）可知，由题意可知存在，且不为零，设，

则，，

所以，

所以设直线为，则直线为，

将代入直线，得，

所以，所以直线为，

由，得，

设，则，得，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

因为为公共点，所以，，三点共线．

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出点的坐标，求出，从而可设直线的方程，考查数学计算能力，属于较难题.